Sistemas de ecuaciones Lineales Metodos Directos
Download
Report
Transcript Sistemas de ecuaciones Lineales Metodos Directos
Nociones Elementales de Matrices
Antes de ver la solución de los Sistemas de Ecuaciones Lineales
haremos un repaso de las fundamentos de las matrices.
1
Nociones Elementales de Matrices
2
Nociones Elementales de Matrices
3
Nociones Elementales de Matrices
4
Nociones Elementales de Matrices
5
Nociones Elementales de Matrices
6
Nociones Elementales de Matrices
7
Solución de sistemas de ecuaciones
lineales
Análisis de Circuitos (ecuaciones de malla y nodos)
Solución Numérica de ecuaciones diferenciales (Método de las
diferencias Finitas)
Solución Numérica de ecuaciones de integrales (Metodo de los
Elementos Finitos, Método de los Momentos)
a11 a12
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1
a
a22
a21 x1 a22 x2 a2 n xn b2
21
an1 x1 an 2 x2 ann xn bn
an1 an 2
a1n x1 b1
a2 n x2 b2
ann xn bn
8
Consistencia (Solubilidad)
El sistema lineal de ecuaciones Ax=b tiene una solución, o es
consistente si y solo si
Rango{A}=Rango{A|b}
Un sistema es inconsistente cuando
Rango{A}<Rango{A|b}
Rank{A} es el máximo numero de columnas linealmente
independientes o filas de A. El rango puede ser encontrado usando
ERO (Elementary Row Oparations) ó ECO (Elementary column
operations).
9
Operaciones Elementales de filas (ERO)
Las siguientes operaciones aplicadas a la matriz aumentada[A|b],
producen un sistema lineal equivalente
Intercambios: El orden de dos filas pueden ser cambiada
Escalado: Multiplicando un fila por una constante no cero
Reemplazo: Las filas pueden ser reemplazadas por la suma de
esa fila y un múltiplo distinto a cero de cualquier otra fila
10
Un ejemplo inconsistente
1 2 x1 4
2 4 x 5
2
ERO:Multiplicar la primera fila por -2 y
sumar la segunda fila
1 2
0 0
Rank{A}=1
1 2 4
0 0 3
Rank{A|b}=2
Entonces
este sistema
de
ecuaciones
no es soluble
11
Unicidad de las soluciones
El sistema tiene una única solucion si y solo si
Rango{A}=Rango{A|b}=n
n es el orden del sistema
Tales sistemas son llamados sistemas full-rank (rango completo)
12
Sistemas rango completo (Full-rank)
Si Rango{A}=n
Det{A} 0 A es nonsingular por lo tanto invertible
Solución Única
1 2 x1 4
1 1 x 2
2
13
Matrices de rango deficiente
Si Rango{A}=m<n
Det{A} = 0 A is singular por lo tanto no es invertible
número infinito de soluciones (n-m variables libres)
sistema sub-determinado
1 2 x1 4
2 4 x 8
2
Rank{A}=Rank{A|b}=1
Consistente soluble
14
Sistema de ecuaciones
mal-condicionadas
Una pequeña desviación en las entradas de la matriz A,
causa una gran desviación en la solución.
2 x1 3
x1 1
1
0.48 0.99 x 1.47 x 1
2
2
x1 3
2 x1 3
1
0.49 0.99 x 1.47
x2 0
2
15
Mal condicionada (continua.....)
Un sistema lineal de
ecuaciones se dice a
ser “mal
condicionada” si la
matriz de coeficientes
tiende a ser singular
16
17
Tipos de ecuaciones de sistemas lineales
a ser estudiados
Los coeficientes reales de la matriz cuadrada A
EL vector b es diferente de cero y real
Sistema consistente, soluble
Sistemas rango completo, solución única
Sistemas bien-condicionados
18
Técnicas de Solución
Métodos directos de solución
Encuentra una solución en un número finito de operaciones
transformando el sistema en un sistema equivalente que sea
' más fácil ' de solucionar.
Triangulares diagonales, .
Métodos de solución Iterativos
Calcula las aproximaciones sucesivas del vector solución para
una mat. A y un b dados, comenzando de un punto inicial x0
Total del · de operaciones es incierto, puede que no converja.
19
Métodos de solución directa
Eliminación Gaussiana
a11
ai1
an1
a1i
aii
ani
Usando ERO, la matriz A es transformada en una
matriz triangular superior (todos los elementos
debajo de la diagonal son cero).
Sustitución hacia atrás es usada para resolver un
sistema triangular superior
a1n x1 b1
ain xi bi
ann xn bn
a11
0
ERO
0
a1i a1n x1 b1
~
a~ii a~in xi bi
~
0 a~nn xn bn
Back substitution
20
Primer paso de la eliminación
Elemento pivotal a11
(1)
(1)
a21
(1)
a31
a (1)
n1
(1)
(1)
m2 ,1 a21
/ a11
(1)
(1)
m3,1 a31
/ a11
(1)
mn ,1 an(11) / a11
(1)
a11
0
0
0
(1)
a12
(1)
a13
(1)
a22
(1)
a23
(1)
a32
(1)
a33
an(12)
an(13)
(1)
a12
(1)
a13
( 2)
a22
( 2)
a23
( 2)
a32
( 2)
a33
an( 22)
an( 23)
b1(1)
a1(1n) x1
(1)
a2(1n) x2
b2
a3(1n) x3 b3(1)
(1)
(1)
x
ann
b
n
n
b1(1)
a1(1n) x1
( 2)
a2( 2n) x2
b2
a3( 2n ) x3 b3( 2 )
( 2)
( 2)
x
ann
b
n
n
21
Segundo paso de la eliminación
(1)
a11
Elemento Pivotal 0
0
0
( 2)
( 2)
m3, 2 a32
/ a22
( 2)
mn , 2 an( 22) / a22
(1)
a11
0
0
0
(1)
a12
(1)
a13
( 2)
a22
( 2)
a23
( 2)
a32
( 2)
a33
an( 22)
an( 23)
(1)
a12
(1)
a13
( 2)
a22
( 2)
a23
0
( 3)
a33
0
an( 33)
a1(1n) x1 b1(1)
a2( 2n) x2 b2( 2 )
a3( 2n) x3 b3( 2 )
( 2)
b ( 2 )
x
ann
n
n
a1(1n) x1 b1(1)
a2( 2n) x2 b2( 2 )
a3( 3n) x3 b3( 3)
( 3)
b ( 3 )
x
ann
n
n
22
Algoritmo de la Eliminación Gaussiana
mr , p arp( p ) / a (ppp )
arp( p ) 0
br( p1) br( p) mr , p bp( p)
For c=p+1 to n
( p1)
rc
a
a
( p)
rc
mr , p a
( p)
pc
23
Algoritmo de la sustitución
hacia atrás
(1)
a11
0
0
0
0
(1)
a12
(1)
a13
( 2)
a22
0
( 2)
a23
( 3)
a33
0
0
0
0
an( n1) n 1
0
bn( n )
xn ( n )
ann
1
xi (i )
aii
xn 1
b1(1)
a1(1n) x1
( 2)
a2( 2n) x2
b2
b3( 3)
a3( 3n) x3
b ( n 1)
an( n1) n xn 1
n 1
(n)
(n)
ann
xn
bn
1
a
( n 1)
n 1n 1
b
( n 1)
n 1
ann11n xn
n
(i )
(i )
bi aik xk i n 1, n 2, ,1
k i 1
24
Contador de Operaciones
Número de operaciones aritméticas requeridas por el
algoritmo para completar esta tarea.
Generalmente solo multiplicaciones y divisiones son
contadas.
3
2
n
n
5n
Proceso de Eliminación
Sustitución hacia atrás
Total
n3
n
2
n
3
3
3 2
n2 n
2
6
Dominates
No eficiente para
diferentes vectores RHS
25
Decomposición LU
A=LU
Ax=b LUx=b
Define Ux=y
Ly=b
Resolver y por sustitución hacia adelante
Ux=y
Resolver x por sustitución hacia atrás
Las operaciones elementales entre filas debe ser desarrolladas en
b así como en A.
La información de estas operaciones es almacenada en L
En verdad y es obtenida aplicando operaciones elementales al
vector b.
26
Decomposición LU por Eliminación
Gausiana
Existen infinitas formas diferentes para descomponer A.
Una de las más populares es: U=Matriz de la Eliminación Gaussiana
L=Multiplicadores usados para la eliminación
0
0
0 0 a11(1) a12(1) a13(1)
1
a1(1n)
m
( 2)
( 2)
( 2)
1
0
0
0
0
a
a
a
22
23
2n
2,1
( 3)
m3,1
m3, 2
1
0 0 0
0 a33
a3(3n)
A
0
mn 1,1 mn 1, 2 mn 1,3 1 0
0
0 an( n1) n 1 an( n1) n
(n)
mn , 2
mn ,3 mn , 4 1 0
0
0
0
ann
mn ,1
Almacenamiento Compacto: Las entradas diagonales de la matriz L son
todos unos, estos no necesitan almacenarse. LU es almacenado en una
matriz.
27
Contador de Operaciones
A=LU Descomposición
n3 n
3 3
Ly=b Sustitución hacia adelante
Ux=y Sustitución hacia atrás
n3
n
2
n
3
3
Total
n2 n
2
2
n n
2
Para diferentes vectores RHS, el sistema puede ser
eficientemente resuelto.
28
Pivoteo
Computadoras usan precisión aritmética finita
Pequeños errores son introducidos en cada operación
aritmética, propagación de errores
Cuando los elementos pivotales son muy pequeños, los
multiplicadores podrían ser muy grandes.
La adición de números de magnitud diferente puede
conducir a la pérdida de significación .
Para reducir el error, se realiza intercambio de filas
para maximizar la magnitud del elemento pivotal.
29
Ejemplo: Sin Pivoteo
aritmética 4-digit
1.133 5.281 x1 6.414
24.14 1.210 x 22.93
2
24.14
m21
21.31
1.133
1.133 5.281 x1 6.414
0.000 113.7 x 113.8
2
x1 0.9956
x 1.001
2
Pérdida de precisión
30
Ejemplo: Con Pivoteo
24.14 1.210 x1 22.93
1.133 5.281 x 6.414
2
1.133
m21
0.04693
24.14
24.14 1.210 x1 22.93
0.000 5.338 x 5.338
2
x1 1.000
x 1.000
2
31
Procedimiento de Pivoteo
a11(1)
0
0
Parte
Eliminada
0
0
0
a12(1)
( 2)
a22
0
0
0
0
a13(1) a1(i1) a1(1j) a1(1n)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
a23 a2i a2 j a2 n
a33(3) a3(3i ) a3(3j) a3( 3n)
0 aii(i ) aij( i ) ain( i ) Fila
Pivotal
0 a (jii ) a (jji ) a (jni )
(i )
(i )
(i )
0 ani anj ann
Columna Pivotal
32
Pivoteo por fila
Más comúnmente llamado procedimiento de
pivoteo parcial
Busque la columna pivotal
Encuentre el mas grande elemento en magnitud
Luego intercambie esta fila con la fila pivotal.
33
Pivoteo por filas
a11(1)
0
0
0
0
0
a12(1)
( 2)
a22
0
0
0
0
a13(1) a1(i1) a1(1j) a1(1n)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
a23 a2i a2 j a2 n
a33(3) a3(3i ) a3(3j) a3( 3n) Intercambio
de filas
0 aii(i ) aij( i ) ain( i )
0 a (jii ) a (jji ) a (jni )
(i )
(i )
(i )
0 ani anj ann
El más grande en magnitud
34
Pivoteo por columna
a11(1)
0
0
0
0
0
a13(1) a1(i1) a1(1j) a1(1n)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
a22 a23 a2i a2 j a2 n
0 a33(3) a3(3i ) a3(3j) a3( 3n)
0
0 aii(i ) aij( i ) ain( i )
0
0 a (jii ) a (jji ) a (jni )
(i )
(i )
(i )
0
0 ani anj ann
Intercambio de
Estas columnas
a12(1)
El mas
grande
en
magnitud
35
Pivoteo Completo
a11(1)
0
0
0
0
0
a13(1) a1(i1) a1(1j) a1(1n)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
( 2)
a22 a23 a2i a2 j a2 n
0 a33(3) a3(3i ) a3(3j) a3( 3n) Intercambie
estas filas
0
0 aii(i ) aij( i ) ain( i )
0
0 a (jii ) a (jji ) a (jni )
Más grande
(i )
(i )
(i )
0
0 ani anj ann en magnitud
Intercambie
36
estas columnas
a12(1)
Pivoteo por filas en Descomposición LU
Cuando dos filas de A se
intercambian, las filas de
b deben también ser
intercambiadas.
Use un vector pivote.
Vector pivote inicial son
enteros desde 1 hasta n.
Cuando dos filas (i y j)
de A son intercambiadas,
aplicar esto al vector
pivote.
1
2
3
p i
j
n
1
2
3
p j
i
n
37
Modificando el vector b
Cuando se realiza la
1
descomposición LU de A, el
3
vector pivote nos da el
2
orden de las filas después
del intercambio.
4
Antes
de
aplicar
la p 8
sustitución hacia adelante
6
7
para
resolver
Ly=b,
modificar el orden del
5
vector b de acuerdo a las
9
entradas del vector pivote.
7.3
7 .3
8.6
1. 2
1.2
8. 6
4
.
8
4
.
8
b 9.6 b 3.5
5
.
2
5. 2
2.7
2. 7
3.5
9. 6
6.9
6. 9
38
Descomposición LU
algoritmo con pivoteo parcial
ark a pk then p r
Columna para una
entrada máxima
Intercambio
t akc , akc a pc , a pc t de filas
mr ,k ark( k ) / akk( k )
Actualizando la matriz L
ark( k 1) mr ,k
Actualizando la
matriz U
For c=k+1 to n
( k 1)
rc
a
a
(k )
rc
mr ,k a
(k )
kc
39
Ejemplo
3
2
0
12
A 4 2 1 b 5
1
3
4 2
1
p 2
3
Intercambio de columnas: Máxima magnitud segunda fila
Intercanbio de la 1era y 2da fila
4 2 1
A 0
3
2
1
4 2
2
p 1
3
40
Ejemplo (continuación)...
4 2 1
A 0
3
2
1
4 2
2
p 1
3
Elimación de a21 y a31 usando a11 como elemento pivotal
A=LU en forma compacta (en una sola matriz)
1
4 2
A 0
3
2
0 3.5 1.75
2
p 1
3
Multiplicadores (matriz L) l21=0; l31=-0.25
41
Ejemplo (continuación)...
1
4 2
A 0
3
2
0 3.5 1.75
2
p 1
3
Columna encontrada: Maxima magnitud en la tercera fila
Intercambio de la 2da y 3era fila
1
4 2
A 0 3.5 1.75
0
3
2
2
p 3
1
42
Ejemplo (continuación)...
1
4 2
A 0 3.5 1.75
0
3
2
2
p 3
1
Eliminar a32 usando a22 como elemento pivotal
1
4 2
A 0 3.5 1.75
0
0
3.5
2
p 3
1
Multiplicadores (matriz L) l32=3/3.5
43
Ejemplo (continuación)...
0
0 4 2
1
1
A 0.25
1
0 0 3.5 1.75
0
3 / 3.5 1 0
0
3.5
2
p 3
1
2
12
5
p 3 b 5 b 3
1
3
12
A’x=b’
LUx=b’
Ux=y
Ly=b’
44
Ejemplo (continuación)...
Ly=b’
0
0 y1 5
1
0.25
y 3
1
0
2
0
3 / 3.5 1 y3 12
Sustitución
Inversa
y1 5
y 1.75
2
y3 10.5
Ux=y
1 x1 5
4 2
0 3.5 1.75 x 1.75
2
0
0
3.5 x3 10.5
Sustitución
Directa
x1 1
x 2
2
x3 3
45
Eliminación de Gauss-Jordan
(1)
a11
(1)
a21
(1)
an1
(1)
a11
0
0
Los elementos sobre la diagonal se convierten y por
debajo de la diagonal son ceros.
(1)
a12
(1)
a22
a1(1n)
a2(1n)
an(12)
(1)
ann
0
( 2)
a22
( 2)
ann
( 2)
ann
0
( 3)
ann
b1(1)
b2(1)
(1)
bn
(1)
a11
0
0
b1( 2 )
b2( 2 )
( 3)
bn
(1)
a11
0
0
(1)
a12
( 2)
a22
a1(1n)
a2( 2n)
an( 22)
( 2)
ann
0
( 2)
a22
0
0
0
(n)
ann
b1(1)
b2( 2 )
bn( 2 )
b1( n 1)
b2( n 1)
(n)
bn
46
Eliminación de Gauss-Jordan
Casi 50% mas de operaciones aritméticas que la
Eliminación Gaussiana.
Gauss-Jordan (GJ) Eliminación es preferible cuando la
inversa de una matriz es requirido.
A
I
Aplicar eliminación GJ para convertir A en una matriz
identidad.
I
1
A
47
Diferentes formas de factorización LU
Forma de Doolittle
Obtenida por
Eliminación Gaussiana
Forma de Crout
Forma de Choleski
a11
a
21
a31
a11
a
21
a31
a13 1
a23 l21
a33 l31
a12
a22
a32
a12
a22
a32
a13 l11
a23 l21
a33 l31
l11
l
21
l31
0
l 22
l32
0
1
l32
0
l22
l32
0 l11
0 0
l33 0
0 u11
0 0
1 0
u12
u22
0
0 1 u12
0 0 1
l33 0 0
l12
l 22
0
u13
u23
u33
u13
u 23
1
l13
l 23
l33
48
Forma de Crout
li1 ai1
a1 j
u1 j
l 11
Cálculo de la primera columna de L
Cálculo de la primera fila de U
Cálculo alternado de las colum. de L y filas de U
j 1
lij aij lik ukj
j i, i 1,2,, n
k 1
aij k 1 lik ukj
i 1
uij
lii
i j,
j 2,3, , n
49
Secuencia de la reducción de Crout
a11
a
21
a31
a41
a12
a13
a22
a23
a32
a33
a42
a43
a14 l11 0 0 0 1 u12 u13 u14
a24 l21 l22 0 0 0 1 u23 u24
a34 l31 l32 l33 0 0 0
1 u34
a44 l41 l42 l43 l44 0 0
0
1
1
3
5
2
4
6
7
Una entrada de la matriz A es useda solamente una vez
para calcular la Correspondiente entrada de las matrices
L o U .Así las columnas de L y las filas de U pueden ser
almacenadas en la matriz A
50
Factorización de Choleski
Si A es simétrica y definida positiva, entonces la factorización LU
Puede ser arreglada para que U = LT , la cual se obtiene de la
factorización de Choleski
A = LLT
Donde L es una matriz triangular inferior con diagonal con
entradas positivas
Algoritmo para el cálculo puede ser derivado por la ecuación
correspondiente a las entradas de A y LLt
En el caso de 2 × 2, por ejemplo,
Implica que:
51
Factorización de Choleski (continua)
Una forma de escribir el algoritmo general,es
52
Solución de Sistemas Lineales de ecuaciones
Complejas
Cz=w
C=A+jB
Z=x+jy
w=u+jv
(A+jB)(x+jy)=(u+jv)
(Ax-By)+j(Bx+Ay)=u+jv
A B x u
B A y v
Sistema lineal de ecuaciones reales
53
Sistemas grandes y Esparcidos
a11
0
a31
a41
0
Cuando el sistema lineal es grande y esparcido (muchas
entradas ceros), los métodos directos llegan a ser
ineficientes por la presencia de términos de relleno.
Los términos de relleno son aquellos que resultan ser
diferentes de cero durante la eliminación
0
a13
a14
a22
0
0
a33
a24
0
a42
0
a44
0
a53
0
0
a11
0
0
Eliminación
a35
0
0
0
a55
0
0
a13
a14
a22
0
0
a33
0
0
a24
a34
a44
0
0
0
Términos
de
0 relleno
0
a35
a45
a55
54
Matrices Esparcidas
La matriz de ecuación de nodos es una matriz
esparcida.
Matrices Esparcidas son almacenadas eficientemente
almacenando solamente las entradas no cero.
Cuando del sistema es muy grande (n=10,000) los
términos de relleno aumentan los requerimientos de
almacenamiento considerablemente.
En tales casos los métodos de solución iterativa debe
ser preferidos en lugar de métodos de solución directa.
55
Problema 1
Resolver por Eliminación Gaussiana con pivoteo parcial
de filas: 4 0 2 3 x1 9
3 2 2 3 x 14
2
2
4 1 1 x3 9
x
1
1
1
1
4
4
E2-(3/4)E1 =>E2
E3-(1/2)E1 =>E3
E4-(-1/4)E1=>E4
2
3 x1 9
4 0
0 2 0.5 0.75 x 7.25
2
0 4 2 2.5 x3 13.5
x
0
1
1
.
5
1
.
75
6
.
25
4
56
Problema 1
Intercambiamos las Ecuaciones 2 y 3 (E2E3)
2
3 x1 9
4 0
0 4 2
x 13.5
2
.
5
2
0 2 0.5 0.75 x3 7.25
x
0
1
1
.
5
1
.
75
6
.
25
4
4
E3-(-1/2)E2 =>E3 0
E4-( 1/4)E2 =>E4 0
0
3 x1 9
4 2
2.5 x2 13.5
0
2
2.375 x3 9.625
0 0.5
0.5 x4 0.5
0
2
57
Problema 1
E4-(-1/4)E3 =>E4
4
0
0
0
x1 9
4 2
2.5 x2 13.5
0 2
2.375 x3 9.625
0 0 0.09375 x4 2.90625
0
2
3
Resolviendo por
sustitución hacia atrás:
x4 31
x 32
3
x2 0
x1 5
58
Problema 2
Obtener la factorización de Doolite:
6 1
A
2
4
Solución 1
A partir de la Eliminacion Gaussiana:
1
6
m21= a21/a11 =2/6=1/3
U
0
13
/
3
E2-(1/3)E1=>E2
1
L
m12
0 1 0
1
1 0 6
A L *U
*
1 1 / 3 1
1
/
3
1
0
13
/
3
59
Problema 2
Solución 2
1 0 u11 u12
6 1
A
L *U
*
l
1
0
u
2
4
22
21
Planteando el producto matricial:
6 u11
1 u12
2 l21u11 l21 1 / 3
4 l21u12 u22 u22 13 / 3
1
6 1
1 0 6
A
L *U
*
2
4
1
/
3
1
0
13
/
3
60
Problema 3
Resolver por la factorización de Doolite:
6 1 x1 5
2 4 x 6
2
Solución
Del ejercicio anterior ya tenemos la factorización LU:
1 x1 5
1 0 6
L *U * x b
*
1 / 3 1 0 13/ 3 x2 6
61
Problema 3
Se obtienen dos sistemas triangulares fáciles de resolver.
Resolviendo el sistema triangular inferior por sustitución
directa:
1 0 z1 5 z1 5
L* z b
*
z
z
1
/
3
1
6
13
/
3
2 2
Resolviendo el sistema triangular superior por sustitución
directa:
1 x1 z1 5 x1 1
6
U *x z
0 13/ 3 x2 z2 13/ 3 x2 1
62
Problema 4
Obtener la factorización de Crout:
60 30 20
A 30 20 15
20 15 12
Solucion
Debemos plantear la multiplicacion matricial:
a11
A a21
a31
a12
a22
a32
a13
l11 0
a23 L *U l21 l22
l31 l32
a33
0 1 u12
0 0 1
l33 0 0
u13
u23
1
63
Problema 4
a11 l11
a12 l11u12
a13 l11u13
a21 l21
60 30 20
60 0 0 1 1 / 2 1 / 3
A 30 20 15 L *U 30 5 0 0 1
1
20 15 12
20 5 1 / 3 0 0
1
64
Problema 5
Método de Crout para sistemas tridiagonales
a11
a
21
0
0
a12
0
a22
a32
a23
a33
0
a43
0 l11 0
0 l21 l22
a34 0 l32
a44 0 0
0
0
l33
l43
0 1 u12
0 0 1
0 0 0
l44 0 0
0
u23
1
0
0
0
u34
1
0
0
0 1 1 / 2
0
0
2 1 0 0 2
1 2 1 0 1 3 / 2 0
0
0
1
2
/
3
0
0 1 2 1 0 1 4 / 3 0 0
0
1
3 / 4
0
0
1
2
0
0
1
5
/
4
0
0
1
65
Problema 6
Factorizar por el método de Choleski la siguiente
matriz:
1
1
4
1 4.25 2.75
1 2.75 3.5
Solución
Se requiere que la matriz sea simétrica y definida
positiva para aplicar Choleski.
66
Problema 6
Es evidente que la matriz es simétrica; para
verificar que es definida positiva verificamos si se
satisface el criterio de Silvester:
det 4 0
4
1
0
det
1
4
.
25
4
1
1
det 1 4.25 2.75 0
1 2.75 3.5
67
Problema 6
Dado que los determinantes de todos los menores
principales son positivos podemos afirma que la
matriz es definida positiva y podemos aplicar la
factorización de Choleski con seguridad.
A L *U L * L U *U
T
a11
A a21
a31
a12
a22
a32
a13
l11 0
a23 L * LT l21 l22
l31 l32
a33
T
0 l11 l21
0 0 l22
l33 0 0
l31
l32
l33
68
Problema 6
Resolviendo la multiplicación matricial:
a 0 0 a b f
b c 0 0 c e
d e f 0 0 f
a 2 4
ba
1
2
0 0 2 1 / 2 1 / 2
4.25 b 2 c 2
1 / 2 2 0 0
2
3
/
2
1 ad
0
1
2.75 db ec
1 / 2 3 / 2 1 0
3.5 d 2 e 2 f 2
69