Transcript EE-214/2011

EE-214/2011
Métodos de Busca Aleatória
EE-214/2011
Problema Básico
J[u,xu]
Dados:
1) Um sistema dinâmico
Calculador
de Custo
u
Sistema
Dinâmico
dx
 f (t, x, u)
dt
x(t0 )  x0
xu
2) Um índice de desempenho
J [ u , x ]   ( x ( t f )) 
u
u

Obter:
*
u
u  arg m in J [ u , x ]
u U
tf
0
u
c ( t , x , u ) dt
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Terapia da Infecção por HIV
tf
2
Minimizar
J[ m (.)]  
v (t f )

2
s.a.
dx 1 ( t )
dt
dx 2 ( t )
dt
dx 3 ( t )
dt
dx 4 ( t )
dt
x 1 (t)
x 2 (t)
x 3 (t)
x 4 (t)





2
m (t)
t0
dt
2
   dx 1 ( t )   x 1 ( t ) x 3 ( t )
e
m (t)
x 1 ( t ) x 3 ( t )  ax 2 ( t )  px 2 ( t ) x 4 ( t )
 kx 2 ( t )  ux 3 ( t )
 cx 2 ( t ) x 4 ( t )  bx 4 ( t )
quantidad e de cé lu la s C D 4 sad ias
quantidad e de cé lu la s C D 4 infectadas
vírus livre s
lin fó c ito s T citotó xico s
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Métodos para Solução
1. Princípio do Máximo de Pontryaguin
2. Princípio da Otimalidade
3. Busca Direta por Soluções Sub-ótimas
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Métodos para Solução
1. Princípio do Máximo de Pontryaguin
2. Princípio da Otimalidade
3. Busca Direta por Soluções Sub-ótimas
a. Escolher uma base para o Espaço de Controles Admissíveis:
U = span{b1,b2,b3,...}
b. Escrever u(t) como combinação linear truncada de bi(t):
u(t) = 1b1(t) + ... + nbn(t)
c. Truncar a série considerar otimização no Rn:
JSub-Ótimo(1,..., n) = J[u,xu]
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Métodos para Solução
1. Princípio do Máximo de Pontryaguin
2. Princípio da Otimalidade
3. Busca Direta por Soluções Sub-ótimas
a. Escolher uma base para o Espaço de Controles Admissíveis:
U = span{b1,b2,b3,...}
Senos, Cossenos, Exponenciais
Hermite, Lagrange, Laguerre,...
Wavelets
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Métodos para Solução
b1
1 
2 
t
b2
+
t
+ ... +
n 
bn
t
u
=
t
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Problema Básico Simplificado
JSub-Ótimo(1,..., n)
Dados:
1) Um sistema dinâmico
Calculador
de Custo
u
Sistema
Dinâmico
dx
 f (t, x, u)
dt
x(t0 )  x0
xu
u(t) = 1b1(t) + ... + nbn(t)
2) Um índice de desempenho
JSub-Ótimo(1,..., n)
Obter:
*
*
(  1 , ... ,  n )  arg m in J S ub  O tim o (  1 , ... ,  n )
 R
n
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Busca no Rn
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Otimização no Rn
Máxima Declividade
Poliedros Flexíveis
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Busca Aleatória no Rn
a. MSA (Most Stupid Algorithm)
b. Algoritmo Genético (Genetic Algorithm)
c. Têmpera Simulada (Simulated Annealing)
d. Enxame de Partículas (Particle Swarm)
e. etc...
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MSA
Considere o problema:
m in J (  1 ,  2 )
 [ 0 ,1 ]
2
Passo 0: Escolher N e M inteiros positivos grandes, k := 1
Passo 1: Gerar N pares (1,2) onde , i ~ uniforme (0,1)
Passo 2: Selecionar o par (1,2)* que resulta menor valor de J,
Passo 3: Se k := M Então Imprimir (1,2)* e FIM
Passo 4: Gerar mais um par (1,2)+ com i ~ uniforme em (0,1)
Passo 5: Se J(1,2)+ < J(1,2)* Então (1,2)* = (1,2)+ e k := 1
Senão k := k+1 Retorne ao Passo 3
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Algoritmo Genético
Considere o problema:
m in J (  1 ,  2 )
 [ 0 ,1 ]
2
Passo 0: Representar (1,2) [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]
Exemplo: (10/15,07/15)  [ 1 0 1 0 | 0 1 1 1 ]
(05/15,09/15)  [ 0 1 0 1 | 1 0 0 1 ]
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Algoritmo Genético
Considere o problema:
m in J (  1 ,  2 )
 [ 0 ,1 ]
2
Passo 0: Representar (1,2) [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]
Passo 1: Gerar população com N pares (1,2),, i ~ uniforme (0,1)
e representar na forma [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]
1: [ 1 0 1 0 | 0 1 1 1 ]
2: [ 0 0 0 1 | 1 1 1 0 ]
3: [ 0 1 0 1 | 1 0 0 1 ]
--N: [ 0 1 1 1 | 1 0 1 1 ]
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Algoritmo Genético
Considere o problema:
m in J (  1 ,  2 )
 [ 0 ,1 ]
2
Passo 0: Representar (1,2) [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]
Passo 1: Gerar população com N pares (1,2),, i ~ uniforme (0,1)
e representar na forma [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]
Passo 2: Selecionar dois pares (1,2) e gerar proles mediante permuta
m: (10,07)  [ 1 0 1 | 0 0 1 1 1 ]
p: (05,09)  [ 0 1 0 | 1 1 0 0 1 ]
f1: [ 1 0 1 | 1 1 0 0 1 ]  (11,09)
f2: [ 0 1 0 | 0 0 1 1 1 ]  (04,07)
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Algoritmo Genético
Considere o problema:
m in J (  1 ,  2 )
 [ 0 ,1 ]
2
Passo 0: Representar (1,2) [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]
Passo 1: Gerar população com N pares (1,2),, i ~ uniforme (0,1)
e representar na forma [B0 B1 B2 B3 | B4 B5 B6 B7 ]
Passo 2: Selecionar dois pares (1,2) e gerar proles mediante permuta
Passo 3: Introduzir mutação nos proles
f1: [ 1 0 1 | 1 1 0 0 1 ]  (11,09)
f2: [ 0 1 0 | 0 0 1 1 1 ]  (04,07)
f1m: [ 1 0 1 | 1 1 1 0 1 ]  (11,13)
f2m: [ 0 1 0 | 0 0 1 1 0 ]  (04,06)
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Algoritmo Genético
Considere o problema:
m in J (  1 ,  2 )
 [ 0 ,1 ]
2
Passo 0:
Passo 1:
1: [ 1 0 1 0 | 0 1 1 1 ]  J1
2: [ 0 0 0 1 | 1 1 1 0 ]  J2
3: [ 0 1 0 1 | 1 0 0 1 ]  J3
---
Passo 3:
N: [ 0 1 1 1 | 1 0 1 1 ]  JN
N+1: [ 0 1 1 1 | 1 0 1 1 ]  JN+1 †
N+2: [ 0 1 1 1 | 1 0 1 1 ]  JN+2 †
Passo 4: Realizar seleção natural
J1 < J2 < .... < JN+1< JN+2
Passo 2:
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Têmpera Simulada
Considere o problema:
m in J (  1 ,  2 )
 [ 0 ,1 ]
2
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Têmpera Simulada
Considere o problema:
m in J (  1 ,  2 )
 [ 0 ,1 ]
2
Passo 0: Fazer k := 1
Passo 1: Gerar uma direção de decréscimo (1,2)k
Se critério_de_parada = OK, Então FIM
Passo 2: Gerar uma direção aleatória (1,2)
Passo 3: Calcular V = J (1+ 1, 2 +2) - J (1+ 1,2 +2)
Passo 4: Se V < 0 Então (1,2) := (1,2)
Senão (1,2) := (1,2) com probabilidade exp(-/k)
Passo 5: Otimizar na direção (1,2)k, k := k +1 e
Retornar ao Passo 1
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Enxame de Partículas
Considere o problema:
m in J (  1 ,  2 )
 [ 0 ,1 ]
2
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Enxame de Partículas
Considere o problema:
m in J (  1 ,  2 )
 [ 0 ,1 ]
2
Passo 0: Gerar N partículas (  11 ,  12 , v 11 , v 12 , J 1Pr ev ),..., (  1N ,  2N , v 1N , v 2N , J PrN ev )
onde, JPrev = J(1,2)
v
2
1
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Enxame de Partículas
Considere o problema:
m in J (  1 ,  2 )
 [ 0 ,1 ]
2
Passo 0: Gerar N partículas (  11 ,  12 , v 11 , v 12 , J 1Pr ev ),..., (  1N ,  2N , v 1N , v 2N , J PrN ev )
onde, JPrev = J(1,2)
Passo 1: Obter o melhor ponto global atual:
(  1 ,  2 ) t .q . J (  1 ,  2 )  J Pr ev  k  1,..., N
*
*
*
*
k
Passo 2: Evoluir as partículas i = 1,...,N:  ij :   ij  v ij
j  1, 2
Passo 3: Se J (  1i ,  i2 )  J iPr ev Então J iPr ev  J (  1i ,  i2 )
Passo 4: Atualizar a velocidade v ij :  v ij   j (  *j   ij )
Passo 5: Se critério_de_parada = OK Então FIM
Senão Retornar ao Passo 1
j  1, 2
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２
１
５
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EE-214/2011
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Enxame de Partículas
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
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Características da Busca Aleatória
a. Natureza Heurística
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Características da Busca Aleatória
a. Natureza Heurística
b. Computacionalmente onerosa
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Características da Busca Aleatória
a. Natureza Heurística
b. Computacionalmente onerosa
c. Exibe probabilidade não-nula de encontrar
o mínimo global
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Características da Busca Aleatória
a. Natureza Heurística
b. Computacionalmente onerosa
c. Exibe probabilidade não-nula de encontrar
o mínimo global
d. Não requer suavidade de J(.)
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Enxame de Partículas
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
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Otimização de Investimentos
no Controle da Dengue
J [ u 1 (.), u 2 (.)] 
Minimizar
s.a.
dx 1
dt
dx 2
dt

tf
0
{  D x 3 ( t )   F u 1 ( t )   E u 2 ( t )} dt
2
2
2
 [  R (1   sin(  t   ))   M  x 4 ( t )] x 1 ( t )  u 1 ( t )
 [  R (1   sin(  t   ))   M  x 4 ( t )] x 2 ( t ) 
 [ x 1 ( t )  x 2 ( t )] x 3 ( t )  u 1 ( t )
dx 3
dt
dx 4
dt
x 1 (t)
x 2 (t)
x 3 (t)
x 4 (t)




   x 3 ( t )   x 2 ( t )[ P  x 3 ( t )]
  x 4 ( t )   x 3  u 2 ( t )
densidade de mo squito s
densidade de mo squito s carregando vírus
número de pesso as co m dengue
grau de mo tivação po pular para co mbater mo squito s
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Otimização de Investimentos
no Controle da Dengue
In ve s tim e n ts in E d u c a tio n a l C a m p a ig n s
0 .0 9
0 .0 8
0 .0 7
0 .0 6
S u b -O p tim a l
0 .0 5
u2
0 .0 4
O p tim a l
0 .0 3
0 .0 2
0 .0 1
0
0
20
40
60
80
T im e (w e e k s )
100
120
140
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Otimização de Investimentos
no Controle da Dengue
D e n s it y o f M o s q u ito e s
1 .2
1
N o C o n tro l
0 .8
0 .6
S u b -O p tim a l
x1
0 .4
O p tim a l
0 .2
B re te a u T h re s h o ld
0
-0 .2
0
20
40
60
80
T im e (w e e k s )
100
120
140
EE-214/2011
Otimização de Investimentos
no Controle da Dengue
In fe c te d M o s q u ito e s
0 .7
0 .6
N o C o n tro l
0 .5
0 .4
x2
0 .3
S u b -O p tim a l
B re te a u T h re s h o ld
0 .2
0 .1
O p tim a l
0
0
20
40
60
80
T im e (w e e k s )
100
120
140
EE-214/2011
Otimização de Investimentos
no Controle da Dengue
A ffe c te d In d ivid u a ls
0 .3 5
0 .3
0 .2 5
N o C o n tro l
0 .2
x3
B re te a u T h re s h o ld
S u b -O p tim a l
0 .1 5
0 .1
0 .0 5
O p tim a l
0
0
20
40
60
80
T im e (w e e k s )
100
120
140
EE-214/2011
Otimização de Investimentos
no Controle da Dengue
G o o d w ill
0 .4 5
0 .4
0 .3 5
0 .3
x4
S u b -O p tim a l
0 .2 5
0 .2
0 .1 5
O p tim a l
N o C o n tro l
0 .1
0 .0 5
B re te a u T h re s h o ld
0
0
20
40
60
80
T im e (w e e k s )
100
120
140
EE-214/2011
Otimização de Investimentos
no Controle da Dengue
A c c u m u la te d C o s t
3 .5
3
N o C o n tro l
2 .5
2
J
B re te a u T h re s h o ld
1 .5
S u b -O p tim a l
1
0 .5
O p tim a l
0
0
20
40
60
80
T im e (w e e k s )
100
120
140
EE-214/2011
Muito Obrigado!