Transcript Распределения Максвелла и Больцмана.

Лекции по физике.
Молекулярная физика и
основы термодинамики
Распределения Максвелла и
Больцмана
Распределение Максвелла

Распределение Максвелла даёт распределение
частиц по скоростям движения:
F(v)  (

m
2π  k  T
3
)  exp( 
2
m v
2
2k T
)  4π  v
2
Вероятность того, что скорость молекулы лежит в
интервале [v; v+dv) даётся выражением:
W[v; v+dv)=F(v)dv
2
Вывод функции распределения
Максвелла

По определению, число частиц dN,
скорости которых лежат в интервале [vх;
vх+dvх), [vy; vy+dvy), [vz; vz+dvz),
пропорциональна полному числу молекул
N, функции распределения f(x) и величине
интервала:
dN=Nf(x)dvxdvydvz
3
Вывод функции распределения
Максвелла
1. Функция распределения может зависеть только
от модуля (или квадрата) скорости но не от её
направления
2. Компоненты скоростей, направленных вдоль
осей координат взаимно независимы,
следовательно, функция распределения равна
произведению одинаковых функций
распределения компонент скорости:
f(v2)=(vx2)(vy2)(vz2)

Этих соображений достаточно для вывода
закона распределения Максвелла
4
Вывод функции распределения
Максвелла


Указанным требованиям может удовлетворять
только экспоненциальная функция:
(vx2)=A1exp(- vx2)
(vy2)=A1exp(- vy2)
(vz2)=A1exp(- vz2)
f(v2)=Aexp(- v2)
Значения коэффициентов А1, А и  можно
определить из условий нормировки и
соотношения <Ex>=1/2kT
5
Вывод функции распределения
Максвелла

  (v


x
)  dv x  A 1  exp(- α  v )  dv x  1
2
x
-
Известно, что:

exp(ξ
)

dξ


2
π
-
6
Вывод функции распределения
Максвелла
Сделав замену:
α vx  ξ
и вычислив интеграл получим:
A1
α
π 1
A1 
α
π
7
Вывод функции распределения
Максвелла

Посчитаем среднеквадратичную скорость:

v


(
v
)

dv

x
x

 v 
2
x
2
x


 A 1  v  exp(- α  v )  dv x
2
x
2
x
-
8
Вывод функции распределения
Максвелла

Сделав замену и взяв интеграл по частям,
получим:
 v 
2
x
1
2α
с другой стороны:
 v 
2
x
k T
m
9
Вывод функции распределения
Максвелла

Окончательно находим:
m
α
A1 
2kT
 (v x ) 
f (v)  (
m
m
2 π kT
 exp( 
m v
2
x
2π kT
2kT
m
m v
2π kT
)
3
2
 exp( 
)
2
)
2kT
10
Функция распределения Максвелла
f(v)
((v))
v
(vx)
11
Вывод функции распределения
Максвелла

Перейдём от функции распределения f(v) к
F(v), описывающей плотность вероятности
попадания скорости частицы в диапазон
[v; v+dv). Связь между f(v) и F(v) даётся
выражением:
dN=Nf(x)dvxdvydvz=NF(v)dv
12
Вывод функции распределения
Максвелла

Число частиц в
шаровом слое
толщиной dv:
dN=Nf(x)4v2dv=
=NF(v)dv
отсюда получаем:
F(v)= f(x)4v2
в итоге мы приходим к
функции
распределения
Максвелла
y
dv
v
x
z
13
Определение средних значений
скорости частиц

Различают несколько средних скоростей
частиц



Средняя скорость <v>
Наиболее вероятная скорость vвер
соответствует максимуму функции
распределения. Для её нахождения надо взять
первую производную от F(v) и приравнять
нулю. Из получившегося уравнения можно
выразить искомый параметр
Среднеквадратичная скорость <v2>1/2. Её мы
используем в основном уравнении МКТ
14
Определение средних значений
скорости частиц

Средняя скорость

 v 
 v  F(v)dv

0
(
m
2π kT


)
3
2
 4 π   exp( 
0
mv
2
) v dv 
3
2 kT
8kT
π m
15
Определение средних значений
скорости частиц

Наиболее вероятная скорость:
exp(-
mv
2
2kT

)  (2 
mv
2
)v  0
kT
получаем:
vвер=(2kT/m)1/2
vвер/<v>/<v2>1/2=1/1,13/1,22
При увеличении температуры или уменьшении
массы частиц максимум F(x) смещается вправо
и расплывается
16
Функция распределения Максвелла
F(v)
T1 (m1)
T1<T2
m1>m2
T2 (m2)
v
vвер
2 1/2
<v> <v >
17
Экспериментальное определение
скоростей молекул

Опыт
Штерна
1920 г.
18
Барометрическая формула


Рассмотрим как меняется
давление газа с высотой в
однородном поле силы
тяжести
Разность давлений Р равна
весу газа в столбе высотой h
с единичной площадью
основания
dP=-gdh
()
h
P+dP
dh
P
19
Барометрическая формула

Выразим  из уравнения К.-М. и подставим в ():
 
m

V
dP  -
P
RT
 Pg
dh
RT
dP
P

g
dh
RT
20
Барометрическая формула

Проинтегрируем последнее равенство:
lnP  -
 gh
 C  P  A  exp(-
RT

 gh
)
RT
Используя граничное условие: Р=Р0 при h=0,
получим:
P  P0  exp(-
 gh
)
RT
21
Барометрическая формула

Аналогичное выражение можно получить для
концентрации молекул n:
 gh
()
n  n  exp()
0
n
RT
T1>T2
n0
T1(1)
1<2
T2(2)
h
22
Распределение Больцмана

Барометрическую формулу () можно
преобразовать к виду:
n  n 0  exp(-
n  n 0  exp(-
mgh
)
kT
EП
)
kT
где m – масса молекулы газа, а ЕП – её
потенциальная энергия
23
Распределение Больцмана


Последнее выражение называется
распределением Больцмана. Оно
справедливо для любого потенциального
поля.
Распределение Больцмана имеет такую
же структуру, как и распределение
Максвелла, т.е. показывает, что функция
распределения частиц по энергии экспоненциальная
24
Распределение Максвелла-Больцмана

Распределения Максвелла и Больцмана можно
объединить в общее распределение МаксвеллаБольцмана:
dN
 
v, r
 A  exp(-
EП  EК
kT
) dv x dv y dv z dxdydz
где А – нормировочная константа
25
26