Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 kp
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Transcript Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2 kp
Master 1 – Outils statistiques
07/04/2015
1
Plan du cours
Introduction aux plans d’expériences
Problématique
Notion d’espace expérimental
Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k
Plan à deux facteurs
Plan à trois facteurs
Un exemple de plan à cinq facteurs
Notation matricielle
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Construction des plans fractionnaires
Groupe des générateurs d’aliases
Calcul des contrastes
Technique pour désaliaser
07/04/2015
2
Problématique
Les systèmes peuvent être complexes. Ils sont pilotés par de nombreux
paramètres de conception et de réglages (X1, X2, Xi,…).
L'objet des plans d’expériences (experimental designs) est de
quantifier l'influence des paramètres sur la réponse à partir de résultats
d'expérimentations.
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3
Problématique
Pour cela, il existe plusieurs stratégies d'expérimentation :
Les plans complets : Cette stratégie consiste à tester
toutes les combinaisons des paramètres sélectionnés (très
long et coûteux)
Les plans réduits : Cette stratégie consiste à tester une
partie de toutes les combinaisons des paramètres.
Les plans Taguchi : Génichi Taguchi a proposé une
sélection de plans réduits (non traité ici).
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Problématique
Cette catapulte a été conçue
de manière à ce que l’on
puisse facilement modifier 5
des paramètres de
construction ou d’utilisation :
1. bandage de l’élastique
2. accrochage de l’élastique
3. position du bol sur le bras
4. angle de butée de
percussion
5. angle d’armement
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Catapulte et ses différents réglages
5
Problématique
En résumé
But: Optimiser la distance de tir!
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6
Problématique
Méthode classique: on fixe le niveau de toutes les variables sauf une
et on mesure la réponse y en fonction de plusieurs valeurs non fixées x1
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Problématique
Méthode des plans d’expériences
On fait varier les niveaux de tous les facteurs à la fois à chaque
expérience, mais de manière programmée et raisonnée.
Choquant? Non!!
Avantages (mais pas toujours intuitifs):
•Diminution du nombre d’essais.
•Nombre de facteurs étudiés très grand
•Détection des interactions entre facteurs
•Détection des optimaux
•Meilleure précision sur les résultats
•Optimisation des résultats
•Modélisation des résultats
DANS CE COURS, LE BUT SERA SURTOUT LA RECHERCHE DES
FACTEURS INFLUENTS (PAS FORCEMMENT DE L’OPTIMAL)
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Plan du cours
Introduction aux plans d’expériences
Problématique
Notion d’espace expérimental
Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k
Plan à deux facteurs
Plan à trois facteurs
Un exemple de plan à cinq facteurs
Notation matricielle
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Construction des plans fractionnaires
Groupe des générateurs d’aliases
Calcul des contrastes
Technique pour désaliaser
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Notion d’espace expérimental
La valeur donnée à un facteur pour réaliser un essai est appelée
niveau. Lorsqu'on étudie l'influence d'un facteur, en général, on
limite ses variations entre deux bornes. La borne inférieure est le
niveau bas. La borne supérieure est le niveau haut.
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Notion d’espace expérimental
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Notion d’espace expérimental
Eventuellement: modéliser la réponse
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Plan du cours
Introduction aux plans d’expériences
Problématique
Notion d’espace expérimental
Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k
Plan à deux facteurs
Plan à trois facteurs
Un exemple de plan à cinq facteurs
Notation matricielle
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Construction des plans fractionnaires
Groupe des générateurs d’aliases
Calcul des contrastes
Technique pour désaliaser
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Plans factoriels complets à deux niveaux
PLANS FACTORIELS COMPLETS A DEUX NIVEAUX
Ces plans possèdent un nombre de niveaux limité à deux pour chaque
facteur. Toutes les combinaisons de niveaux sont effectuées au cours
de l'expérimentation. Ces plans peuvent être utilisés indistinctement
pour les variables continus et pour les variables discrètes.
Exemple: Le rendement d’une réaction dépend de t° et de P.
A
B
C
D
60°C
1 bar
80°C
1bar
60°C
2 bars
80°C
2 bars
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Plans factoriels complets à deux niveaux
P
C
D
A
B
2
1
60
80 t
On peut démontrer que la meilleure stratégie consiste à choisir les 4
points aux extrémités du domaine expérimental.
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Plans factoriels complets à deux niveaux
N essais
T (facteur 1) P(facteur 2)
rendement
1
2
3
4
+
+
+
+
60
70
80
90
Niveau -
60°C
1 bar
Niveau +
80°C
2 bars
Facile: meilleur rendement 80°C, 2 bars
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Plans factoriels complets à deux niveaux
P
80%
y3
90%
y4
+1
Moyenne des réponses au niveau
haut de t
y
70%
y
y1
-1
60%
-1
y
y2
70%
+1 t
1
2
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( y1 y 3 )
2
( y2 y4 )
80%
Moyenne des réponses au niveau
bas de t
y
1
Effet moyen de t
1 1
1
E t ( y 2 y 4 ) ( y1 y 3 )
2 2
2
Et
1
4
y1 y 2 y 3 y 4 5 %
Effet moyen de P
EP
1
4
y1 y 2 y 3 y 4 10 %
17
Plans factoriels complets à deux niveaux
Ajoutons la moyenne
I
1
4
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y1
y 2 y 3 y 4 75 %
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Plans factoriels complets à deux niveaux
N essais
T (facteur 1) P(facteur 2)
rendement
1
2
3
4
+
+
+
+
60
70
80
95
Niveau -
60°C
1 bar
Niveau +
80°C
2 bars
Autre exemple, mais cette fois avec un catalyseur
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Plans factoriels complets à deux niveaux
Effet moyen de t
Et
1
4
y1 y 2 y 3 y 4 6 , 25 %
Effet moyen de P
EP
1
4
y1 y 2 y 3 y 4 11 , 25 %
Interaction température pression
E tP
1
4
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y1 y 2 y 3 y 4 1, 25 %
20
Plans factoriels complets à deux niveaux
N essais
Moyenne
T (facteur 1)
P(facteur 2)
Interaction
rendement
1
2
3
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
60
70
80
95
diviseur
4
4
4
4
Effet
76,5
6,25
11,25
1,25
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21
Plans factoriels complets à deux niveaux
Plan complet à trois facteurs 23
N°
essai
M
F1 F2
F3 Rep.
1
2
3
4
5
6
7
8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
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+
+
+
+
38
37
26
24
30
28
19
16
22
Plans factoriels complets à deux niveaux
N°
essai
M
F1 F2 F3 I12
I13
I23
I123
1
2
3
4
5
6
7
8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
div.
8
8
8
8
8
8
8
8
Effet
27,5 -1
-6
-4
-0,25 -0,25 0,25
0
Sans effet
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Plans factoriels complets à deux niveaux
Construction des plans d’expériences
Signes du facteur 1: - + - + - + …
Signes du facteur 2: - - + + - - + + …
Signes du facteur 3: - - - - + + + + …
Etc…
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Plans factoriels complets à deux niveaux
07/04/2015
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Plans factoriels complets à deux niveaux
Sans influence
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Plans factoriels complets à deux niveaux
1,3,9,11 identiques
puisque les facteurs 2
et 4 sont sans influence
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Plans factoriels complets à deux niveaux
Tout se passe comme si l’on avait répété quatre fois un
plan à trois facteurs
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Plans factoriels complets à deux niveaux
Meilleur résultat:
Concentration maïs faible
Présence de précurseur
Absence de glucose
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Plans factoriels complets à deux niveaux
Notation matricielle
N essais
Moyenne
T (facteur 1)
P(facteur 2)
Interaction TP
1
2
3
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
X
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
X
t
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
transposée
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Plans factoriels complets à deux niveaux
Matrice vecteur Y
des réponses
Matrice vecteur E des
effets
1
1
1
1
y1
I
1
1
1
1
y2
E1
1
1
1
1
1
1
1
1
4
y3
E2
y4
E 12
soit
XtY=4E
Une fois généralisée:
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E=XtY/n
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Plan du cours
Introduction aux plans d’expériences
Problématique
Notion d’espace expérimental
Plans factoriels complets à deux niveaux: 2k
Plan à deux facteurs
Plan à trois facteurs
Un exemple de plan à cinq facteurs
Notation matricielle
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Construction des plans fractionnaires
Groupe des générateurs d’aliases
Calcul des contrastes
Technique pour désaliaser
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Pour 7 facteur, 27 = 128 essais!!!
Pour diminuer le nombre des essais en conservant la
possibilité d'étudier tous les facteurs, les plans factoriels
fractionnaires à deux niveaux sont introduits.
07/04/2015
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Plan complet à trois facteurs 23
Plan fract. 23-1
N°
essai
M
F1 F2
F3 Rep.
N°
essai
M
F1 F2
F3 Rep.
1
2
3
4
5
6
7
8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
3
5
8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
38
37
26
24
30
28
19
16
+
+
37
26
30
16
On expliquera ce choix plus tard
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
e1
1
e2
1
…
4
4
y 2 y 3 y 5 y 8 0 , 75
y 2 y 3 y 5 y 8 6 , 25
I
Fact1
Fact 2
Fact 3
Plan
complet
Plan fract.
27,5
-1
-6
-4
27,5
-0,75
-6,25
-4,25
Très proches finalement… mais quel est le prix à payer??
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Reprenons les calculs de E3 et E12
E3
E 12
1
8
1
8
y1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8
E 3 E 12
y1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 7 y 8
1
4
y 2 y3 y5 y8
e3 = E3 + E12
E3 et E12 sont dits aliasés, e3 peut être appelé aliase ou
contraste ou simplement effet.
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Nombre d’expériences divisé par 2.
Prix à payer: Les effets calculés ne sont plus « purs », ils
sont mélangés ou aliasés avec les interactions.
Ici les interactions étaient négligeables donc
e3 E3
Interprétations d’une façon générale plus complexe!!
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Hypothèses d’interprétation
1. Les interactions du troisième ordre ou plus sont
considérées comme négligeables.
2. Si un contraste est nul, cela peut signifier :
que les effets aliasés sont nuls
que les effets aliasés se compensent (cas rare)
3. Si deux effets sont faibles, on supposera que leur
interaction l’est aussi
4. Si deux effets sont forts, on se mefiera de leur interaction
qui peut également être forte.
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
N°
essai
I
F1 F2
F3
I12
I13
I23
I123
5
2
3
8
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
1
6
7
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
-
+
+
+
+
-
+
+
-
-
Notation de Box
2e demi
plan
Identiques pour les facteurs 1 et 2
Si on considère le ½ plan sup. 3 = 12
Si on considère le ½ plan inf. 3 = -12
07/04/2015
1er demi
plan
équivalent à e3=E3+E12
équivalent à e’3=E3-E12
39
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Sur le premier ½ plan:
Sur le deuxième ½ plan:
e1 = E1 + E23
e2 = E2 + E13
e3 = E3 + E12
eM = I + E123
e’1 = E1 - E23
e’2 = E2 - E13
e’3 = E3 - E12
e’M = I - E123
Une colonne de signes multipliée par elle-même donne
une colonne de signes +
I = 12 = 22 = 32
07/04/2015
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Générateur d’aliases
Pour le ½ plan sup.
I = 123
générateur d’aliases
I x 1 = 123 x 1
1 = 1223
1 = 23
2 = 13
3 = 12
On comprend maintenant le choix des essais 5, 2, 3, 8. On a pris les
essais correspondant aux signes + de l’interaction 123.
07/04/2015
41
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Méthode dangereuse?
Non, on peut toujours réaliser la deuxième moitié du plan
s’il y a un doute.
Au mieux, seulement la moitié des expériences est
réalisée.
Outils qui s’adapte parfaitement à l’acquisition progressive
des données
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Contruction des plans fractionnaires
2 facteurs -> 3 facteurs (23-1 fractionnaire)
N°
essai
M
F1 F2 I12
N°
essai
M
F1 F2 F3
1
2
3
4
+
+
+
+
+
+
1
2
3
4
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
3 = 12
On prend une interaction d’ordre élevé. Ici I12
Générateur d’aliases : 123
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Contruction des plans fractionnaires
3 facteurs -> 5 facteurs (25-2 fractionnaire)
I
F1 F2 F3 I23
I123
I
F1 F2 F3 F4 F5
234 1235
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
4 = 23
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
5=123
On prend deux interactions d’ordre élevé. Ici I23 et I23
Deux générateurs d’aliases : I = 234 et I = 1235
07/04/2015
44
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
07/04/2015
45
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Groupe des générateurs d’aliases des plans 2k-p
Ces deux générateurs d’aliases : I = 234 et I = 1235 sont dits
indépendants.
Ils traduisent le fait que 234 = 1235 = I
Si l’on multiplie entre eux les générateurs d’aliases indépendants, on
obtient:
I x I = 1235 x 234
I = 1223245 = 145
I = 234 = 1235 = 145
Tous ne présentent que des signes +
Le générateur I = 145 est dit dépendant
07/04/2015
46
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Calcul des contrastes
I = 234 = 1235 = 145
I x 1 = 234 x 1 = 1235 x 1 = 145 x 1
1 = 1234 = 235 = 45
e1 = E1 + E1234 + E235 + E45
…
07/04/2015
47
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Générateur d’aliases: faisons une parenthèse
Imaginons
4 = 123
5 = 12
6 = 23
7 = 13
Ce qui donne comme GA indépendants
I = 1234 = 125 = 236 = 137
Les générateurs d’aliases dépendants se calculent à partir
des générateurs indépendants en les multipliant 2 à 2, 3 à
3, et 4 à 4
07/04/2015
48
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Multiplication 2 à 2
1234 x 125 = 345
1234 x 236 = 146
1234 x 137 = 247
125 x 236 = 1356
125 x 137 = 1267
Multiplication 3 à 3
1234 x 125 x 236 = 2456
1234 x 125 x 137 = 567
125 x 236 x 137 = 567
1234 x 236 x 137 = 3467
Multiplication 4 à 4
1234 x 125 x 236 x 137 = 1234567
07/04/2015
49
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Le GGA devient:
I = 1234 = 125 = 236 = 137 = 345 = 146 = 247 = 1356 =
2357 = 1267 = 2456 = 1457 = 567 = 3467 = 1234567
Ouf! Heureusement on néglige les interactions d’ordre
supérieur à 2 dans les calculs des contrastes.
07/04/2015
50
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Notion de résolution:
On appellera plan de résolution III, un plan fractionnaire dans
lequel les facteurs principaux seront aliasés aux interactions
d’ordre 2. C’est le cas d’un plan 23-1 défini par I = 123
e1 = E1 + E23
e2 = E2 + E13
e3 = E3 + E12
On appellera plan de résolution IV, un plan fractionnaire dans
lequel les facteurs principaux seront aliasés aux interactions
d’ordre 3. C’est le cas d’un plan 24-1 défini par I = 1234
Exemple…
07/04/2015
51
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Un exemple: le gâteau d’anniversaire
La réponse est la hauteur du cake mesurée en millimètres. Plus, il sera
haut meilleur sera le résultat.
Comme on ne veut pas préparer 32 gâteaux, on décide d'exécuter un plan
factoriel fractionnaire 25-2 en aliasant le facteur 4 sur l'interaction 123 et le
facteur 5 sur l'interaction 13.
07/04/2015
52
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
+
+
-
Générateur d’aliases indépendants: 1234 et 135
Générateur d’aliases dépendant: 1234 x 135 = 245
I = 135 = 245 = 1234
07/04/2015
53
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
I = 135 = 245 = 1234
I x 1 = 135 x 1 = 245 x 1 = 1234 x 1
1 = 35 = 1245 = 234
e0= E0 + E135 + E245 + E1234 E0
e1 = E1 + E35 + E1245 + E234 E1 + E35
e2 = E2 + E45 + E134 + E1235 E2 + E45
e3 = E3 + E15 + E124 + E2345 E3 + E15
e4 = E4 + E25 + E123 + E1345 E4 + E25
e5 = E5 + E13 + E24 + E12345 E5 + E13 + E24
e12 = E12 + E34 + E235+ E145 E12 + E34
e14 = E14 + E23 + E125 + E345 E14 + E23
Les contrastes sont simplifiés en tenant compte des hypothèses
d'interprétation (Hypothèse 1)
07/04/2015
54
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
e0 E0 = 30
e1 E1 + E35 = -11
e2 E2 + E45 = 1
e3 E3 + E15 = -2
e4 E4 + E25 = 1
e5 E5 + E13 + E24 = 12
e12 E12 + E34 = 2
e14 E14 + E23 = 1
Cinq contrastes sont faibles. D'après l'hypothèse 2, on peut
conclure que les effets et les interactions aliasés dans ces contrastes
sont tous faibles.
On néglige les facteurs Durée (2), Farine (3) et Sucre (4).
07/04/2015
55
Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
En revanche les contrastes e1 et e5 ne sont pas négligeables. Il faut donc
se méfier de l'interaction E15 qui pourrait être forte (Hypothèse 4).
Cette interaction est aliasée avec le facteur 3 dans le contraste e3.
Comme ce contraste est faible, l'interaction l'est aussi (Hypothèse 2).
On peut donc conclure qu'il y a 2 facteurs influents sur la hauteur du
gâteau, la Température (1) et le nombre d'oeufs (5). Il n'y a pas
d'interaction entre ces deux facteurs.
Si l'on veut un gâteau de bonne hauteur, il faut travailler
à 160°C (niveau bas) et avec 4 oeufs (niveau haut).
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Technique pour désaliaser
Un exemple: Un plan fractionnaire 25-2
On construit un plan de base 23 que l’on aliase avec les
facteurs supplémentaires
4 = 123 et 5 = 13
Le groupe de générateur d’aliases devient
I = 1234 = 135 = 245
On obtient après simplification…
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Semblent non significatifs
e2 E2 + E45 0 soit E2 0 et E45 0
e4 E4 + E25 0 soit E4 0 et E25 0
e12 E12 + E34 0 soit E12 0 et E34 0
e14 E14 + E23 0 soit E14 0 et E23 0
Semblent significatifs
e1 E1 + E35 = -2,18
e3 E3 + E15 = -3,33
e5 E5 + E13 + E24 = -4,55
Il est difficile de conclure car l’interaction 35 peut être
différente de zéro étant donné que les effets 3 et 5 sont
influents. De même pour les interactions 15 et 13…
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
Il faudrait pouvoir calculer les contrastes:
e’1 E1 - E35
e’3 E3 - E15
e’5 E5 - E13
Générateur d’aliases
I= -135
parce qu’on obtiendrait:
E1 = (e1 + e’1)/2
E35 = (e1 - e’1)/2
Nous devons donc bâtir un plan complémentaire
4 = 123 et 5 = -13
Avec comme GGA : I = 1234 = -135 = -245
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Plans factoriels fractionnaires à deux niveaux: 2k-p
E1
E2
E3
E4
E5
E15
E25
E35
E45
E12+E34
E13+E24
E14+E23
-1,34 1
-0,78 1
-0,07 1
-0,87 1
-3,84 1
-3,26 1
0,97 1
-0,84 1
0,22 1
0,09 1
-0,71 1
-0,68 1
I +E1234
25,45 1
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Conclusion
Seuls deux facteurs sont influents et
une forte interaction existe entre ces
deux facteurs
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