Meccanica 5 - Dipartimento di Fisica
Download
Report
Transcript Meccanica 5 - Dipartimento di Fisica
Meccanica 5
31 marzo 2011
Lavoro. Principio di sovrapposizione
Potenza. Energia cinetica
Energia potenziale
Lavoro della forza d’attrito
Forze conservative
Energia meccanica e sua conservazione
Momento angolare
Momento di forza
Momento dell’impulso
Lavoro
• Supponiamo di avere un punto materiale P di
massa m, soggetto ad una forza F
• Supponiamo di spostarlo da un punto dello
spazio A ad un punto B
• Il lavoro svolto dalla forza F nello
spostamento di P da A a B è una grandezza
meccanica scalare definita come
B
ds
A
W AB
P
B
F
F d s
A
2
Lavoro
• Le dimensioni fisiche del lavoro sono
W F L ML 2T 2
• E l’unità di misura è il newton metro
u W N m J
• che prende il nome di joule (J)
3
Principio di sovrapposizione
• Se la forza è la risultante di n forze
F
F
k
k 1,... n
• Si può applicare il principio di sovrapposizione
per calcolare il lavoro
B
W AB
F d s
A
B
k 1 ,... n A
Fk
k
1 ,... n
A
B
Fk d s
W
d s
Fk d s
k
1
,...
n
A
B
k
k 1 ,... n
• Cioè il lavoro complessivo è uguale alla somma
dei lavori delle singole forze
4
Potenza
• La potenza media è una grandezza
meccanica scalare definita come il rapporto
tra il lavoro compiuto e l’intervallo di tempo
W
impiegato
P
t
• Grandezza importante per caratterizzare le
prestazioni di una macchina
• Accanto alla potenza media è definita la
potenza istantanea
dW
P
dt
5
Potenza
• Le dimensioni fisiche della potenza
sono
P W / T ML T
• E l’unità di misura è il joule al secondo
2
3
u P J / s W
• che prende il nome di watt (W)
6
Potenza
• Dall’espressione infinitesima del lavoro,
possiamo scrivere
la potenza come
P
dW
dt
F ds
dt
d s
F
F v
dt
7
Energia cinetica
• Consideriamo il lavoro infinitesimo e riscriviamolo
usando la 2a legge
d p
ds
dW F d s
ds dp
m v dv
dt
dt
• Per trovare il valore del prodotto scalare
differenziamo i due membri dell’identita` seguente
2
2
d v d v
2
2
d v d v v 2 v d v
d v 2 vdv
• Da cui
1
2
v d v d v
2
8
Energia cinetica
1
2
dW m v d v d mv
2
• Abbiamo infine
• Per una variazione finita dobbiamo integrare
tra il punto iniziale e il punto finale
B
B
1
1
1
2
2
2
W dW d mv mv B mv A
2
2
2
A
A
K
• La quantità
energia cinetica
1
2
mv
2
prende il nome di
9
Teorema dell’energia cinetica
• Il teorema appena dimostrato è detto
teorema dell’energia cinetica: il lavoro
fatto dalla forza sul punto materiale è
uguale alla variazione di energia
cinetica del corpo stesso
10
Energia cinetica
• Vediamo cosa succede geometricamente
• Scomponiamo i due vettori secondo la
direzione tangente e normale localmente alla
traiettoria
• Otteniamo v d v v t dv t
• siccome vt=v, possiamo
dvt
concludere v d v vdv
t
v
dv
dvn
11
Energia cinetica
• Consideriamo due casi limite
• Moto uniformemente accelerato
dv=dvt
v d v vdv t vdv
d v
2
v
2 vdv
• Moto circolare uniforme
v d v vdv t 0
d v
2
v
dv=dvn
0
12
Energia cinetica e lavoro
• Il lavoro è conseguenza dell’interazione
del sistema con l’ambiente
• Si parla pertanto di lavoro scambiato tra
sistema e ambiente e non di lavoro
posseduto dal sistema
• Si parla invece di energia posseduta dal
sistema
13
Energia cinetica
• Troviamo le dimensioni dell’energia
cinetica
K M V ML T
2
2
2
sono ovviamente uguali a quelle del
lavoro
• L’unità di misura dell’energia è, di
nuovo, il joule
14
Energia cinetica e quantità di
moto
• Ricordiamo le espressioni di queste due
1
grandezze
p mv
K
2
mv
2
• Il modulo della QM e l’energia cinetica
sonolegati dalle relazioni
K
p
2
2m
p
2 mK
15
Energia cinetica in relativita`
• Il lavoro elementare si esprime ora
dp
ds
dW F d s
ds dp
dp v
dt
dt
• E il differenziale della QM e`
d p d m v v md v m d v
• Il lavoro finito e`
B
B
B
m v v d
m v d v
A
A
A
A
W dW md v m d v v
B
B
B
mv d
m vdv
A
A
2
16
Energia cinetica in relativita`
• Esprimiamo v in funzione di
1
v c 1 2
2
2
dv
• Otteniamo
c
2
v
3
d
B
B
1
c
2
2
W mc 1 2 d m 2 d mc d mc
A
A
A
B
2
2
B
• Il lavoro si puo` di nuovo interpretare come
variazione di energia cinetica
W KB KA
17
A
Energia cinetica in relativita`
• E quindi l’energia cinetica si puo` scrivere come
K mc const .
2
• Per determinare la costante poniamo v=0, in tal caso
=1 e K=0, ne segue const . mc 2
• L’energia cinetica e` dunque K mc 2 1
• In relativita` si introduce anche l’energia
2
2
E K mc mc
2
• Il termine mc e` la cosiddetta energia a riposo, cioe`
quella posseduta dal corpo fermo e stabilisce
l’equivalenza tra massa ed energia
18
Lavoro della forza peso
• Dato un punto di massa m nel campo di gravita`, il
lavoro del peso nello spostamento da un punto A ad
B
un punto B e`
A
W P ds
z
A
• Siccome P=mg e` costante e g ha solo
componente z, pari a –g, abbiamo
B
W P d s P rAB m g rB rA mg z B z A
B
P
A
• Il lavoro non dipende dalla traiettoria seguita dal punto
per andare da A a B, ma solo dagli estremi A e B
19
Energia potenziale
• Introducendo la nuova grandezza U mgz
(omogenea ad un’energia)
• il lavoro diventa
W mg z B z A mgz B mgz A U B U A
• U prende il nome di energia potenziale della
forza peso
• Il lavoro e` dunque uguale all’opposto della
variazione di energia potenziale tra stato
finale e stato iniziale
20
Lavoro della forza elastica
• Dato un punto di massa m soggetto ad una
forza elastica, il lavoro nello spostamento da
un punto A ad un punto B e`
B
W
A
Fe d s
B
B
1
2
2
k
r
d
s
k
rdr
k
r
r
B
A
2
A
A
A
P ds
dr
Fe
B
r
21
Energia potenziale
• Introducendo la nuova grandezza U
(omogenea ad un’energia)
• il lavoro diventa
1
2
mr
2
2 2
1 2 1 2
W k rB rA k rB k rA U B U A
2
2
2
1
• U prende il nome di energia potenziale della
forza elastica
• Il lavoro e`, di nuovo, uguale all’opposto della
variazione di energia potenziale tra stato
finale e stato iniziale
22
Lavoro della forza d’attrito
• Dato un punto di massa m soggetto ad una forza
d’attrito dinamica, il lavoro nello spostamento da un
ds
punto A ad un
punto
B
e`
P
B
B
A
W
Fd d s
N
s
d ds
Fd
A
A
• La direzione della forza e` opposta a quella dello
spostamento. Il lavoro e` (supposta N costante)
B
B
A
A
W d N s d s d N ds d N L
• Il lavoro della forza d’attrito e` sempre negativo: se si
cambia il verso dello spostamento, anche la forza
cambia verso
23
B
Lavoro della forza d’attrito
• Poiche’ il lavoro della forza d’attrito dipende
da L , la lunghezza del percorso fatto dal
punto, ora il lavoro dipende dalla traiettoria e
non solo dai punti estremi A e B
• A differenza del caso della forza peso ed
elastica, non e` ora possibile esprimere il
lavoro come differenza tra i valori che una
funzione della posizione assume negli
estremi
24
Forze conservative
• Se il lavoro dipende solo dalle coordinate dei punti
iniziale e finale, allora qualunque sia il percorso su
cui si calcola il lavoro, purche’ i punti estremi siano gli
stessi, il risultato sara` il medesimo
A B
A B
C1
C2
F ds
F ds
• Inoltre se si cambia il verso di percorrenza, l’integrale
cambia segno (cio` e` dovuto al fatto che il prodotto
scalare cambia segno)
A B
C
B A
F ds F ds
C
25
Forze conservative
• Se calcoliamo il lavoro lungo un
percorso chiuso C C C
1
F ds
C
F ds
C1 C 2
2
A B
B A
A B
A B
C1
C2
C1
C2
F ds
F ds
F ds
F ds 0
otteniamo zero: questo e` un modo
alternativo di esprimere lo stesso fatto
• Forze siffatte si dicono conservative
26
Forze dissipative
• Le forze di attrito non soddisfano questi
requisiti, abbiamo infatti visto che il
lavoro che producono e` sempre
negativo
• Queste forze si dicono dissipative
27
Esercizi
• Un corpo di massa m=15 kg si muove
su un piano orizzontale, soggetto ad
una forza motrice F=10 N ed a una
forza d’attrito dinamico A con
coefficiente di attrito =0.06
• Trovare il lavoro fatto da ciascuna forza
in un intervallo di tempo t
28
Esercizi
• N. 4.1 pag. 105 MNV
• N. 4.3 pag. 105 MNV
• N. 4.14 pag. 106 MNV
29
Energia potenziale
• Per le forze conservative esiste dunque una
funzione U delle coordinate degli stati iniziale
e finale, cui diamo il nome di energia
B
potenziale
U U B U A F d s W
A
• In termini infinitesimi
dU F d s dW
30
Energia meccanica
• Ricordiamo il teorema dell’energia cinetica,
che vale per una forza qualunque
W KB KA
• Per forze conservative vale inoltre
W U B U
A
• Confrontando le due equazioni troviamo
KA U
A
KB UB
31
Conservazione dell’energia
meccanica
• Introducendo la nuova grandezza
E K U
• che chiamiamo energia meccanica,
l’equazione diventa E A E B
• Cio` significa che l’energia meccanica (cioe`
la somma dell’energia cinetica e dell’energia
potenziale) di un punto materiale soggetto a
forze conservative si conserva
32
Lavoro nel caso generale
• Se sono attive sia forze conservative che non
conservative, il lavoro e` W W c W nc
• Applicando il teorema dell’energia cinetica (sempre
valido)
W KB KA
• Ed esprimendo il lavoro conservativo in termini di
energia potenziale W c U B U A
• Otteniamo per il lavoro non conservativo
W nc E B E A
• Cioe`: se vi sono forze non conservative l’energia
meccanica non si conserva e la sua variazione e`
uguale al lavoro di tali forze
33
Vettori momento
• Per alcune grandezze vettoriali, associabili
al PM, possiamo definire grandezze
vettoriali derivate che sono i momenti delle
precedenti
• Per questo occorre scegliere un punto
arbitrario dello spazio, detto polo, rispetto a
cui e` definito il vettore posizione r del PM
• Il momento di una grandezza
w e`
definito
come il prodotto vettoriale m r w
• Il polo non necessariamente dev’essere
fermo
w
PM
O
r
34
Momento angolare
• E` il momento del vettore quantita`
di
moto del punto materiale: L O r p
p
• E` una grandezza vettoriale
PM
perpendicolare sia a r che a p
r
O
2
1
• Dimensioni fisiche: L L p L T M
• Unita` di misura: u L kg m 2 / s N m s
35
Cambiamento di polo
• Cambiando polo il momento angolare
diviene
'
L Q r p r rQ p r p rQ p L O rQ p
• Il valore del momento dipende dunque
dal polo scelto
p
r
O
r’
Q
rQ
36
Momento di forza
• E` il momento delvettore
forza agente sul
punto materiale: O r F
• E` una grandezza vettoriale perpendicolare sia
a r che a F
• Dimensioni fisiche: L F L2T 2 M
• Unita` di misura: u kg m 2 / s 2 N m
• Se si cambia polo il momento diviene
Q
'
r F r rQ F r F rQ F O rQ F
37
Momento risultante
• Vale il principio di sovrapposizione: se la forza
complessiva R e` la risultante di piu` forze
applicate tutte allo stesso punto materiale:
i
i
r Fi r Fi r R
i
i
• il momento risultante (cioe` la somma dei
momenti di tutte le forze) e` uguale al momento
della risultante (cioe` al momento della somma
di tutte le forze)
38
Teorema del momento angolare
• Calcoliamo la derivata temporale del
momento angolare di un punto
materiale d L Q d d r
dt
dt
r p
pr
dt
• Se il polo Q e` fisso rispetto al sistema
di riferimento, allora la derivata
temporale di r e` uguale alla velocita`
del punto e se il sistema e` inerziale la
derivata di p e` uguale alla forza
agente sul punto d L
Q
dt
dp
p
dt
r
Q
r’
O
rO
v mv r F
39
Teorema del momento angolare
• Il primo prodotto vettoriale e` nullo, il secondo
e` il momento di forza (calcolato rispetto allo
stesso polo), quindi otteniamo il teorema del
momento angolare (MA)
d LQ
dt
Q
Conservazione del MA
• Se il momento di forza e` nullo (rispetto al
polo scelto) allora il momento angolare si
conserva (rispetto allo stesso polo) e
viceversa
Q 0
d LQ
0
L Q const .
dt
41
Momento dell’impulso
• Riscriviamo il teorema del momento
angolare
dt d L
in forma differenziale
e integriamo da un’istante iniziale ad uno
finale
dt d L L L
t
t
f
0
i
0
• Cio` significa che per produrre una variazione
di momento angolare e` necessaria l’azione,
su un intervallo di tempo, di un momento di
forza
42
Momento dell’impulso
• Nel caso degli urti, la variazione di momento angolare
t
L f L i dt
0
t
r F dt
0
si puo` esprimere in termini dell’impulso prodotto dalla
forza, purche’ l’intervallo di tempo sia abbastanza
piccolo affinche’ il vettore r non cambi
t
t
apprezzabilmente
L f Li
r F dt
0
r F dt r J
0
• Questo e` il teorema del momento dell’impulso
43