Transcript Metode Grafik / Maksimasi

Srikandi Kumadji
DOSEN FIA UB
Srikandi Kumadji
DOSEN FIA UB
LINEAR PROGRAMMING
1.
2.
3.
4.
5.
TUJUAN LP
PERSYARATAN YANG DIPERLUKAN
DALAM LP
ASUMSI YANG BERLAKU DALAM LP
SEJARAH LP
MODEL FORMULASI
1.
TUJUAN LP
Meningkatkan
konsentrasi Belajar
PERSYARATAN YANGpemahaman
DIPERLUKAN DALAM
LP
Memudahkan
Mahasiswa
ASUMSI YANG BERLAKU
DALAM LP
Meningkatkan
Kemampuan
Dosen
SEJARAH LP
Meningkatkan
gairah belajar
MODEL FORMULASI Mutu Mahasiswa
Meningkatkan
TUJUAN LP
Tujuan utama suatu usaha bisnis:
1.
2.
Memaksimumkan laba atau
Meminimumkan biaya.
Untuk itu, pasti usaha itu memiliki berbagai kendala
sumberdaya
Baik tujuan maupun kendala pada umumnya dalam
kondisi deterministik.
Sehubungan dengan itu, Linier Programming (LP)
memberikan solusi dalam pengambilan keputusan
usaha bisnis tersebut .
Linier programming adalah suatu teknik atau cara
yang membantu dalam keputusan mengalokasi
sumberdaya yang dimiliki perusahaan.
Sumberdaya meliputi:
 mesin-mesin
 tenaga kerja
 uang
 waktu
 kapasitas gudang (ruangan)
 material
 dll
Sumberdaya tersebut akan digunakan utk memproduksi:
 barang:
 sandang
 pangan
 papan
 dll
 jasa :
 rencana pengiriman dan produksi
 keputusan investasi
 kebijakan advertensi
 dll
PERSYARATAN YG DIPERLUKAN DLM L P
1. Perusahaan mempunyai tujuan,yaitu
memaksimumkan laba atau miminimumkan biaya
2. Perusahaan mempunyai keterbatasan atau kendala
sumberdaya dalam mencapai tujuan.
3. Perusahaan mempunyai keputusan atau kegiatan
alternatif, salah satu di antaranya dipakai atau
dipilih untuk mencapai tujuan.
4. Tujuan dan kendala dinyatakan dalam hubungan
persamaan ( = ) dan pertidaksamaan ( < / > )
matematik yang linier.
Asumsi Yang Berlaku Dalam LP
1. Kondisi-kondisi bisnis dalam perusahaan
dalam kepastian di mana nilai-nilai, jumlahjumlah dalam fungsi tujuan dan kendala
diketahui dengan pasti (deterministik),
tidak berubah selama periode analisis.
2. Hubungan dalam fungsi tujuan dan kendala
adalah proporsional dalam bentuk
matematik yang linier, contoh :
Asumsi Yang Berlaku Dalam LP
1
L = 10 X
 jika X = 2, maka L = 20
jika X = 4, maka L = 40
M < 60X  jika X = 2, maka
jika X = 5, maka
M
M
<
<
120
300
Asumsi Yang Berlaku Dalam LP...lanjt
3. Bentuk fungsi tujuan dan kendala besifat aditivity,
artinya jumlah total nilai kegiatan = penjumlahan
dari nilai-nilai kegiatan individu :
L = $3 X1 + $5 X2  Jika X1 = 10 dan X2 = 20,
maka
L = $3(10) + $5(20) = $ 130.
4. Barang dan jasa yang dihasilkan (variabel
keputusan) harus positif bukan negatif (non
negatively) paling tidak nol (tidak menghasilkan)
Sejarah Linier Program
1. LP dikembangkan sebelum PD II oleh
matematikawan Rusia, A.N. Kolmogorov dan
Leonid Kantorovic penerima nobel “Optimasi
Perencanaan”.
2. Dalam aplikasi LP dikembangkan oleh Stigler
(1945) dalam persoalan Diit (kesehatan).
3. Tahun (1947), George D. Dantzig
mengembangkan Solusi LP Dengan Metode
Simplex. Jasa Dantzig ini luar biasa sehingga
kita kenal sampai sekarang dengan istilah
“Linier Programming”. Dantzig matematikawan
di Angkatan Udara Inggris menjabat sebagai
kepala Pengendali Analisis Perang Angkatan
Udara.
Sejarah Linier Program…. lanjt
Saat itu militer memerlukan sekali program
perencanaan latihan militer, pemasokan
peralatan dan amunisi, penempatan unitunit tempur. Dantzig memformulasikan
sistem pertidaksamaan linier.
4. Setelah PD II aplikasi dalam dunia bisnis
luar biasa, misalnya dalam usaha
pengolahan, jasa, pertanian, dll.
5. Tahun 1984 N.Karmarkar mengembangkan
model yang lebih superior dari metode
simplex utk berbagai aplikasi yg lebih luas.
Model Formulasi
Model LP berisikan beberapa
komponen dan karakteristik
tertentu.
Komponen adalah Fungsi Tujuan dan
Fungsi Kendala, yg didalamnya
terdapat Variabel Keputusan dan
Parametrer.
Model Formulasi
Variabel Keputusan adalah simbul
matematik dari kegiatan yang
dilakukan oleh perusahaan,
misalnya :
X1 = jumlah Radio
X2 = jumlah Televisi
X3 = jumlah Kulkas
yang akan diproduksi
Model Formulasi… lanjt
Parameter adalah nilai-nilai di depan
variabel keputusan yang pada
dasarnya sudah diketahui.
Fungsi Tujuan merupakan hubungan
matematika linier yg
menggambarkan tujuan perusahaan
baik memaksimumkan laba atau
meminimumkan biaya untuk
membuat variabel keputusan.
Model Formulasi… lanjt
Fungsi Kendala juga merupakan hubungan
linier antar variabel keputusan yg
menggambarkan keterbatasan
sumberdaya.
Misalnya, keterbatasan dlm. jumlah
Tenaga Kerja utk memproduksi radio
sebesar 40 jam/hari selama periode
produksi.
Nilai-nilai Konstanta dalam fungsi tujuan atau
kendala juga merupakan parameter.
METODE GRAFIK
PERSOALAN MAKSIMASI .
CONTOH : PERUSAHAAN
XYZ
Sebuah industri XYZ berkecimpung dalam proses produksi dua
macam produk, yaitu produk A dan B. Kedua produk tesebut dapat
dijual masing-masing dengan harga Rp 3000,00 per unit. Dalam
proses produksinya diperlukan tiga macam departemen, yaitu
Departemen P yang memiliki 3 unit mesin tipe P, Departemen Q
memiliki 6 unit mesin tipe Q dan Departemen R memiliki 9 unit mesin
tipe R. Lama waktu pemakaian mesin mesin tersebut berbeda untuk
setiap produk.
Produk A memerlukan waktu 2 jam untuk proses produksinya pada
mesin tipe P, kemudian 2 jam pada mesin tipe Q dan 4 jam pada
mesin tipe R. Sedangkan untuk produk B memerlukan waktu 1 jam
pada mesin tipe P, kemudian 3 jam pada mesin tipe Q dan 3 jam pada
mesin tipe R.
METODE GRAFIK
PERSOALAN MAKSIMASI . CONTOH : PERUSAHAAN
XYZ ....lanjt
Lamanya waktu mesin-mesin tersebut berope-rasipun sangat
terbatas, yaitu mesin tipe P beroperasi selama 10 jam per hari
per mesin, kemudian mesin tipe Q dapat beroperaasi 10 jam per
hari per mesin dan mesin tipe R beroperaasi selama 8 jam per
hari per mesin.
Pertanyaan:
1. Rumuskan persoalan tsb. dalam model program linier (formula
matematika)
2. Gambarlah persoalan LP tersebut dan Hitunglah berapa produk
A dan B harus dijual sehingga penerimaannya maksimal
Metode Grafik / Maksimasi
Dari contoh persoalan LP di atas, dapat diringkas pada tabel berikut :
Sd
A
B
Kap.
P
2
1
< 30
Q
2
3
< 60
R
4
3
< 72
Harga
3000
3000
Kemudian dengan lebih mudah dapat disusun formulasi matematisnya :
Max. TR = 3000A + 3000B
Stc.
P :
2A + B < 30
Q :
2A + 3B < 60
R :
4A + 3B < 72
A,B
> 0
Metode Grafik / Maksimasi
GAMBAR FUNGSI KENDALA
•
Max. TR = 3000A + 3000B
P : 2A + B < 30
Jika A = 0 , maka B = 30
Jika B = 0 , maka A = 15
Stc.
P :
2A +
B < 30
Q :
2A + 3B < 60
R :
4A + 3B
A,B
•
< 72
>
0
Metode Grafik / Maksimasi
FISIBLE AREA dan ISO REVENUE
TR = 3000A + 3000B  B =
B
•
0
45000
60000
63000
66000
> 66000
P
/3000 - A
= 3000(0) + 3000(0)
= 3000(15) + 3000(0)
= 3000(0) + 3000(20)
= 3000(9) + 3000(12)
= 3000(6) + 3000(16)
= IMPOSIBLE
Solusi : Produk A = 6 unit
Produk B = 16 unit
TR = $ 66000
•
•
Q
R
•
TR
•
A
Evaluasi Sumberdaya :
P : 2(6) + 1(16) = 28 jam  sisa 2 jam
Q : 2(6) + 3(16) = 60 jam  persis
R : 4(6) + 3(16) = 72 jam  persis
KEPUTUSAN BERALTERNATIF
Metode Grafik / Maksimasi
1) Antara titik A dan B
2) Antara titik B dan C
3) Antara titik C dan D
A
•
B
•
C
•
D
•
Variabel Slack
Metode Grafik / Maksimasi
 Ingat bahwa solusi terjadi pada titik ekstrim, di mana garis
persamaan kendala berpotongan satu sama yang lain atau
berpotongan dengan sumbu pada grafk. Jadi dalam hal ini,
kendala-kendala tsb. lebih dipertimbangkan sebagai
persamaan daripada pertidaksamaan.
 Prosedur baku untuk merubah pertidaksamaan kendala
menjadi persamaan, adalah dengan menambah sebuah
variabel baru ke dalam masing-masing kendala, yang
disebut sebagai variabel slack.
-
Variabel Slack
Metode Grafik / Maksimasi
lanjt
Untuk contoh perusahaan XYZ di muka, model kendala adalah :
P : 2A + B < 30
Q : 2A + 3B < 60
R : 4A + 3B < 72
 Penambahan sebuah variabel slack, S1 pada kendala P, S2 pada
kendala Q dan S3 pada kendala R hasilnya dapat dilihat sbb. :
P : 2A + B + S1 = 30
Q : 2A + 3B + S2 = 60
R : 4A + 3B + S3 = 72
Metode Grafik / Maksimasi …lanjt
 Variabel slack S1, S2 dan S3 merupakan nilai yang diperlukan
untuk membuat sisi sebelah kiri persamaan menjadi sama
dengan sisi sebelah kanan.
Misalnya secara hipotetis, A = 9 dan B = 10.
Masukkan kedua nilai itu kedalam persamaan :
P :
Q :
R :
2(9) + 10 + S1 = 30
2(9) + 3(10) + S2 = 60
4(9) + 3(10) + S3 = 72
S1 = 2
S2 = 12
S3 = 6
Metode Grafik / Maksimasi… lanjt
 Dalam contoh di atas, menghasilkan solusi yang tidak
menghabiskan jumlah sumberdaya. Pada kendala P hanya
menggunakan 28 jam, berarti sisa 2 jam yang tidak digunakan.
Jadi S1 merupakan jumlah waktu yang tidak digunakan pada
sumberdaya P atau disebut slack P.
Demikian juga pada kendala Q dan R masing-masing
mempunyai slack Q dan slack R sebagai sisa 12 jam dan 6
jam yang tidak digunakan.
 Jika perusahaan belum melakukan kegiatan produksi, maka
seluruh kapasitas sumberdaya masih utuh, sehingga slacknya
masing-masing sebesar 30, 60 dan 72 jam
Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan
Metode Grafik / Maksimasi
Fungsi tujuan dari contoh adalah : TR = 3000 A + 3000 B.
Koefisien 3000 dan 3000, masing-masing merupakan
kontribusi TR setiap A dan B. Lalu, apa wujud kontribusi
variabel slack S1 dan S2 ?. Variabel slack tidak mempunyai
kontribusi apapun terhadap TR sebab variabel slack
merupakan sumberdaya yg tidak digunakan. TR dicapai
hanya setelah sumberdaya digunakan dlm proses
produksi. Dengan demikian variabel slack dalam fungsi
tujuan dapat ditululis :
TR = 3000A + 3000 B + 0S1 + 0S2 + 0S3
Pengaruh Variabel Slack Terhadap Fungsi Tujuan
Metode Grafik / Maksimasi
Seperti halnya pada variabel keputusan (A dan B), variabel
slack berni-lai non-negative, sebab tidak mungkin sumberdaya itu negatif. Oleh karenanya, model formulasinya :
A, B , S1, S2 dan S3 > 0
Dengan adanya varibel slack, model LP baku secara lengkap
dapat ditulis sbb.:
Maksimumkan: TR = 3000 A + 3000 B + 0S1 + 0S2 +0S3
Kendala
: 2A + B + S1 < 30
2A + 3B + S2 < 60
4A + 3B + S3 < 72
A, B , S1, S2 dan S3 > 0
Metode Grafik / Maksimasi
A = 0
B = 20
TR = 60000
S1 = 10
S2 = 0
S3 = 12
•w
A = 6
B = 16
TR = 66000
S1 = 2
A = 9
S2 = 0
B = 12
S3 = 0
TR = 63000
S1 = 0
X
S2 = 6
S3 = 0
Max. TR = 3000 A + 3000B
Kendala : 2A + B + S1
2A + 3B + S2
4A + 3B + S3
A, B , S1, S2 dan S3
•
•
Y
Z
•
A = 15
B = 0
TR = 45000
S1 = 0
S2 = 30
S3 = 12
<
<
<
>
30
60
72
0
KASUS MINIMASI
Metode Grafik / Minimasi
Contoh : Perusahaan Radio
Perusahaan Radio memproduksi 2 macam bahan pelarut
(A dan B). Untuk memproduksi kedua bahan tersebut
memerlukan semberdaya Minyak Tanah paling tidak
memerlukan 24 liter, Damar minimal 20 liter dan dan
Spiritus paling sedikit diperlukan 24 liter. Kebutuhan
minyak tanah untuk setiap unit bahan pelarut A diperlukan
8 liter dan bahan pelarut B diperlukan 6 liter, kebutuhan
Damar untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 10 liter
dan bahan pelarut B sebanyak 4 liter, dan kebutuhan
Spiritus untuk setiap unit bahan pelarut A sebanyak 6
liter dan bahan pelarut B sebanyak 12 liter.
KASUS MINIMASI
Metode Grafik / Minimasi
Contoh : Perusahaan Radio (lanjt)
Kalau biaya produksi per unit bahan pelarut A dan B
masing sebesar Rp 80 dan Rp 100>
Pertanyaan:
Berapa bahan pelarut A dan B harus diproduksi agar
biaya produksi minimal?
Selesaikan persoalan ini dengan gambar, evaluasi pula
penggunaan bahan bakunya.
Metode Grafik / Minimasi
GAMBAR FUNGSI KENDALA
B
Min. TC = 80A + 100B
Stc. MT : 8A + 6B > 24
D : 10A + 4B > 20
S : 6A + 12B > 24
A,B > 0
MT : 8A + 6B > 24
B > 4 – 4/3 A
A
B
D : 10A + 4B > 20
B > 5 - 2,5 A
A
B
S : 6A + 12B > 24
B > 2 - 0,5 A
A
Metode Grafik / Minimasi
GAMBAR FUNGSI KENDALA
B
Min. TC = 80A + 100B
Stc. MT : 8A + 6B > 24
D : 10A + 4B > 20
S : 6A + 12B > 24
A,B > 0
MT : 8A + 6B > 24
B > 4 – 4/3 A
A
B
D : 10A + 4B > 20
B > 5 - 2,5 A
A
B
S : 6A + 12B > 24
B > 2 - 0,5 A
A
Metode Grafik / Minimasi
FISIBLE AREA dan ISO
COST
Solusi Optimal :
B.Pelarut A = 2,4 unit
B.Pelarut B = 0,8 unit
TC min = 80 (2,4) + 100(0,8) = Rp 272
Penggunaan Sumberdaya :
MT = 8(2,4) + 6(0,8) = 24 Lt.  persis
D = 10(2,4) + 4(0,8) = 27,2 Lt.  > 20
S = 6(2,4) + 12(0,8) = 24 Lt.  persis
•( 2, 4 ; 0,8 )
Soal N0. 8
Perusahaan mebel Jati Indah memproduksi meja dan kursi dari
sumberdaya tenaga kerja dan kayu. Perusahaan memiliki
kapasitas terbatas untuk tenaga kerja 80 jam perhari dan 36 Kg
kayu perhari. Permintaan atau penjualan kursi terbatas 6 kursi
per hari. Untuk memproduksi satu unit kursi memerlukan 8 jam
tenaga kerja dan 2 Kg kayu, sedang setiap satu meja
memerlukan 10 jam tenaga kerja dan 6 Kg kayu. Laba yang
diperoleh untuk setiap meja sebesar Rp 40.000 dan untuk
setiap kursi sebesar Rp 50.000. Perusahaan ingin menetapkan
jumlah meja dan kursi yang harus dijual agar memperoleh laba
maksimum.
a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.
b. Selesaikan persoalan ini dengan analisis grafik.
Soal N0.12
Perusahaan Kimia Farma memproduksi sebuah obat dengan ramuan
dua bahan. Setiap bahan berisi tiga antibiotik yang sama tapi berbeda
dalam proporsinya. Satu gram bahan 1 menyumbangkan 3 unit dan
bahan 2 menyumbangkan1 unit antibiotik 1; obat membutuhkan 6 unit.
Sedikitnya 4 unit antibiotik 2 dibutuhkan, dan per gram bahan masingmasing menyumbang 1 unit. Paling sedikit 12 unit antibiotik 3 diperlukan;
satu gram bahan 1 menyumbang 2 unit, dan satu gram bahan 2
menyumbang 6 unit. Biaya per gram bahan 1 dan bahan 2 masingmasing Rp 80.000 dan Rp 50.000. Kimia Farma ingin memformulasikan
model LP untuk menetapkan jumlah (gram) ma-sing-masing bahan yang
harus digunakan dalam pembuatan obat agar biaya campuran antibiotik
itu serendah mungkin.
a. Formulasikan model LP untuk persoalan ini.
b. Selesaikan persoalan ini dengan menggunakan analisis grafik.
41