Transcript III. Bandes d`Énergie : Surfaces de Fermi

III. Électrons dans un potentiel périodique :
Bandes d'Énergie
Électrons presque libres : approche intuitive
Zones de Brillouin
Théorème de Bloch
Électrons presque libres : conclusions d’une approche formelle
Métal - Semiconducteur - Isolant
Surfaces de Fermi
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie
Interaction des électrons avec le cristal
Le modèle des électrons libres n'est en général qu'une approximation grossière
pour le comportement du gaz d'électrons dans un solide.
En réalité les électrons interagissent avec le cristal. Le potentiel d’interaction
associé aux ions de ce cristal est de la forme :
Potentiel
périodique
U(x)
a
x
~1/r
Pour se simplifier la vie on se place en 1D et le cristal est une chaîne monoatomique.
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Approche intuitive
On suppose les électrons faiblement perturbés
2 2
Pour des électrons libres : E 
k
2m
k x  eikx
(ondes planes progressives)
On sait qu’une onde est réfléchie par une structure périodique si la condition
de Bragg est satisfaite :
2d sin   n,
onde incidente
onde réfléchie
n entier
Ici 1D donc :
d=a
 = p/2
k

Plans atomiques
2p

d
2a  n
2p
k
soit k  n
p
a
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Il y aura réflexion de l'onde électronique chaque fois que
p
k n
a
Pour approcher le potentiel périodique on suppose :
2p
Ux   U0  U1 cos x 
 a 
Pour
k 
p
a
i.e.
  a
k x   e
k
p
a
U1  U0
Pas de réflexion de Bragg
ikx
Pour
;
Ek 
Ek0
2 2

k
2m
Réflexion de Bragg !
Une onde réfléchie se superpose à l'onde incidente
Onde stationnaire
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Solution de l'équation de Schrödinger :
Ψ  Aeikx  Be  ikx

Avec A = B pour
px
a
p
 cos2 x
a
  cos

2
k
p
a
px
a
p
 sin2 x
a
  sin

U(x)
2
Distribution de la
densité de charge
+(x)
-(x)
x
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
+ : Maximum de charges centré sur les ions
- : Maximum de charges centré entre les ions
Différence
d'énergie
potentielle
Énergie de + < Énergie de -
E
Il y a ouverture d’une bande
interdite lorsque l’électron est en
condition de Bragg avec le cristal.
En 1D, cette condition s’écrit :
EGap
p
a
p
a
k n
p
a
k
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
A trois dimensions,
cette condition s’écrit :

g
  2
2k .g  g
Nœuds du
R.Réciproque

k
0

g
Plans de Brillouin
Pour tout nœud du réseau réciproque, on
peut tracer un plan médian, où la loi de
Bragg est vérifiée et où l’électron est
fortement perturbé par le potentiel.
1ère ZDB
2ème ZDB
Ces plans médians définissent un ensemble
de zones dans l’espace réciproque, on
appelle ces zones les Zones de Brillouin.
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Zones de Brillouin




Les nœuds du réseau sont donnés par : R  n1a1  n2a2  n3a3

ni entier, ai les vecteurs de la maille primitive
Le réseau réciproque est donné par les vecteurs :
*
mi entier, ai  2p
En conséquence :

aiaj*  2pij
et
aj  ak 
ai  aj  ak 

iRG
e




G  m1a1*  m2a2*  m3a3*
Définition du
réseau réciproque
1
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Premier exemple en 1D : Soit une chaîne monoatomique de paramètre a
x
a
Atomes
Le réseau réciproque d'une chaîne monoatomique est aussi
une chaîne unidimensionnelle de paramètre 2p/a.
Attention : on passe bien ici dans le réseau réciproque.
Nœuds du réseau réciproque

G
2p/a
4ème 3ème 2ème
1ère ZDB
2ème 3ème 4ème
kx
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Illustration en 2D :
Réseau réciproque :
Réseau carré plan
1ère zone de Brillouin
2ème zone de Brillouin
3ème zone de Brillouin
Pour aller plus loin en 2D : voir TD 3
Exemple en 3D :
Cubique centré et cubique faces centrées
Réseau réciproque :
cc --> cfc
cfc --> cc
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III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Définition générale des zones de Brillouin (en 3D)
On choisit un nœud du réseau réciproque comme origine.
Ensuite on trace les plans médians par rapport au nœuds
premiers plus proches voisins, deuxièmes plus proches voisins etc.
Le nœud d'origine se trouve entouré de polyèdres fermés.
Le polyèdre avec le plus petit volume est la 1ère zone de Brillouin
Le volume entre ce polyèdre et le 2ème plus petit polyèdre est
la 2ème zone de Brillouin etc.
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
cc
cfc
1ère
2ème
1ère
2ème
3ème
3ème
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
2 exemples particulièrement importants
réseau cc
réseau cfc
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Théorème de Bloch
Solution de équation de Schrödinger avec un potentiel périodique
Les états électroniques possibles sont les
solutions de l'équation de Schrödinger :
 2
  



 2m   V x  x   E x 


U(x)
a
x
~1/r
Avec le potentiel V(x) que subit l’électron qui
présente la même périodicité que le réseau
cristallographique :
 

V x  R  Vx 



Avec R un nœud du réseau cristallographique réel :




R  n1a1  n2a2  n3a3

a
ni entier, i les vecteurs de la maille primitive
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Théorème de Bloch
Bloch a montré que les solutions sont de la forme :



i
k
k x   uk x  e x
avec



uk x   uk x  R


i.e. des ondes planes modulées par une fonction de la
même périodicité que le réseau
 
5

ik x
Re e
4
3



Re uk x  2
Re



k x 
1
0
-1
Les

k x  sont appelées ONDES de BLOCH
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Théorème de Bloch
Le potentiel est périodique, on peut donc choisir l'origine !

 
Si on remplace x par x  R on voit que :
  


 ik x R 




i
k
x
i
k
R
i
k
k x  R  uk x  R e
 uk x e e
 k x  e R







car uk x   uk x  R


La fonction d'onde n'est modifiée que par un facteur de phase, ce qui ne change
pas la physique !




i
k
k x  R  k x  e R


C’est une autre manière de définir une onde de Bloch
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin

 
Si pour une fonction de Bloch on remplace k par k  G :
 
 ik G R
 ikR
k G x  R  k G x  e
 k G x  e


Rappel de la définition d'une onde de Bloch :




k x  R  k x  eik R


Par comparaison :
 

Si on remplace k par k  G la physique ne change pas !


kn'est déterminé qu'à un vecteur G
Le vecteur d'onde
du réseau réciproque près
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Représentation de la relation de dispersion E(k) en 1D
On vient de montrer que le vecteur d’onde k est défini à n’importe quel nœud G
du réseau réciproque près (k est équivalment à k+G).
Pour représenter la relation de dispersion, on doit donc aussi tracer toutes les
paraboles centrées à 2p/a, 4p/a, np/a,…
3p
a
2p
a
p
a
0
p
a
2p
a
3p
a
k
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III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Une fois toutes les paraboles tracées (une pour chaque G)
On obtient :
3p
a
2p
a
p
a
0
p
a
2p
a
3p
a
k
Schéma de zones étendues
La relation de dispersion est périodique avec une période 2p/a
On peut se limiter à une période [-p/a ; p/a]
Cette période n’est rien d’autre que la première Zone de Brillouin
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Schéma de zone réduite
4ème "bande"
3ème "bande"
2ème "bande"
p
a
0
p
a
k
1ère "bande"
1ère Zone de Brillouin
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Représentation de la relation de dispersion E(k) en 2D et 3D
Explication pour le cas en 2D
ky
M
Réseau réciproque : réseau carré plan
La première zone de Brillouin :
G
La relation de dispersion s'écrit :
X kx
2p
a
2

Ek0 
kx2  ky2
2m


G
M
X
kx
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Énergie
On présente des coupes de cette surface
G
ky
M
G
(p/a; p/a)
(0;0)
X
M
(p/a;0) (p/a; p/a)
X
X
kx
M
G
M
kx
2p
a
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Construction des branches de la structure de bandes d’un cristal
On suppose une structure cubique centrée
a
Maille primitive du réseau cc :
Volume de la maille : V = a3/2
c
Soient a, b, c les vecteurs générateurs
de la maille primitive d’un réseau cristallographique
Ici :
 a
ˆ
ˆ  zˆ  x
a  y
2
b
 a
ˆy
ˆ
b  zˆ  x
2
a
 a
ˆy
ˆ  zˆ
c  x
2
Le réseau réciproque est donné par :
a *  2p
b  c
a  b  c
b*  2p
c  a 
a  b  c
c*  2p
a  b
a  b  c
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Les vecteurs du réseau réciproque sont donnés par
*

*

G  m1a  m2b  m3c *
 a
ˆ
ˆ  zˆ  x
a  y
2

2p
yˆ  zˆ
a* 
a
 a
ˆy
ˆ
b  zˆ  x
2
 * 2p
zˆ  xˆ
b 
a
 a
ˆy
ˆ  zˆ
c  x
2

2p
xˆ  yˆ
c* 
a
cc
a* b*
c*
4p/a
cfc
Calculs détaillés voir TD 3
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
1ère zone de Brillouin :
La relation de dispersion :
Ek0
2   2

k G
2m


2p
Regardons la direction G - H, i.e. kx  0 ; 
 a 
ky = kz = 0
Dans ce cas :
Ek0
 2
2  2p
ˆ  G

 xx
2m  a

et
x  0 ; 1
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III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
4C

Première possibilité : G  0
Ek0
3C




G  m1a1*  m2a2*  m3a3*
Soit m1 = m3 = 0, m2 = -1
_
( 01 0 )
Énergie
Rappel :
2
2  2p 
ˆ)2  Cx2

  ( xx
2m  a 

2p
ˆ  zˆ
G   x
a
2

2p
 2p xx
0
ˆ
xˆ  zˆ
Ek 


2m  a
a


 C x2  2x  2

__
11 1
2

ˆ  zˆ  C x  1  1
 C x  1x
2
2C
Et il faut le faire pour toutes les valeurs de G
2

_
010
C
000
0
G

H
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Pour toutes les directions de symétrie :
Réseau cc
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Zones de Brillouin
Dans le cas d'un réseau cfc
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Approche formelle
(toujours en 1D, chaîne monoatomique de paramètre a)
Potentiel périodique :
Ux  Ux  a
Ux   
Donc U(x) peut être développé en série de Fourier
G
UG iGx
e
2
UG iGx
UG* iGx
e  e

G 2
G 2
U(x) est une fonction réelle
On choisit l'origine pour que U(x) = U(-x) :
UG  UG  UG*
UG iGx
e  e iGx   UG cosGx
G 0 2
G 0
Ux   


  2
U
   G eiGx  e iGx
L'équation de Schrödinger devient : 
G 0 2
 2m

x  Ex

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III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
(x) est une onde de Bloch, donc une fonction périodique.
Développement en série de Fourier
x    Ck  eikx
k
On injecte cette expression dans l’équation de Schrödinger :
  2 2
UG iGx iGx 
ikx
ikx





e

e
C
k
e

E
C
k
e




2
2m

x
2
G 0
k

k


 2 2

UG
ikx
ik G x
ik G x






k

E
C
k
e

C
k
e

e
0
k  2m


G 0 k 2




La résolution de cette équation sera traitée proprement en TD.
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
La résolution de cette équation mène à considérer les 2 cas suivants :
Lorsque le vecteur d’onde k est loin d’un bord de Zone de Brillouin
 2k 2
La relation de dispersion est identique à celle d’un électron libre : E 
2m
L’électron n’est donc pas perturbé par la présence du cristal.
Lorsque le vecteur d’onde k est proche d’un bord de Zone de Brillouin
Il y a une ouverture de la relation de dispersion, générant une bande
d’énergies interdites pour ces k.
  2
L’électron est en condition de Bragg avec la périodicité du cristal : 2k .g  g
L’électron n’est perturbé par le cristal que dans cette condition.
L’ouverture de cette bande interdite est proportionnelle (au premier ordre)
au potentiel d’attraction du cristal :
EBande Interdite  UG
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
L’ouverture de cette bande interdite est proportionnelle (au premier ordre)
au potentiel d’attraction du cristal :
EBande Interdite  UG
Observons la colonne IV du tableau de Mendeleiev :
Élément
Largeur de bande
interdite (eV)
C
5.5
Si
1.12
Ge
0.67
Même évolution avec les nitrures, les arsénures,…
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Présentation graphique du résultat
E
5 4 3 2 1
1 2 3 4 5
3ème bande
2ème bande
1ère bande
4p
a
3p
a
2p
a
p
a
0
p
a
2p
a
3p
a
4p
a
k
Schéma de zone étendue
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Électrons presque libres
Comme pour les électrons libres on peut se limiter à la
première zone de Brillouin
On admet qu'il y a plusieurs
relations de dispersion En(k)
E
n : indice de bande
3ème bande
2ème bande
1ère bande
p
a
0
Schéma de zone réduite
p
a
k
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Métal - Semiconducteur - Isolant : Structures de Bandes réelles
Question préliminaire :
Quel est le nombre d'états électroniques dans une bande ?
Une bande contient un nombre d'états égal au volume de la 1ère zone de Brillouin :
2p3

Le volume par état dans l'espace des k est :
(Conditions aux limites périodiques !)
 2p 
 
 L 
3
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Rappel du théorème de Bloch :



k x   uk x  eik x
avec



uk x   uk x  R


Conditions aux limites périodiques :
i x  L, y, z   i x, y, z 
i x, y  L, z   i x, y, z 
i x, y, z  L   i x, y, z 
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Conséquences :
eikxL  1

i kx x kxL ky y kzz 
k x  L, y, z   uk x  L e
 ikx ikxL
 ikxL
 uk x e e
 k x e
2p
kx 
mx
L
2p
ky 
my
L
2p
kz 
mz
L
mx, my, mz entier
Mêmes conditions que pour les électrons libres
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Une bande contient donc
2p3
3
L

N
3 

 2p 
 
 L 
états
N : Nombre de mailles primitives de l'échantillon
Un état peut abriter 2 électrons
Il y a 2N places pour les électrons par bande !
Question supplémentaire :
Où se situe le niveau de Fermi ?
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
D'abord 1D
Exemple de la chaîne monoatomique
E
Atomes monovalents :
Il y a 1 électron par maille primitive !
Donc N électrons dans la chaîne
Il y a 2N places dans la 1ère bande
EF
p
a
Les électrons vont occuper
k
0
les N places de plus basse
énergie
EF se situe au milieu de la première bande
p
a
Comportement électrique : métallique
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Exemple de la chaîne monoatomique
Atomes divalents :
E
Il y a 2 électrons par maille primitive !
Donc 2N électrons dans la chaîne
Il y a 2N places dans la 1ère bande
EF
p
a
0
p
a
k
Les électrons vont occuper
les 2N places de la première
bande
EF se situe en haut de la première bande
Comportement électrique : isolant ou semiconducteur
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Exemple de la chaîne monoatomique
E
Atomes trivalents :
Il y a 3 électrons par maille primitive !
Donc 3N électrons dans la chaîne
Il y a 2N places dans la 1ère bande
et 2N places dans la 2ème bande
EF
p
a
Les électrons vont occuper
les 2N places de la première
p
k
0
a
bande et les N places de plus
basse énergie de la 2ème bande
EF se situe au milieu de la deuxième bande
Comportement électrique : métallique
Etc.
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Donc en une dimension c'est simple :
Nombre d'électrons impair :
comportement métallique
Nombre d'électrons pair :
isolant ou semiconducteur
Remarque : Tous les éléments de nombre atomique impair
sont des métaux !
Pourquoi les éléments avec un nombre atomique pair ne sont
ils pas tous des isolants ou des semiconducteurs ?
Illustration de la réponse en 2D
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Exemple : réseau carré plan de paramètre a
ky
La première zone de Brillouin :
M
La première et la deuxième bande
sont données par deux relations
de dispersion :
E2 kx ; ky
E1 kx ; ky
G
qui peuvent être représentées
E
par des surfaces
2p
a



X

1
G
X
kx
M
kx
E2
G
X
M
kx
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Représentation en "coupe"
ky
Énergie
M
MC
XC
MV
G
XV
M
G
X
(p/a; p/a)
(0;0)
(p/a;0)
X
kx
2p
a
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Énergie
Atomes monovalents
1 électron
maille primitive
N électrons dans l'échantillon
MC
MV
XC
2N places dans la 1ère bande
XV
Les électrons vont occuper
les N places de plus basse
énergie
EF
M
G
X
(p/a; p/a)
(0;0)
(p/a;0)
EF se situe quelque part au milieu de la première bande
Comportement électrique : métallique
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Atomes divalents
2 électrons
maille primitive
2N électrons
Les 2N états d'énergies
les plus basses se
trouvent dans la
première bande
EF au sommet de la
première bande
Énergie
1er cas : XC > MV
MC
XC
MV
M
(p/a; p/a)
XV
G
(0;0)
EF
X
(p/a;0)
Comportement : isolant ou semiconducteur
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
2ème cas : XC < MV
2 électrons
maille primitive
Les 2N états d'énergies
les plus basses se
trouvent à la fois
dans la première bande
et la deuxième bande
Énergie
Atomes divalents
2N électrons
MC
MV
XC EF
XV
Chevauchement de bandes
EF coupe la 1ère bande proche
de M et la 2éme bande
proche de X
Comportement : métallique
M
(p/a; p/a)
G
(0;0)
X
(p/a;0)
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Quelques exemples en 3D
Na, cc, a = 4,23 Å
Comparaison avec la structure
des électrons libres
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Exemple Cs et Ba : Évolution du niveau de Fermi
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Al, cfc, a = 4,05 Å
Trivalent !
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Cu, cfc, a = 3,61 Å
On remarque les bandes d
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Métal – Semiconducteur - Isolant
Si, cfc, a = 5,431 Å
Atomes en
et
(0;0;0)
(¼; ¼;¼)
Si : 4 électrons de valence
8 électrons / maille
c
z
y
x
b
a
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Surfaces de Fermi
Définition : La surface de Fermi est la surface, qui dans
l’espace des k sépare les états occupés des
états vides à T = 0 K
2 2

k
0
Cas des électrons libres : Ek 
2m
L’énergie de Fermi EF est déterminée par le nombre N
des électrons :
2kF2
C’est une sphère !
EF 
2m
1
3

2 N
: rayon de Fermi
kF   3p 3 
L 

Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Exemple en 2D :
réseau carré plan de paramètre a
(réseau réciproque : carré plan de 2p/a)
2
 2p 
L’aire de la 1ère zone de Brillouin :  a 
 
pkF2
N
1

N 2
Détermination de kF
2

2
kF   2p 2 
2p 

En 2D :
 
 L 
L
 
Surfaces d’isoénergie : cercles !
G
M
X
kx
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Atomes monovalents :
N
1

L2 a2
2p
p
kF 
 0,798
a
a
Toute la sphère de Fermi est
contenue dans la 1ère zone de Brillouin
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Atomes divalents :
N 2
 2
2
L
a
4p
p
kF 
 1,128
a
a
Une partie se trouve dans la
deuxième zone !
1ère
2ème
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Atomes trivalents :
N 3
 2
2
L
a
6p
p
kF 
 1,382
a
a
Une partie se trouve dans la
deuxième zone !
1ère
2ème
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Remarque : k n’est déterminé qu’à G près
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Schéma de zone répété :
1ère zone de Brillouin :
2ème zone de Brillouin :
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Remarque : en 3D cela devient complexe !
Exemple Al : Surface de Fermi est presque une sphère !
3 zones
3 bandes
Remarque : La 3ème zone est appelé : "le monstre"
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Comment se modifient les lignes d'isoénergie dans le cas
de vraies bandes ?
Exemple en 2D :
réseau carré plan de paramètre a
E1
M
G
X
kx
1ère bande
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Quelques exemples réel :
Métaux alcalins :
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Métaux nobles
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III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Al réel :
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Dernier exemple : W
Si cela vous intéresse plus :
http://www.phys.ufl.edu/fermisurface
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Remarque : La notion de densité d'états reste valable
Expression générale de la densité d’états g(E)
k
y
E = const.
E + dE = const.
kx
G (E) dE est le nombre
discrets de valeurs de k qui se
trouvent entre les surfaces
correspondantes à E = const.
et E + dE = const. dans
l’espace des k
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
E  dE
Par conséquence :
GE dE 
E+dE=const.
E
2p L 3
d3k  ds dk
dk
T
E=const.
ds
3
d
 k
On sait que
d 3k 

GE 
L3
3

2
p
 

E const .

r
dE
 grad k E k
dk
ds dE

r
grad k E k
ds

r
grad k E k
Formule générale de la densité d’états des électrons
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Exemple :
Na, cc, a = 4,23 Å
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Exemple :
Cu, cfc, a = 3,61 Å
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Surfaces de Fermi
Dernier exemple :
Si, cfc, a = 5,431 Å
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Résumé
Les états électroniques solution de l'équation de Schrödinger
 2
  

 

 
  V x  x   E x  avec V x  R  Vx  sont des ondes de Bloch :
 2m
 
 ikR

 
 ikx
k x   uk x  e
avec uk x   uk x  R ou k x  R  k x  e
Le réseau réciproque (la transformée de Fourrier du réseau cristallographique)
est donné par
aj  ak

*
*
*
*
a

2
p
G  m1a1  m2a2  m3a3 avec: i
ai  aj  ak

Le vecteur d'onde k n'est déterminé qu'à un vecteur du réseau réciproque près
Conséquences :
La première zone de Brillouin (maille
de Wigner-Seitz du réseau réciproque)

contient
toutes les valeurs de k qui possèdent un sens physique
 

'
ère
Si k est en dehors de la 1 ZdB on peut trouver un k  k  G
à l'intérieur de la 1ère ZdB

Les relations de dispersion En k sont
des relations périodiques dans

l'espace réciproque (l'espace des k ) n est l'indice de bande











Si n = m, Em(k) est la relation de dispersion qui correspond au valeurs de k de
la mème zone de Brillouin, translatée dans la 1ère zone !
Physique du Solide
III. Bandes d'Énergie : Résumée
Influence du potentiel périodique :
Dès que les valeurs de k approchent la limite d'une zone de Brillouin un gap
s'ouvre dans les relations de dispersion.
Selon différents directions de l'espace des k, plusieurs bandes peuvent
se chevaucher
Une bande peut contenir 2 N électrons
(N : Nombre de mailles primitives de l'échantillon)
La position du niveau de Fermi détermine le comportement d'un matériau
Métal : EF se situe à l'intérieur d'une ou de plusieurs bandes
Isolant ou semiconducteur : EF se situe en haut d'une bande pleine et
toute les autres bandes sont vides
Isolant : la gap entre la dernière bande pleine et la première bande vide
est supérieur à 3-5eV
Semiconducteur : la gap entre la dernière bande pleine et la première bande
vide est inférieur à 3-5eV
La surface de Fermi est la surface, qui dans l’espace des k sépare les états
occupés des états vides à T = 0 K
2L3
ds
La densité d’états des électrons : GE  


3
2p Econst. grad kE k

Physique du Solide