Transcript Rastavljanje izraza na proste faktore

Rastavljanje izraza na proste
faktore
Begzada Kišić
Prirodne brojeve dijelimo na proste i
složene

Prosti prirodni brojevi su: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19,...

Prosti brojevi su djeljivi samo sa sobom i sa jedinicom

Složeni brojevi su: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,...

Složeni prirodni brojevi se mogu napisati u obliku
proizvoda dva ili više prostih brojeva, tj. možemo ih
rastaviti na proste faktore

4=2•2, 6=2•3, 8=2•2•2, 9=3•3, 10=2•5

faktori složenog broja su njegovi djelioci
I cijeli algebarski izrazi (polinomi)
mogu biti prosti i složeni

Rastaviti polinom na proste faktore znači napisati ga
u obliku proizvoda dva ili više prostih faktora

Rastavljanje polinoma na faktore ima važnu primjenu
kod algebarskih razlomaka

Postupak rastavljanja zavisi od oblika i složenosti
polinoma
Metode rastavljanja
Izvlačenje zajedničkog faktora
 Grupisanje članova
 Primjena izvedenih formula:
- razlika kvadrata
- zbir i razlika kubova
- kvadrat zbira i razlike
- kub zbira i razlike

izvlačenje zajedničkog faktora

a(b+c)=ab+ac
distributivni zakon

vrijedi i obrnuto: ab+ac=a(b+c)
Primjer 1. 6ab+4a2c
6ab+4a2c = 2a(3b+2ac)
grupisanje članova

ax+bx+ay+by=x(a+b)+y(a+b)=(a+b)(x+y)
Primjer 2. 14ab+10a2+15ac+21bc
14ab+10a2+15ac+21bc=
=7b(2a+3c)+5a(2a+3c)=
=(2a+3c)(7b+5a)

Kvadratne trinome možemo rastavljati na proste faktore
metodom grupisanja

Primjer 3. 2x2+5x-3
2x2+6x-x-3=
=2x(x+3)-(x+3)=
=(x+3)(2x-1)
Napomena: u ovom slučaju treba naći dva broja koji
pomnoženi daju proizvod slobodnog člana i
koeficijenta kvadratnog člana (-3)2=-6 , a sabrani
daju koeficijent linearnog člana 5, a to su 6 i -1
razlika kvadrata: (x-y)(x+y)= x2-y2

obrnuto : x2-y2=(x-y)(x+y)
Primjer 4. 9-4b2
9-4b2=32-(2b)2=
=(3-2b)(3+2b)


Ponekad kvadratne trinome možemo
rastavljati na proste faktore i dopunom do
kvadrata
Primjer 5. x2-4x-12
x2-4x+4-4-12=
=(x-2)2-16=(x-2)2-42=
=(x-2-4)(x-2+4)=(x-6)(x+2)
razlika kubova: (x-y)(x2+xy+y2) =x3-y3

obrnuto:
x3-y3=(x-y)(x2+xy+y2)
Primjer 6. 27-8a3
27-8a3=33-(2a)3=
=(3-2a)(9+6a+4a2)
zbir kubova: (x+y)(x2-xy+y2)= x3+y3

obrnuto:
x3+y3=(x+y)(x2-xy+y2)
Primjer 7. 2a3+16b3
2a3+16b3=2(a3+8b3)=
=2(a+2b)(a2-2ab+4b2)
kvadrat zbira: (x+y)2= x2+2xy+y2

obrnuto: x2+2xy+y2=(x+y)2=(x+y)(x+y)
Primjer 8. 16+8b+b2
16+8b+b2=42+2·4·b+b2=
=(4+b)2
kvadrat razlike: (x-y)2= x2-2xy+y2

obrnuto:
x2-2xy+y2=(x-y)2=(x-y)(x-y)
Primjer 9. 4a2-4a+1
4a2-4a+1=(2a)2-2·2a·1+12=
=(2a-1)2
kub zbira: (x+y)3 =x3+3x2y+3xy2+y3

obrnuto:
x3+3x2y+3xy2+y3=(x+y)3
Primjer 10. 1+15a+75a2+125a3
1+15a+75a2+125a3=
=13+3·12·5a+3·1·(5a)2+(5a)3=
=(1+5a)3
kub razlike: (x-y)3=x3-3x2y+3xy2-y3

obrnuto:
x3-3x2y+3xy2-y3=(x-y)3
Primjer 11. 8x3-12x2+6x-1
8x3-12x2+6x-1=
=(2x)3-3·(2x)2·1+3·2x ·12-13=
=(2x-1)3
Zadaci po grupama


I GRUPA
Rastaviti date polinome na proste faktore
1. 4x2y+8xy2=
2. a2x+b2x-a2y-b2y=
3. 16-a2=
4. b2+10b+25=
5. x3+6x2+12x+8=
6. x2+4x-21=


II GRUPA
Rastaviti date polinome na proste faktore
1. 6x2y+12xy2=
2. ab2-3b2+3a-9=
3. 25-a2=
4. x2-14x+49=
5. x3-6x2+12x-8=
6. x2-3x-10=


III GRUPA
Rastaviti date polinome na proste faktore
1. 3a2b-6ab2=
2. xa+y2a-xb-y2b=
3. 9a2-b2=
4. x2-10x+25=
5. a3+6a2b+312ab2+8b3=
6. a2-11a+24=


IV GRUPA
Rastaviti date polinome na proste faktore
1. 3ab-6ac=
2. x2a+y2a+x2b+y2b=
3. 4a2-b2=
4. b2-6b+9=
5. x3-3x2+3x-1=
6. y2+6y+5=


V GRUPA
Rastaviti date polinome na proste faktore
1. 3ab-6ac+9ad=
2. ax-bx+by-ay=
3. (a-b)2-c2=
4. x2-2x+1=
5. x3-9x2y+27xy2-27y3=
6. b2-8b+15=


VI GRUPA
Rastaviti date polinome na proste faktore
1. 2a2b-4a2c+6a2d=
2. ax+bx-by-ay=
3. (a-2)2-c2=
4. 4x2-4x+1=
5. 8+12x+6x2+x3=
6. x2-5x-14=
Rješenja

GRUPA I
1. 4x2y+8xy2=4xy(x+2y)
2. a2x+b2x-a2y-b2y=(a2+b2)(x-y)
3. 16-a2=(4-a)(4+a)
4. b2+10b+25=(b+5)2
5. x3+6x2+12x+8=(x+2)3
6. x2+4x-21=(x+7)(x-3)

GRUPA II
1. 6x2y+12xy2=6xy(x+2y)
2. ab2-3b2+3a-9=(a-3)(b2+3)
3. 25-a2=(5-a)(5+a)
4. x2-14x+49=(x-7)2
5. x3-6x2+12x-8=(x-2)3
6. x2-3x-10=(x-5)(x+2)

GRUPA III
1. 3a2b-6ab2=3ab(a-2b)
2. xa+y2a-xb-y2b=(x+y2)(a-b)
3. 9a2-b2=(3a-b)(3a+b)
4. x2-10x+25=(x-5)2
5. a3+6a2b+312ab2+8b3= (a+2b)3
6. a2-11a+24=(a-3)(a-8)

GRUPA IV
1. 3ab-6ac=3a(b-2c)
2. x2a+y2a+x2b+y2b=(x2+y2)(a+b)
3. 4a2-b2=(2a-b)(2a+b)
4. b2-6b+9=(b-3)2
5. x3-3x2+3x-1=(x-1)3
6. y2+6y+5=(y+1)(y+5)

GRUPA V
1. 3ab-6ac+9ad=3a(b-2c+3d)
2. ax-bx+by-ay=(a-b)(x-y)
3. (a-b)2-c2=(a-b-c)(a-b+c)
4. x2-2x+1=(x-1)2
5. x3-9x2y+27xy2-27y3=(x-3y)3
6. b2-8b+15=(b-3)(b-5)

GRUPA VI
1. 2a2b-4a2c+6a2d=2a2(b-2c+3d)
2. ax+bx-by-ay=(a+b)(x-y)
3. (a-2)2-c2=(a-2-c)(a-2+c)
4. 4x2-4x+1=(2x-1)2
5. 8+12x+6x2+x3=(2+x)3
6. x2-5x-14=(x-7)(x+2)
Hvala na pažnji!