Transcript Aula 16 - Lineu FS Mialaret
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP
Campus de Caraguatatuba
Licenciatura em Matemática 1 0 Semestre de 2013
Cálculo Numérico – CN
Prof. Lineu Mialaret
Aula 16: Sistemas de Equações Lineares (4) Cálculo Numérico ©Prof. Lineu Mialaret Aula 16 - 1/34
Fatoração LU (1)
Seja o sistema linear Um processo de Ax = b .
fatoração para a resolução do sistema linear acima consiste em decompor a matriz A (matriz dos coeficientes) num produto de dois ou mais fatores, e resolver uma sequência de sistemas lineares que conduz à solução do sistema original.
Ou seja, Caso possa se fazer a fatoração A = CD , o sistema linear Ax = b Se pode ser escrito como y = Dx , (CD)x = b .
então resolver o sistema linear mesmo que resolver o sistema linear Cy = b Ax= b é o e em seguida solucionar o sistema Os processos de Dx = y .
fatoração são vantajosos pois permitem resolver qualquer sistema linear que tenha a matriz A como matriz de coeficientes.
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Fatoração LU (2)
A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados para se resolver sistemas lineares.
Nessa fatoração, a matriz com diagonal L é uma matriz triangular inferior unitária e a matriz U é uma matriz triangular superior.
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Cálculo dos Fatores L e U (1)
A de obtenção dos fatores L e U por fórmulas dificulta o uso estratégias de pivoteamento, e por esta razão, para se obter esses fatores será usado o processo de Gauss.
Para exemplificar, seja o seguinte sistema linear e a respectiva matriz A, apresentados a seguir,
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Cálculo dos Fatores L e U (2)
Os multiplicadores da 1 ª iteração do processo de Gauss são apresentados a seguir, Para se eliminar linha 1 por m i1 x 1 da linha i ( i = 2,3, ...), multiplica-se a e subtrai-se o resultado da linha i .
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Cálculo dos Fatores L e U (3)
Os coeficientes a ij (0) são alterados para a ij (1) , onde Isso equivale a M (0) onde M (0) é pré-multiplicar a matriz A (0) pela matriz
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Cálculo dos Fatores L e U (4)
Ou seja,
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Cálculo dos Fatores L e U (5)
Portanto, M (0) A (0) = A (1) (que é a mesma matriz obtida no final da 1 ª iteração do processo de Gauss).
Supondo que a 22 (1) não seja zero, o multiplicador m 32 será Para se eliminar m 32 x 2 da linha 3, multiplica-se a linha 2 por e subtrai-se o resultado da linha 3.
Os coeficientes a ij (1) são alterados para
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Cálculo dos Fatores L e U (6)
As operações efetuadas na matriz pré-multiplicar A (1) por M (1) , onde A (1) são equivalentes a
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Cálculo dos Fatores L e U (7)
Portanto, M (1) A (1) = A (2) (que é a mesma matriz obtida no final da 2 ª iteração do processo de Gauss).
Tem-se então que
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Cálculo dos Fatores L e U (8)
É fácil verificar que
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Então,
Cálculo dos Fatores L e U (9)
Ou seja,
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Cálculo dos Fatores L e U (10)
Sintetizando, Fatorou-se a matriz sendo que o fator A L em duas matrizes triangulares é triangular superior com diagonal unitária e seus elementos multiplicadores m ij Eliminação de Gauss.
l ij para i obtidos no processo de > j L e U , são os Eliminação de Gauss; e O fator U é triangular superior e é a matriz triangular obtida no final da fase de triangularização do Processo de L U
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Teorema da Fatoração LU (1)
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Teorema da Fatoração LU (2)
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Cálculo dos Fatores L e U (11)
Exemplo 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU.
Usando-se o Processo de Gauss, para se triangularizar a Matriz A , tem-se na Etapa 1
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Cálculo dos Fatores L e U (12)
Então tem a seguinte manipulação de linhas A matriz A (1) é
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Cálculo dos Fatores L e U (13)
Como a 21 (1) e a 31 (1) multiplicadores nessas são nulos, pode-se guardar os posições
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Cálculo dos Fatores L e U (14)
Na 2 ª Etapa tem-se Multiplicadores nas posições a ij = 0 Tem-se então
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Cálculo dos Fatores L e U (15)
Os fatores L e U são Solucionando-se L(Ux) = b Lembrar do Teorema da Fatoração LU
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Cálculo dos Fatores L e U (16)
Solucionando-se L(Ux) = b Lembrar do Teorema da Fatoração LU
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Cálculo dos Fatores L e U (11)
Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU.
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Cálculo dos Fatores L e U (12)
Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU.
Solução:
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (1) A estratégia de pivoteamento parcial na fatoração LU requer a permutação de linhas na matriz A (k) , quando necessário.
Para isso, é necessário Definir o que é uma matriz de permutação; Como usar o pivoteamento parcial na Analisar quais os efeitos das fatoração LU; e permutações na solução dos sistemas lineares Ly = b e Ux = y .
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (2) Uma matriz quadrada de ordem Matriz de n é denominada de Permutação quando ela pode ser obtida a partir da Matriz Identidade de ordem n permutando-se suas linhas (ou colunas).
Fazendo-se a matriz de pré-multiplicação de uma matriz permutação P linhas permutadas e esta A por uma obtém-se a matriz PA com as permutação de linhas é a mesma efetuada na matriz identidade para se obter a matriz P .
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (3) Exemplo 2:
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (4)
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (5) Exemplo 3: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial.
Usando-se o Processo de Gauss, tem-se na Etapa 1 Ou seja, deve-se fazer a permutação das linhas 3 e 1
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (6) Ou seja, deve-se fazer a permutação das linhas 3 e 1 Fazendo-se a eliminação na matriz A´ (0) tem-se
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (7) Na 2 ª Etapa, tem-se, Então deve-se fazer a permutação das linhas 2 e 3, obtendo-se
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (8) Fazendo-se a eliminação tem-se, Os fatores L e U são
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (9)
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (10) Solução dos sistemas lineares,
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (11) Solução dos sistemas lineares,
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (12) Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial.
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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (13) Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial.
Solução:
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