Transcript パイプ風鈴の振動理論 - koji-kon

パイプ風鈴の振動理論
どの様な振動をしているか。周波数は何で決まるか。
（結論）
・振動数は棒の長さＬの二乗に反比例する。
・共振のモードは複数あり、それらが混合された波形となる。
・両端フリーの時、振動の様子は下図のとおり。
振動の混合
• 断面積 Ｓ 断面２次モーメント I 密度 r 縦弾性係数 E
のはりの微少部分が曲げ振動する場合を考える。
Mは曲げモーメント、Vはせん断力、ｍは微少質量。
Y
曲げの式より、① M=E・I・Y‘’
曲げのつりあいから、
Ｖ（ｘ＋δ）
Ｍ（ｘ）
M(x)＝M(x＋δ）＋V・δ
Ｍ（ｘ＋δ）
よって、② V＝－M’
ｙ方向の運動方程式より、
Ｖ（ｘ）
V(ｘ＋δ）－V（ｘ）＝ｍ・ａ
よって、③ Ｖ‘＝ρ・Ｓ・ａ
、ａは加速度
①②③より、
④ ａ＝－（ＥＩ／ρＳ）・Y’’‘’
・・・ 波動方程式
X
0
Ｘ
Ｘ+δ
Ｌ
一般に、 ⑤ ａ＝－Ａ・Ｙ‘’‘’ の波動方程式は、
Ｙ＝F（ｔ）・G（ｘ）とすると、 特解は
exp（ｊωｔ）、exp（-ｊωｔ） 、 exp（ｊｋｘ）、exp（-ｊｋｘ） 、exp（ｋｘ）、exp（-kx)
よって、
⑥ Ｆ（ｔ）＝ｃ１・sinωｔ＋ｃ２・cosωｔ
⑦ Ｇ（ｘ）＝ｃ３・sinｋｘ＋ｃ４・cosｋｘ＋ｃ５・exp（ｋｘ）＋ｃ６・exp（ｰｋｘ）
⑤⑥⑦より、ω＝（√A）・ｋ・ｋ ・・・⑧
＜初期値条件＞
無変形で振動開始したとすると、ｔ＝０でｙ＝０ よって、ｃ２＝０
＜境界条件＞ 両端単純支持の場合・・・弦の振動に近いモード
Ｘ＝０でＹ＝０、M＝０
X=Lで Ｙ=０、M=０
境界条件より、ｃ４＝０ ・・・⑩
、 ｓｉｎ（ｋＬ）＝0 ・・・⑫
、 ｃ６＝ｃ５＝０ ・・・⑪
⇒ ｋＬ＝ｎ・π 、 ｎ＝１、２、３、・・・・
⑧より、ω＝（√A）・ｋ・ｋ ＝（√A）・（ｎπ／L）２ ・・・⑨
また、一般解 Ｙ＝Ｆ（ｔ）・Ｇ（ｘ）とおくと、 Ｆ（ｔ）＝ｃ１・sin（ωｔ）
G（ｘ）＝sin（ｋｘ）＝ｓｉｎ（ｎπｘ／Ｌ） 、ｎ＝１，２，３、・・・
（考察）
Ｙ＝Ｓｉｎωｔ・ｓｉｎｋｘ は進行波と後退波の合成としても表される。
＝［ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）－ｃｏｓ（ωｔ＋ｋｘ）］／２
ｋ＝２π／λ ；λは波長
λ＝２π／ｋ 、ｋ＝ｎπ／Ｌから λ＝２Ｌ／ｎ ・・・③
伝達速度 Ｃとすると、λ＝Ｃ・Ｔから、Ｃ＝λ／Ｔ＝λ・ｆ＝λω／２π
よって、Ｃ＝ωＬ／ｎπ＝ （√A）・（ｎπ／L） ・・・一定でない！
＜境界条件＞ 両端フリーの場合・・・風鈴がこれに当たる
M（０）＝０、Ｖ（０）＝０から
ｃ５＝（ｃ３＋ｃ４）／２ ・・・⑩ 、 ｃ６＝（-ｃ３＋ｃ４）／２ ・・・⑪
Ｍ（Ｌ）＝０、Ｖ（Ｌ）＝０から
cos（ｋL）・ｃｏｓｈ（ｋＬ）＝１ ・・・⑫
⑫を解くと、 ｋＬ＝4.730、7.853、10.996
＝λｉとおく（後述）。
⑧より、ω＝（√A）・ｋ・ｋ ＝（√A）・（λi／L）２ ・・・⑨
一般解はｅｘｐをsinhとcoshにおきかえると、
G（ｘ）＝ｃ３・ｓｉｎ(kx) ＋ｃ４・ｃｏｓ(kx) ＋ｃ３・ｓｉｎｈ(kx)＋ｃ４・ｃｏｓｈ(kx)
＝cos（ｋｘ）＋cosh（ｋｘ）＋α・［ sin（ｋｘ）＋sinh（ｋｘ）］、ｋ＝λｉ／Ｌ
（αを求める）
奇数次振動モードのとき、左右対称性からG(0)＝G（L）なので、
α＝［２－cos(λ)-cosh(λ)］／ ［sin（λ）＋sinh（λ）］
＝［２－cos(λ)-1/cos(λ)］／ ［sin（λ）－tan（λ）］
＝（１－cos）（１-1/cos）／ ［sin・（１－1/cos）］＝ （１－cos）／ sin
偶数時振動モードのとき、点対象性からG(0)＝－G（L)なので、
α＝［-２－cos(λ)-cosh(λ)］／ ［sin（λ）＋sinh（λ）］
＝［ー２－cos(λ)-1/cos(λ)］／ ［sin（λ）＋tan（λ）］
＝－（１＋cos）（１＋1/cos） ／ ［sin・（１＋1/cos）］＝ ー（１＋cos） ／ sin
λ1＝4.73004074から、α１＝-0.982502
λ2＝7.85320462から、α２＝-1.000777
λ3＝10.9956078から、α３＝-0.999966
（節を求める） L=1のとき、 G（ｘ）＝０ の近似解は以下。
１次振動モー
ド
0.22415951 0.77584864 -
-
２次振動モー
ド
0.132108003 0.49999929
0.867902555 -
３次振動モー
ド
0.094442893 0.35580274
0.644214063 0.905307045
（腹を求める） L=1のとき、
G’（ｘ）＝ ｋ・｛-sin（ｋｘ）＋sinh（ｋｘ）＋α・［ cos（ｋｘ）＋cosh（ｋｘ）］｝＝０ の
近似解は以下。
１次振動モード
0.5 -
２次振動モード
0.308373036
３次振動モード
0.220001877
-
0.6916533 -
0.5
0.779925693
λを求める手法
Cos(x)*cosh(x)=1 の解をニュートンラプソン法で求める。
F=cos(x)＊cosh(x)－１とし、誤差／傾き だけXを補正する手法
⊿F＝ｆ‘（ｘ）＊⊿ｘ ⇒ ⊿ｘ＝⊿Ｆ／ｆ’（ｘ）
4.73004074 1.5πすぎ
⊿ｘ
7.85320462 2.5π手前
10.9956078 3.5πすぎ
⊿F
cos(x)*cosh(x)
Y
500
0
-500 0
*
2
4
6
X
8
10
（比較）弦の振動理論
• 線密度 r、一定張力Ｔ がかかる場合を考える。
弦の傾きをθとすると、Ｆ＝Ｔ・ｓｉｎθ
Ｆ
Y
Ｔ
θ
Θは小さいのでｓｉｎθ＝ｔａｎθ＝Ｙ‘
よって、Ｆ＝Ｔ・Ｙ‘ ・・・①
微少部分のＹ方向の運動から
Ｔ
0
Ｘ
Ｘ+δ
Ｆ（ｘ＋δ）－Ｆ（ｘ）＝ｍ・ａ＝ρ・δ・ａ
T［Ｙ‘（ｘ＋δ）－Ｙ’（ｘ）］＝ρ・δ・ａ ・・・②
ａ＝＋（Ｔ／ρ）・Y’’ ・・・ ③ 波動方程式 ＋であることに留意。
一般に、 ａ＝＋Ａ・Ｙ‘’ の波動方程式は、Ｙ＝F（ｔ）・G（ｘ）とすると、
特解は、exp（ｊωｔ）、exp（-ｊωｔ） 、 exp（ｊｋｘ）、exp（-ｊｋｘ）
よって、④ Ｆ（ｔ）＝ｃ１・sinωｔ＋ｃ２・cosωｔ
⑤ Ｇ（ｘ）＝ｃ３・sinｋｘ＋ｃ４・cosｋｘ
③④⑤より、-ω・ω＝Ａ・ｋ・ｋ ⇒ ω＝（√A）・ｋ ・・・⑥
Ｌ
＜初期値条件＞
無変形で振動開始したとすると、ｙ（ｔ＝０）＝０ よって、
ｃ２＝０
＜境界条件＞ 弦はｘ＝０とLで拘束されているから、
Ｙ（ｘ＝０）＝０から、ｃ４＝０
Y（ｘ＝L)＝０から、ｓｉｎ（ｋＬ）＝０ ⇒ ｋＬ＝ｎπ
一般解 Ｙ＝ｃ１・sin（ωｔ）・ｓｉｎ（ｋｘ）、ｋ＝ｎπ／Ｌ
ω＝√Ａ ・ｋ＝√（Ｔ／ρ） ｎπ／Ｌ ・・・Ｌに
反比例する。
（考察）
Ｙ＝Ｓｉｎωｔ・ｓｉｎｋｘ は進行波と後退波の合成としても表される。
進行波 ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）＝ｃｏｓωｔ・ｃｏｓｋｘ＋ｓｉｎωｔ・ｓｉｎｋｘ ①
後退波 ｃｏｓ（ωｔ＋ｋｘ）＝ｃｏｓωｔ・ｃｏｓｋｘーｓｉｎωｔ・ｓｉｎｋｘ ②
①-②より、ｓｉｎωｔ・ｓｉｎｋｘ＝［ｃｏｓ（ωｔ－ｋｘ）－ｃｏｓ（ωｔ＋ｋｘ）］／２
ｋ＝２π／λ ；λは波長
λ＝２π／ｋ 、ｋ＝ｎπ／Ｌから λ＝２Ｌ／ｎ ・・・③
伝達速度 Ｃとすると、λ＝Ｃ・Ｔから、Ｃ＝λ／Ｔ＝λ・ｆ＝λω／２π
よって、Ｃ＝ωＬ／ｎπ＝ （√A）・（ｎπ／L）・ Ｌ／ｎπ
＝ （√A） ＝√（Ｔ／ρ）
波の伝達速度は一定。
縦波(粗密波)の振動理論
• 変位Ｕ、棒の断面積Ｓ、密度 r、ヤング率Ｅとする。
変位Ｕ（ｘ、ｔ）
弾性の法則から、
Ｆ／Ｓ＝Ｅ・ε
Ｆ
ε＝u(x+δ,t)-u(x,t)／δ＝ｕ‘
よって、Ｆ＝ＥＳ・ｕ‘ ・・・①
0
Ｆ（ｘ＋δ）
Ｘ
Ｘ+δ
運動の式から、
F(x+δ,t)-F(x,t)＝ρSδ・ａ ・・・②
①②より、 ａ＝Ｆ‘／ρＳ＝（Ｅ／ρ）・ｕ’‘ ・・・ ③ 波動方程式
③式は弦の振動と同じ。よって、
伝達速度Ｃ＝（√A）＝√（Ｅ／ρ）
チタンの場合、Ｅ＝106Ｇｐａ、 ρ＝4.51ｇ／ｃｍ3から、
チタンの縦波伝達速度＝4848ｍ／秒
Ｌ