Transcript Problèmes d`optimisation - Laboratoire de Didactique des

Problèmes d’optimisation
Illustration de quelques catégorisations possibles
Pierre Henrotay,
Maggy Schneider
Ladimath, ULg
Université d’été du CIFEN, 26 août 2011
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Des problèmes qui suscitent le désarroi
Quelques réflexions entendues parmi les élèves
 Y a pas de recette, c’est toujours différent, c’est
imprévisible, on ne sait pas se préparer
 C’est pas que des maths
 Plus j’en fais, plus je m’y perds
 On ne voit pas par où commencer
 Il faut se souvenir de tout car beaucoup de choses,
beaucoup de formules interviennent
 C’est compliqué
 Les énoncés, c’est compliqué
 Inconnues, variables, grandeurs, relation, fonction,
contrainte … tout ça c’est du pareil au même
 Pouvez-vous nous traduire l’énoncé svp ?
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Les auteurs confirment la complexité
On a bien affaire ici à des problèmes « inédits et
complexes »
 Ces problèmes (d’optimisation) sont souvent
assez compliqués… (Espace Math 5/6)
 Il n'y a pas à proprement parler de règles strictes
et rapides qui permettent à coup sûr de résoudre
des problèmes (Stewart, Analyse 1)
 La variété des problèmes d'optimisation est telle
qu'il est bien difficile d'établir une méthode précise
de résolution (Swokowski, Analyse)
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Des pistes selon les auteurs?
 En faire plus ?
Ce n’est qu'au prix de beaucoup d'efforts et
d'entraînement que vous arriverez à une certaine
aisance dans la résolution de ces problèmes
(Swokowski, Analyse)
Mais pour les élèves :
 Cela aide certains : ceux qui analysent ce qui a été
fait et pourquoi
 Les autres : Plus j’en fais, plus je m’y perds
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Des pistes selon les auteurs?
 Rechercher une « recette miracle » ?
Trouver une méthode générale qui permet d’aborder
progressivement un problème nouveau est illusoire
 Une piste possible : classifier, catégoriser, identifier des
similitudes
 Essayer de reconnaître quelque chose de familier :
relier la situation donnée à vos connaissances
antérieures…
 Essayer de reconnaître une structure …
 Un des principes les plus importants de la résolution
de problèmes est l'analogie…
(Stewart, Analyse 1)
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La piste de la catégorisation
Le contexte de l’« Approche par compétences » nous interpelle ici
L'élève compétent n'est pas celui qui sait seulement
accomplir une opération stéréotypée en réponse à un signal
préétabli. Il doit savoir choisir les procédures à mettre en
oeuvre dans des situations toujours nouvelles, il doit savoir
élaborer une démarche originale. (B. Rey)
La piste « classifier » ou « catégoriser » mérite d’être suivie
Certains de ces énoncés se ressemblent beaucoup et
pourraient être mis ensemble. Nous aurions ainsi moins de
catégories et de problèmes-types à apprendre. Cherchez
des problèmes qui se résolvent ou s'expliquent de la même
façon. Nous discuterons ensemble les regroupements. En
même temps, nous chercherons ce qui peut les rendre
différents. (G. et N. Brousseau)
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Une classification apparemment naïve
 Première proposition des élèves : que cherche-t-on à
optimiser ?
(apparemment) naïf : tout ce qui est longueur, aire, volume… puis
temps, puis coût, puis… puis…
 Symptômatique d’une progression dans la
résistance/difficulté à traiter :
 quantité simple (somme, produit…), explicite dans l’énoncé
 longueur, aire, volume
 temps
 coût
 débit
 résistance à la traction, à la torsion…
 frottement
 dissipation, déperdition calorifique
 autres (éclairement…)
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Une classification apparemment naïve
 Les élèves abordent de bon gré les 2 premières « classes » mais
sont déconcertés par les suivantes : ce n’est plus des maths, c’est
de la physique
 Le professeur a l’impression d’avoir violé une règle du jeu implicite
(rupture du contrat)
 Signe de l’inconfort de l’élève, qui est censé aussi faire des liens, ou
(pire) appliquer des lois supposées « évidentes »
 Or … un problème peut en cacher un autre :
 temps lié à longueur via vitesse
 coût lié à longueur, aire, volume
 débit lié à aire
 résistance liée à longueur ou aire
 frottement lié à aire
 dissipation, déperdition liée à aire
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 éclairement lié à longueur ou aire
Une classification apparemment naïve
 Une piste pour surmonter l’obstacle :
proposer aux élèves de transformer un problème de
longueur, aire, volume en un autre
Exemple
problème de dimensions optimales à donner à un solide de volume
fixé : une optimisation d’aire se transforme en optimisation d’un coût
(peinture des faces) ou d’une perte calorifique (isolation des faces)
 Conclusion :
 Classification naïve, guère utilisable en pratique mais
révélatrice de malaises et donc à creuser avec les
élèves
 Permet de jouer avec l’énoncé (traduction langage
français/mathématique)
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Une classification basée sur le nombre de
variables
 Deuxième proposition des élèves, largement induite car
un classique des premières étapes de la résolution
 Ré-exploration des exercices faits : « comment a-t-on
procédé ? »
Fil rouge : quelles stratégies, combien de variables et
lesquelles ?
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Une classification basée sur le nombre de
variables
Exemple 1 :
De tous les triangles rectangles de même hypoténuse,
quel est celui dont l’aire est maximale ?
Enoncé volontairement général (pas de « de côté », pas de
dessin, pas de littéraux)
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Une classification basée sur le nombre de
variables
Tous les élèves commencent par une représentation
graphique : un triangle rectangle
12
Une classification basée sur le nombre de
variables
Pour quelques-uns :
 Problème à 1 variable, car un côté suffit, l’autre étant
déterminé par Pythagore
 Cette réflexion est faite avant même d’écrire une
quelconque formule pour l’aire
 Ensuite, écriture de l’aire :
 certains voient immédiatement comme celle du
demi-rectangle
 d’autres cherchent à exprimer en tant que demiproduit de la base (hypoténuse) par une hauteur
qui leur échappe
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Une classification basée sur le nombre de
variables
Pour beaucoup :
 Problème à 2 variables, car on a un triangle et on
connaît un seul côté
 Très rapidement, ils écrivent la relation liant les 2
variables, car on donne l’hypoténuse (ils ne font pas
vraiment référence à Pythagore, même si c’est bien
cette relation qu’ils écrivent)
 A nouveau, le fait de devoir exprimer l’aire n’intervient
pas directement
 Suite : comme pour le premier cas
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Une classification basée sur le nombre de
variables
Pour certains :
 Problème à 1 variable car on a besoin de la seule
hauteur pour calculer l’aire puisqu’on connaît la base
 Donc ici, le focus s’est déplacé de la modélisation du
problème (comment représenter un triangle rectangle
d’hypoténuse donnée) à ce qu’il faut optimiser – l’aire
 Mais tous ou quasi oublient que le triangle est
rectangle
 La suite de leur calcul, c’est de dériver une fonction
linéaire de la hauteur, ce qui conduit bien sûr à une
aberration. Les élèves sont désemparés
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Une classification basée sur le nombre de
variables
Pour peu d’élèves:
 Problème à 1 variable, car il suffit de connaître un
angle, le triangle étant rectangle
 La difficulté est ici de calculer l’aire : il faut se
souvenir des relations dans un triangle rectangle
 Mais ces élèves sont justement ceux qui maîtrisent
bien les triangles rectangles (sinon, ils n’auraient pas
songé à une solution basée sur un angle)
 La suite est intéressante également :
 Soit effectuer mécaniquement le calcul de la dérivée puis résoudre
l’équation trigonométrique résultante
 Soit utiliser le sinus de l’angle double pour déduire immédiatement
le résultat. La solution est triviale et on voit directement apparaître 16
le triangle rectangle comme étant isocèle
Une classification basée sur le nombre de
variables
La façon de poser le problème n’est pas neutre !
Même problème, mais une illustration est fournie, où le
triangle rectangle est inscrit dans un cercle
17
Une classification basée sur le nombre de
variables
 Avant d’entamer la résolution, les élèves imaginent
correctement la solution optimale : ils font mentalement
évoluer le sommet opposé à l’hypoténuse et tous ou
presque sont convaincus que la solution est celle pour
laquelle « les angles sont de 45° »
 Cette fois, l’approche « 1 variable : l’angle » est choisie
par une majorité des élèves
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Une classification basée sur le nombre de
variables
Exemple 2 :
De tous les rectangles inscrits dans un cercle, quel est
celui dont l’aire est maximale ?
Tous les élèves commencent par une représentation
graphique : un rectangle de longueur horizontale, son
centre puis le cercle circonscrit
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Une classification basée sur le nombre de
variables
Pour la plupart :
 Problème à 2 variables, car dans un rectangle, il y a
une longueur et une largeur. C’est d’ailleurs ce qu’il
faut pour déterminer l’aire
 Pour trouver la relation entre ces deux variables, la
plupart identifient rapidement que chaque diagonale
est diamètre du cercle, et utilisent Pythagore
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Une classification basée sur le nombre de
variables
 Peu font le lien entre ce rectangle et les deux demitriangles rectangles qui le composent, dont
l’hypoténuse est le diamètre du cercle
 Et aucun ne remarque que ce problème est en réalité
identique à celui traité précédemment
21
Une classification basée sur le nombre de
variables
Exemple 3 :
De tous les triangles isocèles inscrits dans un cercle,
quel est celui dont l’aire est maximale ?
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Une classification basée sur le nombre de
variables
Plusieurs élèves estiment que le triangle optimal devrait
être équilatéral, pour des raisons de symétrie
Pour la majorité :
 Problème à 2 variables car dans un triangle, pour
calculer une aire, on a besoin d’une base et d’une
hauteur
 C’est clairement la formulation de l’aire qui a induit la
catégorisation et le choix des variables
 La relation entre base et hauteur est cependant
moins évidente
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Une classification basée sur le nombre de
variables
Et pourquoi pas un problème à 1 variable ?
 Aucun ne pense à aborder le problème en
introduisant une seule variable, comme un angle, qui
caractériserait le triangle isocèle
 La propriété liant angle au centre et angle inscrit, qui
serait simplificatrice, n’est pas non plus toujours
fraîche en mémoire
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Une classification basée sur le nombre de
variables
Un guide pour choisir la ou les variables ?
A élaborer avec les élèves
Résultat :
 Si je devais demander à quelqu’un de construire
l’objet, quelle information lui donner ? De quoi a-t-il
besoin ?
 Si je devais expliquer à quelqu’un de quoi on
parle, quelle information lui donner ? Comment le
faire au mieux ?
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Une ou deux variables, pourquoi s’en soucier ?
 Réflexions d’élèves : Pourquoi se soucier de choisir ses
variables ? On finit quand même par n’en avoir plus
qu’une, puisqu’on élimine les autres , il n’en reste qu’une
et c’est la bonne
 Oui… mais laquelle, y en a-t-il une « meilleure » que les
autres ?
 Autopsie d’un exercice :
Une rigole a pour section un trapèze.
La petite base inférieure est de
dimension donnée et chaque paroi
oblique mesure autant que la petite
base. Quelles dimensions donner à la
grande base et à la hauteur pour que
le débit de l’eau soit maximal ?
26
Une ou deux variables, pourquoi s’en soucier ?
 Les élèves démarrent sur une stratégie à deux variables,
car un trapèze est déterminé par une grande base, une
petite base (donnée) et une hauteur. La formule de l’aire
du trapèze, à optimiser, les conforte dans ce choix
 La plupart trouvent la relation entre grande base,
hauteur et petite base via Pythagore
 La substitution dans l’expression de l’aire à rendre
optimale donne cependant un résultat un peu compliqué,
qui en décourage certains. On a dû se tromper…
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Une ou deux variables, pourquoi s’en soucier ?
 Une tout autre approche aurait été de choisir pour
variable l’angle que fait une paroi oblique avec les
bases. Les relations dans les triangles rectangles
permettent de facilement relier hauteur et grande base à
l’angle, et l’aire devient fonction de ce seul angle
 La difficulté est reportée dans le calcul de la dérivée de
fonctions trigonométriques, et surtout dans l’étude du
signe de cette dérivée
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Une variable peut en cacher une autre
Le choix de la « bonne » variable n’est pas toujours évident
La partie supérieure droite d’une feuille de papier de 30 cm sur 20
cm est repliée le long du bord inférieur. Comment choisir l’endroit
du pli pour minimiser la longueur du pli ?
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Une variable peut en cacher une autre
Une deuxième variable peut temporairement aider
ABCD est un carré unitaire. D en est le coin inférieur gauche. On
trace le cercle unitaire de centre D. T est un point de l’arc de cercle
AC. On trace la tangente au cercle, passant par T. Cette tangente
détermine M sur le segment AB et N sur le segment BC. Pour
quelle position de T la distance MN est-elle minimale ?
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Quelles relations entre variables ?
Exemple de liste construite avec les élèves en balayant les
exercices faits :
1. explicite dans l’énoncé
 « dont la somme (ou : différence, produit, quotient…)
est… » ; nécessité de traduire le français en
mathématique
 relation de proportionnalité :« … la longueur est trois fois
la hauteur… »
2. relation algébrique, mesure géométrique
 souvent issue d’une formule : périmètre, aire, volume ...
« Trouver le champ rectangulaire d’aire maximum et de
périmètre donné »
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Quelles relations entre variables ?
3. relation géométrique
 Pythagore
 De tous les triangles rectangles de même
hypoténuse, quel est celui dont l’aire est maximum ?
 Triangles semblables ou Thalès
 Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum
qui peut être inscrit dans un cône donné
4. relations (tri)angulaires
 Une rigole a pour section un trapèze. La petite base
inférieure est de dimension donnée et chaque paroi
oblique mesure autant que la petite base. Quelles
dimensions donner à la grande base et à la hauteur
pour que le débit de l’eau soit maximal ?
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Une classe particulière en détail
(fonction irrationnelle)
Qu’ont en commun les problèmes suivants :
 Un messager se trouve sur la berge d’un fleuve de 3
km de large. Il doit se rendre à un camp situé à 8 km
en aval, sur l’autre berge. Le messager marche à 5
km/h et nage à 4 km/h. Où doit-il aborder pour que son
trajet soit le plus rapide possible ?
 On désire tirer une ligne téléphonique entre deux points
A et B distants de 50 m. A est au niveau du sol et B se
trouve à 30 m de profondeur. Poser un câble sur le sol
revient à 400 EUR/m mais le câble enterré, c’est 700
EUR/m. Pour un coût minimal, quelle est la longueur de
la portion de câble à tirer au sol ?
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Une classe particulière en détail
(fonction irrationnelle)
 Chacun de ces problèmes conduit à l’étude d’une
fonction irrationnelle
 Richesse en variables didactiques
 La fonction peut être un temps, une distance, un coût…
 Le comportement peut être différent selon certains paramètres
(vitesses dans chaque milieu…)
 Plus généralement, un prétexte à l’évocation :
 Du principe de moindre effort
 Du principe d’optimalité
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Une classe particulière en détail
(fonction irrationnelle)
Une difficulté technique inhérente à cette classe :
L’étude de la variation de la fonction n’est pas toujours
simple, à cause des racines carrées; ceci perturbe les
élèves, pour qui l’étude du signe de la dérivée première
(et seconde, encore plus pénible ici) est incontournable
Or :
 considérer les asymptotes obliques donne l’allure
de la fonction
 la physique du problème fait que l’extremum
trouvé doit être un minimum (ou un maximum)
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Une classe particulière en détail
(fonction irrationnelle)
 Une recherche d’un « minimum » qui traduit un principe
général de moindre effort
 Dans un chemin optimal, tout sous-chemin est aussi
optimal
Dans les problèmes de ce type, on a implicitement admis que dans
chaque « milieu », le chemin optimal est la ligne droite
 Loi de Snell-Descartes pour la réfraction (1637), Principe
de Fermat (1657), Principe de moindre action de
Maupertuis (1744)…
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Des obstacles particuliers
Des obstacles récurrents
1. La mise à échelle – une solution à un multiple près
 L‘énoncé dit « proportionnel », sans dire quel est
le rapport de proportionnalité, ou « fixée » sans
dire quelle valeur serait imposée
 Entendu :
Il manque quelque chose
On ne donne pas le rapport, c’est impossible
Disons 1 m³, OK ?
 Si une grandeur (fonction) est optimale, un
multiple de celle-ci le sera aussi ; il s’agit d’un
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simple choix – arbitraire – d’unités
Des obstacles particuliers
2. Passer de 2D en 3D et vice versa
 Malaise général avec la perception 3D
 Représentation simple (vue en coupe) = aide
Trouver la hauteur du cône de volume maximum qui peut être
inscrit dans une sphère donnée
 Risque : « aplatir » l’ensemble du problème (les
volumes devenant des aires pour certains élèves)
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Des obstacles particuliers
 Plus difficile car demande une opération de
construction :
A partir du disque en fer-blanc, on veut fabriquer un entonnoir
conique : on y découpe un secteur et on plie le reste en joignant
les deux bords de coupe de façon à former un cône. Quel doit
être la partie du secteur découpé pour que la capacité du cône
obtenu soit maximale ?
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Des obstacles particuliers
3. Savoir représenter la réalité n’est pas inné
 On souffle trop ? Faut-il limiter la guidance ?
 Comparer les énoncés suivants :
 Trouver la hauteur du cylindre de volume maximum qui
peut être inscrit dans une sphère donnée
 Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de
hauteur h et de base de rayon r. On demande pour
quelle hauteur h le volume du cylindre est maximal
 Dans une sphère de rayon R, on inscrit un cylindre de
hauteur h et de base de rayon r comme illustré. On
demande pour quelle hauteur h le volume du cylindre est
maximal
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Des obstacles particuliers
4. Confondre ce qui est à optimiser et les relations
entre variables
 Confusion, inversion, mélanges…
Partager une somme de 75 Euros en deux montants, de
sorte que le produit de l’un par le carré de l’autre soit
maximum. Que vaut ce maximum ?
 solution proposée par certains : x.y²=75
 Expérience à tenter avec les élèves : modifier un énoncé
pour que les rôles soient échangés (classiquement :
optimiser une aire ou un volume avec contrainte sur un
périmètre ou une aire et vice versa)
Adosser à un mur rectiligne un poulailler rectangulaire
d'aire 50 m² de façon telle que la longueur du treillis
nécessaire pour clôturer soit minimale
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Il faut se souvenir de tout…
De quoi au juste ? De quoi a-t-on souvent besoin ?
Proposer aux élèves de réaliser un pense-bête, élaborer
avec eux un formulaire : c’est rassurant
Résultat typique :
 Volume (parallélépipède, cylindre, sphère, cône), aire et
périmètre (carré, rectangle, losange, parallélogramme, trapèze,
cercle, secteur, arc)
 Vocabulaire :somme, produit, quotient, terme, facteur
 Trigonométrie du triangle rectangle, triangles semblables
 Thalès
 Angle inscrit et au centre
 Second degré (racines, sommet)
 Etude du signe
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L’optimisation comme application des dérivées
Demander aux élèves : « Est-ce toujours nécessaire ?
Avons-nous rencontré des contre-exemples ? »
Cas identifiés sur base des exercices faits :
1. Un maximum ou un minimum peut être réalisé aux bornes de
l’intervalle
2. Une fonction peut être non dérivable (même en étant continue)
3. La fonction à optimiser est un trinôme du deuxième degré, une
vieille connaissance
4. La fonction à optimiser possède un extrémum évident
5. Fonctions irrationnelles : recours aux asymptotes
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Retour vers les auteurs
Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les
conseils des auteurs ?
1. On distingue dans l’énoncé les données des inconnues.
2. Parmi les grandeurs inconnues, on choisit la variable et ses bornes
de variation ; on exprime les autres grandeurs inconnues en
fonction de cette variable.
3. On recherche
une expression analytique de la fonction traduisant les données
les valeurs de la variable qui maximisent ou minimisent cette fonction
4. On calcule la dérivée de cette fonction.
5. On recherche les racines de cette dérivée ; on les confronte avec
les conditions exigées dans l’énoncé.
6. On vérifie que pour la (ou les) valeur(s) retenue(s), la fonction est
bien maximisée ou minimisée.
7. On conclut !
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Retour vers les auteurs
Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les
conseils des auteurs ?
1. Exprimer
a) la quantité Q à rendre optimale (maximale ou minimale)
comme fonction d’une ou plusieurs variables.
b) toute relation entre les variables.
2. Utiliser ces relations pour exprimer Q comme fonction d’une seule
variable et déterminer l’ensemble D des valeurs admissibles de
cette variable.
3. Rechercher les points critiques de cette fonction sans oublier de
contrôler ce qui se passe aux bords de D. Il faut donc dériver Q
par rapport à la variable, résoudre Q’=0 et étudier le signe de Q’.
4. Vérifier le résultat.
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Retour vers les auteurs
Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les
conseils des auteurs ?
1. Lisez le problème attentivement et plusieurs fois en faisant la
2.
3.
4.
5.
6.
distinction entre les données et les inconnues.
Faites un schéma ou un diagramme, si c'est possible, et profitezen pour donner des noms aux variables inconnues. Les inconnues
se repèrent dans l'énoncé aux termes « quel, chercher, combien, à
quelle distance, ou quand ».
Mettez par écrit les éléments donnés du problème ainsi que toute
relation entre les variables.
Déterminez quelle est la variable à maximiser ou minimiser et
exprimez-la en fonction d'une seule des autres variables.
Cherchez les points critiques de la fonction obtenue au point 4.
Calculez les extremums à l'aide de la marche à suivre (…) ou des
tests de la dérivée première ou seconde. Contrôlez ce qui se
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passe aux extrémités de l'intervalle le cas échéant.
Retour vers les auteurs
Pourquoi ne pas demander aux élèves leur avis sur les
conseils des auteurs ?
Il n'y a pas à proprement parler de règles strictes et rapides qui
permettent à coup sûr de résoudre des problèmes.
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Retour sur l’utilisation d’une catégorisation
 Les élèves jouent collectivement le rôle d’« analystes du savoir »,
en étudiant la manière dont les problèmes ont été appréhendés et
résolus , en exprimant et analysant leurs obstacles, en explorant les
types de tâches associées aux diverses classes de problèmes et les
techniques les plus efficaces
 Pas de quête d’une recette miracle, mais une focalisation sur la
reconnaissance de classes de problèmes identifiées et travaillées
préalablement, comme observé chez les experts
 A rapprocher du comportement du crisis manager :
Au fur et à mesure qu'il gère des crises, le crisis manager construit
un savoir-faire d'expérience par lequel il se dote d'une classification
des crises ainsi que d'un répertoire de procédures adaptées. Bref,
au fur et mesure que le crisis manager acquiert de l’expertise, la
notion de crise se dissout progressivement (M. Crahay)
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