Transcript 4.4 Le mouvement circulaire uniforme

4.4 Le mouvement circulaire uniforme
Le mouvement circulaire uniforme (m.c.u.) constitue le plus simple
des mouvements en deux dimensions.
Avez-vous des exemples ?
Le mouvement des satellites, de la Lune , de Terre, une voiture qui
garde sa vitesse constante dans une courbe, rotation d’un objet au
bout d’une corde dans un plan horizontal, etc.
Nous analyserons ce type de mouvement afin d’en déterminer les
caractéristiques importantes et de trouver les équations qui
permettent d’obtenir les variables du mouvement.
Nous pourrons ainsi faire des prédictions reliées à ce genre de
mouvement.
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4.4 Le mouvement circulaire uniforme
Considérons le mouvement de la Lune autour de la Terre.
Quelles sont les variables qui
interviennent dans l’analyse de
ce mouvement?
T
L
Position, déplacement, vitesse,
accélération, temps, distance parcourue.
Comment expliquait-on ce genre de
mouvement avant Newton?
2
4.4 Le mouvement circulaire uniforme
Comment expliquait-on ce genre de
mouvement avant Newton?
T
L
Avant Newton, on avait pas besoin
d’explication, parce que le mouvement
circulaire était un mouvement naturel et
parfait qui n’avait pas besoin d’explication.
Comme tous les objets célestes, c’était
dans leur nature de tourner en rond à
vitesse constante, c’était un mouvement
parfait sans explication.
Depuis Newton, on sait que la Lune est soumise à une force puisqu’elle ne
se déplace pas en ligne droite à vitesse constante.
3
4.4 Le mouvement circulaire uniforme
La Lune subit une force centripète dirigée vers
le centre de la trajectoire. Autrement elle se
déplacerait en ligne droite.
v
C’est la force gravitationnelle qui joue le
rôle de force centripète. Nous y
reviendrons dans le chapitre 6.
r
T
L
On peut donc dire que la Lune subit
une accélération centripète dirigée
vers le centre c’est donc une
accélération radiale ar .
La grandeur de
cette accélération
est donnée par :
ar 
v
2
m/s
2
r
4
4.4 Le mouvement circulaire uniforme
La question qu’il faut maintenant se poser est:
D’où vient cette
équation?
Quelle démarche pouvons-nous prendre pour
déterminer cette accélération?
v
T
v
L
En utilisant la géométrie, nous pouvons
construire un hodographe comme nous
verrons au laboratoire et utiliser la
définition



lim
lim
v
a 
a m oy 
t  0
t  0 t
v
T
r1
L
v1
5
4.4 Le mouvement circulaire uniforme
Construction d’un hodographe
(construction géométrique) et
utilisation de a définition.

a 
lim
t  0

a m oy 

v
lim
t  0 t
V
V2
2
V1
r2
r
T
r1
v
hodographe
r2
L
V
1
T
r1
v1
v1
V2
pôle
Vecteur vitesse
6
4.4 Le mouvement circulaire uniforme
r2
Construction
géométrique
r
q
V2
Vecteurs
position et
déplacement
r1
r2
L
V
V est dirigé vers
le centre donc
radial
q
T
r1
v1
q
V2
pôle
Nous avons des
triangles isocèles et
semblables ( même
angle q )
On peut
écrire
v1

r
r


v
v
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4.4 Le mouvement circulaire uniforme
r2

 r  v t
r
q
V2
r1
r2
L
V

r
q
T
r1
v1
q
V2
v1
r
v
pôle

v


v r

v

 r  v t
Puisque
r2
r
r
Construction
géométrique

v (v t )


v
2
donc
 v
v 
t
r
r1
8

v
4.4 Le mouvement circulaire uniforme
V
r
V2
r2
L
V2
q

v
v1
r1
v1
Par définition,
l’accélération moyenne
est donnée par

v
Celle de l’accélération
instantanée est
pôle
Comparaisons des
triangles
(
t  0

v
t


v
2
t
r

a m oy  (

a  lim
v (v t )
r
q
T


v r

v
t
) 
) =
lim

v
t
v v t
 t  0 r t

v
2
r

v
2
r
9
4.4 Le mouvement circulaire uniforme
V

v
V2
V2
r2
L
q
T
q
pôle
v1
r1

a m oy  (
V2
v1
r2
L
T
r1
(
t  0
t
r
v1
Par conséquent

a  lim

v
2

v
t
)


v
t
lim
)

2
r
v v t
 t  0 r t
Le module de
l’accélération radiale ou
centripète sera donnée
par
v
ar 
v

2
r
v
2
r
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4.4 Le mouvement circulaire uniforme
Le module de
l’accélération radiale ou
centripète sera donné par
V2
r2
L
T
ar
r1
v1
ar 
v
2
r
Les variables du
mouvement circulaire
uniforme ( m.c.u. ) seront
donc
Vecteur position
r
Vecteur vitesse
v
Vecteur accélération ar
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4.4 Le mouvement circulaire uniforme
V
Vecteur position
r
Vecteur vitesse
v
Vecteur accélération ar
r
L
a
Notation vectorielle des résultats
T
ut
Pour le mouvement circulaire, on utilise
deux nouveaux vecteurs unitaires utiles
pour spécifier les orientations
ur
ut
ur
pour l’orientation du vecteur vitesse (tangentielle)
pour l’orientation des vecteurs position et accélération( radiale)
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4.4 Le mouvement circulaire uniforme
ut
pour l’orientation du vecteur vitesse
ur
V
pour l’orientation des vecteurs
position et accélération
r
L
a
Vecteur position
T


r  ru r
ut
Vecteur vitesse


v  vu t
ur
Vecteur accélération
2
v 

a  
ur
r
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v
4.4 Le mouvement circulaire uniforme
L a période T est une autre variable caractéristique d’
m.c.u. Elle correspond au temps que met l’objet pour
faire un tour.
Elle est définie de la
façon suivante :
T 
Circonfére nce
T
L
s
vitesse
T 
2 r
s
v
On détermine parfois l’accélération centripète ou radiale à partir
de la période T de la façon suivante:
 2 r  1 4 r
ar 



2
r
T
 T  r
v
2
2
pratique
2
m/s
2
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4.4 Le mouvement circulaire uniforme
Les variables qui permettent de décrire le mouvement circulaire
uniforme sont donc, la position, la vitesse, l’accélération et le
temps.
Exemple :
a) À quelle vitesse la Lune se déplace-t-elle sur son orbite, compte
tenu que sa période est de 27,3 jours et que le rayon de son orbite
est de 3,84x108 m?
J’illustre la
situation
v
r
T
Problème: Je cherche v= ???
Je connais r et T
L
Solution possible :
J’utilise
v 
2 r
m/s
T
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4.4 Le mouvement circulaire uniforme
Situation
Problème: Je cherche v= ???
v
r
T
Je connais r et T
L
Solution possible :
J’utilise
On obtient
v 
v  1, 023  10
3
m/s
Résultat probable : J’obtiens
v 
2 r
T
2   3 ,84  10
8
27 , 3  24  60  60
v  3 , 68  10
m/s
3
m/s
km/h

3 
v  1, 02  10 u t m/s
pour la vitesse de la Lune sur son orbite.
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4.4 Le mouvement circulaire uniforme
b) Déterminer son accélération radiale
Situation
v
Je connais r et v
r
L
T
Problème:Je cherche ar = ???
Solution possible :
J’utilise
Avec
v  1, 023  10
ar 
3
v
2
m/s
2
r
et
m/s
r  3 ,84  10
8
m
On obtient
(1, 023  10 )
3
ar 
3 ,84  10
8
2
 2,72  10
-3
m/s
2
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4.4 Le mouvement circulaire uniforme
b) Déterminer son accélération radiale
Situation
v
Résultat probable:
r
T
L
J’obtiens

-3 
a r   2,72  10 u r
m/s
2
Pour l’accélération radiale subit
par la Lune sur son orbite.
On remarque que cette valeur est très faible comparée à 9,81 m/s2
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4.4 Le mouvement circulaire uniforme
Résumé :
Hyper-physics
Que devez-vous retenir?
Circular motion
Accélération dirigée vers le centre
2

v 
a  
ur
r
Démontrer
Accélération centripète
Vitesse dont la grandeur est
constante
Force
responsable
Hodographe
4 r
2
a
T
2
Explication:
Satellite, Lune
,voiture dans
une courbe
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