Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de São Paulo - IFSP

Campus de Caraguatatuba

Licenciatura em Matemática 1 0 Semestre de 2013

Cálculo Numérico – CN

Prof. Lineu Mialaret

Aula 16: Sistemas de Equações Lineares (4) Cálculo Numérico ©Prof. Lineu Mialaret Aula 16 - 1/34

Fatoração LU (1)

    Seja o sistema linear Um processo de Ax = b .

fatoração para a resolução do sistema linear acima consiste em decompor a matriz A (matriz dos coeficientes) num produto de dois ou mais fatores, e resolver uma sequência de sistemas lineares que conduz à solução do sistema original.

Ou seja,  Caso possa se fazer a fatoração A = CD , o sistema linear  Ax = b Se pode ser escrito como y = Dx , (CD)x = b .

então resolver o sistema linear mesmo que resolver o sistema linear Cy = b Ax= b é o e em seguida solucionar o sistema Os processos de Dx = y .

fatoração são vantajosos pois permitem resolver qualquer sistema linear que tenha a matriz A como matriz de coeficientes.

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Fatoração LU (2)

 A fatoração LU é um dos processos de fatoração mais empregados para se resolver sistemas lineares.

 Nessa fatoração, a matriz com diagonal L é uma matriz triangular inferior unitária e a matriz U é uma matriz triangular superior.

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Cálculo dos Fatores L e U (1)

  A de obtenção dos fatores L e U por fórmulas dificulta o uso estratégias de pivoteamento, e por esta razão, para se obter esses fatores será usado o processo de Gauss.

Para exemplificar, seja o seguinte sistema linear e a respectiva matriz A, apresentados a seguir,

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Cálculo dos Fatores L e U (2)

 Os multiplicadores da 1 ª iteração do processo de Gauss são apresentados a seguir,  Para se eliminar linha 1 por m i1 x 1 da linha i ( i = 2,3, ...), multiplica-se a e subtrai-se o resultado da linha i .

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Cálculo dos Fatores L e U (3)

 Os coeficientes a ij (0) são alterados para a ij (1) , onde  Isso equivale a M (0) onde M (0) é pré-multiplicar a matriz A (0) pela matriz

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Cálculo dos Fatores L e U (4)

 Ou seja,

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Cálculo dos Fatores L e U (5)

  Portanto, M (0) A (0) = A (1) (que é a mesma matriz obtida no final da 1 ª iteração do processo de Gauss).

Supondo que a 22 (1) não seja zero, o multiplicador m 32 será   Para se eliminar m 32 x 2 da linha 3, multiplica-se a linha 2 por e subtrai-se o resultado da linha 3.

Os coeficientes a ij (1) são alterados para

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Cálculo dos Fatores L e U (6)

 As operações efetuadas na matriz pré-multiplicar A (1) por M (1) , onde A (1) são equivalentes a

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Cálculo dos Fatores L e U (7)

  Portanto, M (1) A (1) = A (2) (que é a mesma matriz obtida no final da 2 ª iteração do processo de Gauss).

Tem-se então que

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Cálculo dos Fatores L e U (8)

 É fácil verificar que

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 Então,

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 Ou seja,

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Cálculo dos Fatores L e U (10)

 Sintetizando,   Fatorou-se a matriz sendo que o fator A L em duas matrizes triangulares é triangular superior com diagonal unitária e seus elementos multiplicadores m ij Eliminação de Gauss.

l ij para i obtidos no processo de > j L e U , são os Eliminação de Gauss; e O fator U é triangular superior e é a matriz triangular obtida no final da fase de triangularização do Processo de L U

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Teorema da Fatoração LU (1)

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Teorema da Fatoração LU (2)

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Cálculo dos Fatores L e U (11)

 Exemplo 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU.

 Usando-se o Processo de Gauss, para se triangularizar a Matriz A , tem-se na Etapa 1

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Cálculo dos Fatores L e U (12)

 Então tem a seguinte manipulação de linhas  A matriz A (1) é

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Cálculo dos Fatores L e U (13)

 Como a 21 (1) e a 31 (1) multiplicadores nessas são nulos, pode-se guardar os posições

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Cálculo dos Fatores L e U (14)

 Na 2 ª Etapa tem-se Multiplicadores nas posições a ij = 0  Tem-se então

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Cálculo dos Fatores L e U (15)

 Os fatores L e U são  Solucionando-se L(Ux) = b Lembrar do Teorema da Fatoração LU

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Cálculo dos Fatores L e U (16)

 Solucionando-se L(Ux) = b Lembrar do Teorema da Fatoração LU

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Cálculo dos Fatores L e U (11)

 Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU.

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Cálculo dos Fatores L e U (12)

 Exercício 1: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU.

 Solução:

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (1)   A estratégia de pivoteamento parcial na fatoração LU requer a permutação de linhas na matriz A (k) , quando necessário.

Para isso,    é necessário Definir o que é uma matriz de permutação; Como usar o pivoteamento parcial na Analisar quais os efeitos das fatoração LU; e permutações na solução dos sistemas lineares Ly = b e Ux = y .

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (2)   Uma matriz quadrada de ordem Matriz de n é denominada de Permutação quando ela pode ser obtida a partir da Matriz Identidade de ordem n permutando-se suas linhas (ou colunas).

Fazendo-se a matriz de pré-multiplicação de uma matriz permutação P linhas permutadas e esta A por uma obtém-se a matriz PA com as permutação de linhas é a mesma efetuada na matriz identidade para se obter a matriz P .

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (3)  Exemplo 2:

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (4)

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (5)  Exemplo 3: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial.

 Usando-se o Processo de Gauss, tem-se na Etapa 1  Ou seja, deve-se fazer a permutação das linhas 3 e 1

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (6)  Ou seja, deve-se fazer a permutação das linhas 3 e 1  Fazendo-se a eliminação na matriz A´ (0) tem-se

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (7)  Na 2 ª Etapa, tem-se,  Então deve-se fazer a permutação das linhas 2 e 3, obtendo-se

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (8)  Fazendo-se a eliminação tem-se,  Os fatores L e U são

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (9)

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (10)  Solução dos sistemas lineares,

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (11)  Solução dos sistemas lineares,

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (12)  Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial.

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Fatoração LU com Pivoteamento Parcial (13)  Exercício 2: Resolver o sistema linear a seguir usando-se a Fatoração LU com pivoteamento parcial.

 Solução:

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