Transcript "Physique du Solide" aujourd`hui - Institut NÉEL

Physique du Solide
PHELMA Tronc Commun PMP PET
2013
Cours : 12 heures
TD : 12 heures
Prérequis : Mécanique Quantique, Physique statistique, Cristallographie
… et tout le reste de la Physique
Physique du Solide
Contacts :
Ulrich GOTTLIEB
LMGP
MINATEC PHELMA
04.56.52.93.09
Clemens Winkelmann
Institut Néel
CNRS Bât E
04.76.88.12.31
Irina IONICA
IMEP
MINATEC INPG. BCAI-2
04.56.52.95.23
Fanny Poinsotte
Phelma
MINATEC PHELMA
04.56.52.91.61
Jean-Emmanuel BROQUIN
IMEP
MINATEC INPG BCAI-2
04.56.52.95.29
Nathalie MATHIEU
IMEP
MINATEC INPG BCAI-2
04.56.52.95.13
Hubert RENEVIER
LMGP
MINATEC PHELMA
04.56.52.93.43
Stéphane PIGNARD
LMGP
MINATEC
04.56.52.93.09
Eirini SARIGIANNIDOU
LMGP
MINATEC PHELMA
04.56.52.93.35
Adresse Mail : Nom.Pré[email protected]
Physique du Solide
Objectifs :
Objectifs du cours
Premier volet de la physique des matériaux
Comment se comportent les matériaux "parfaits« , en
particulier comment la matière interagit avec une onde
(électronique, optique,…)
Comprendre certains aspects du comportement des solides
(propriétés électriques, optiques, diélectriques, thermiques,…)
à l'échelle macroscopique à partir de modèles microscopiques
Appréhender les propriétés physiques des matériaux
qui sont à la base de dispositifs, composants et systèmes
que tout le monde manipule aujourd'hui
Physique du Solide
Plan du Cours
I:
Introduction
La Physique du Solide aujourd'hui
Un peu d'histoire
Approches et Approximations
II :
Le modèle de Sommerfeld
La théorie des électrons libres
La statistique de Fermi – Dirac
Quelques propriétés du gaz d'électrons libres
III :
Électrons dans un potentiel périodique : bandes d'énergie
Théorème de Bloch
Zones de Brillouin
Électrons presque libres
Métal – Semiconducteur – Isolant
Surfaces de Fermi
Physique du Solide
Plan du Cours
IV :
Dynamique des électrons de Bloch
Introduction
Modèle semi-classique
Application d'un champ électrique:
masse effective et notion de trou
Application d'un champ magnétique
V:
Semiconducteurs à l'équilibre
Matériaux semiconducteurs
Semiconducteurs intrinsèques
Semiconducteurs extrinsèques
Physique du Solide
Bibliographie :
De base :
C. Kittel : Introduction to Solid State Physics (Wiley 1976)
R. E. Hummel : Electronic Properties of Materials (Springer 1992)
H. P. Myers : Introductory Solid State Physics (Taylor & Francis 1990)
Y. Quéré : Physique des Matériaux (Ellipses 1988)
D’un niveau plus élevé :
N. W. Ashcroft, N. D. Mermin : Solid State Physics
(Saunders College 1976)
J. M. Ziman : Principles of the Theory of Solids
(Cambridge University Press 1972)
Physique du Solide
Avertissement :
Les copies des transparents
ne sont pas
un polycopié complet !
L'assistance aux Cours et TDs est indispensable
Physique du Solide
Physique du Solide
I.
:
Introduction
La "Physique du Solide" aujourd'hui
Un peu d'histoire
Approches et Approximations
Physique du Solide
I. Introduction : La "Physique du Solide" aujourd'hui
But de la Physique du Solide : Expliquer avec un modèle
microscopique la grande variété de propriétés physiques
observées pour différents matériaux massifs
Exemple : résistivité à l'ambiante de certains matériaux
Cu
10-8
Fe
Si dopé
Mn
10-6
métaux
10-4
10-2
Ge
100
GaAs
Si
102
104
semiconducteurs
106
Verre
108
1010
Caoutchouc
1012
1014
NaCl
Quarz
1016
1018
r (Wm)
isolants
Physique du Solide
I. Introduction : La "Physique du Solide" aujourd'hui
Où est-ce qu'on utilise la "Physique du Solide" aujourd'hui ?
Illustration par trois exemples :
Physique du Solide
I. Introduction : La "Physique du Solide" aujourd'hui
1.
Les Supraconducteurs
1911 :
H. Kamerlingh Onnes
R
Résistivité électrique est
nulle en dessous de Tc
Tc
T
1933 :
W. Meissner et
R. Ochsenfeld
Diamagnétisme parfait
en dessous de Tc, Hc
T>Tc
T<Tc
Physique du Solide
Température critique en cours du temps
Physique du Solide
I. Introduction : La "Physique du Solide" aujourd'hui
2.
La Microélectronique est partout
Pèse
personne
Cafetière
électrique
1 puce
10 000 T
Télévision
10 puces
10 000 000 T
Voiture
30 puces
10 000 000 T
Auto-radio
1 puce
10 000 T
Réveil
matin
5 puces
100 000 T
Maison
Voiture
3 puces
200 000 T
Travail
PC et
imprimante
50 puces
300 000 000 T
Organiseur
5 puces
30 000 000 T
Ascenseur
5 puces
5 000 000 T
Feu rouge
50 puces
100 000 000 T
Portable
Carte
bancaire
10 puces
10 000 000 T
1 puce
2 000 000 T
Physique du Solide
I. Introduction : La "Physique du Solide" aujourd'hui
Un circuit intégré
Source : STMicroelectronics, Crolles, France
Physique du Solide
I. Introduction : La "Physique du Solide" aujourd'hui
Un transistor à effet de champ
(MOSFET)
Grille (Poly-Si)
Source
Drain
Si
Source : STMicroelectronics, Crolles, France
Physique du Solide
I. Introduction : La "Physique du Solide" aujourd'hui
Un transistor à effet de champ
(MOSFET)
Grille (Poly-Si)
Métal
Oxyde
Source
Drain
Semiconducteur
Si
Source : STMicroelectronics, Crolles, France
Physique du Solide
I. Introduction : La "Physique du Solide" aujourd'hui
"La Matière est discrète"
Un MOSFET de 4,2 nm pour 2023
Dopage
Potentiel électrique
Concentration électronique
Source : STMicroelectronics, Crolles, France
Physique du Solide
I. Introduction : La "Physique du Solide" aujourd'hui
3.
Les « stades quantiques »
Paysage électronique («stadium corral») obtenu par microscopie à effet tunnel (STM)
puis traitement par ordinateur et montrant des atomes de fer disposés régulièrement
en forme de stade sur du cuivre.
Cette enceinte atomique confine les états quantiques des électrons en surface.
© IBM, STM Image Gallery
Physique du Solide
I. Introduction : Un peu d'Histoire
Quelques découvertes importantes
(Ce résumé est obligatoirement incomplet !)
1897 Découverte de l'électron par Thomson
1900 Théorie de la cinétique des gaz par Maxwell
et Boltzmann
James Clerk
Maxwell
Joseph John
Thomson
Ludwig
Boltzmann
1900 Max Planck : Théorie des quanta
1900 Théorie de Drude :
Première théorie des métaux
Max
Planck
Paul
Drude
Physique du Solide
I. Introduction : Un peu d'Histoire
1924 De Broglie :
Nature ondulatoire de l’électron
1926 Statistique de Fermi - Dirac
Louis de
Broglie
1926 Équation de Schrödinger Mécanique Quantique
Enrico
Fermi
Paul Adrien
Maurice Dirac
Erwin
Schrödinger
1926 Modèle de Sommerfeld : Théorie quantique
d'un gaz d'électrons libres
Arnold Johannes
Sommerfeld
Physique du Solide
I. Introduction : Un peu d'Histoire
1928 Théorème de Bloch - Théorie des bandes
Felix
Bloch
1948 Invention du transistor par Shockley, Bardeen
et Brattain
William Bradford
Shockley
John
Bardeen
Walter Houser
Brattain
Physique du Solide
I. Introduction : Un peu d'Histoire
1958
Premiers circuits intégrés par Kilby et Noyce
Jack S. Kilby
1963
Robert N. Noyce
Proposition du principe de LASER à base de semiconducteurs par
Alferov et Kroemer (réalisation à T ambiante en 1970)
Pour plus d'infos :
Zhores I. Alferov
Herbert Kroemer
www.nobelprize.org
www-gap.dcs.st-and.ac.uk/~history/
Physique du Solide
I. Introduction : Approches et Approximations
Considérons un échantillon massif constitué uniquement par
des atomes d'un seul élément de nombre atomique ZA
-e
( Négligeons l'effet du spin)
-
il contient Ne électrons de masse me et de charge -e
et Nn noyaux de masse mn et de charge +ZAe
-
La condition de neutralité électrique impose :
N e = ZA x N n
-
Les coordonnées de l'électron i sont données par : rei
-
+Ze


Les coordonnées du noyau j sont données par : rnj
Électrons et noyaux peuvent être considérés comme ponctuels
Physique du Solide
I. Introduction : Approches et Approximations

rei
Électrons et noyaux sont chargés :
Interaction coulombienne

rnj
L'énergie potentielle d'interaction entre
deux particules (1 électron et 1 noyau) :
V ij 


 Z Ae




Z
V
r

r


A C
ei
nj
rei  rnj
2
1
4 0
O






V
r

r
r

r
Attention : C ei
=
potentiel
d'interaction,
fonction
de
nj
nj
ei
L'énergie potentielle totale s'écrit :
Vtotal  
1
2

'
j, j

2

Z A Vc  rnj

 1
' 
nj 
2

r
Interaction
noyau - noyau

'
i,i



Vc rei  r
ei
'
 
Interaction
électron -électron
i, j



Z A Vc rei  rnj

Interaction
électron-noyau
Physique du Solide
I. Introduction : Approches et Approximations
L'opérateur d'énergie cinétique est donné par :

i

2
2me
 ei pour les électrons

j

2
2 mn
 nj
pour les noyaux
ei : Le Laplacien ne s'applique qu'aux coordonnées de l'électron i
ˆ  
H
j


i


i, j

2
2 mn

 nj 
2
2me
 ei 

1
2
 r  r 
Z
V
 A c  nj nj ' 


2 j, j'
1
2


Z A Vc rei  rnj

'
i,i



Vc rei  r
ei
'


Solution de l'équation de Schrödinger
rigoureusement impossible !
Physique du Solide
I. Introduction : Approches et Approximations
Première approximation : On réduit le nombre de particules
Comment décrire un atome dans un solide :
Soit un atome de nombre atomique ZA
Noyau : charge +ZA e
Ion
ZC Électrons de cœur :
Charge totale –ZC e
Électrons de valence :
Charge totale –Z e
La neutralité électrique fait que : ZA = ZC + Z
Plus de 99% de la masse d'un atome se trouve dans les ions !
Un ion est considéré comme une entité. Pour tenir compte de la
présence des électrons de cœur, on modifie le potentiel généré
par un ion, i.e. il n'est plus forcement purement coulombien !
Potentiel d'interaction entre deux particules :
V   ZVion


 ion
rei  rj

Physique du Solide
I. Introduction : Approches et Approximations
Au lieu d'avoir Nn + Ne = Nn (1+ZA) particules on a maintenant :
Nion ions de charge +Ze
Z x Nion électrons de charge -e
Ceci correspond à une réduction du nombre de particules
d'un facteur 10 à 100
L'Hamiltonien devient :
ˆ  
H
j


i


2
2 m ion

ion
j
2
2me
 ei 
1
2
2
 Z Vion
'
j, j

2 i,i'

 ion
rei  rj
 ZVion 
i, j

1

 r ion  r ion 
 j

'
j




Vc rei  r
ei
'


Toujours impossible à traiter par "force brute"
Physique du Solide
I. Introduction : Approches et Approximations
Prochaine approximation : la différence de masse !
mIon = 10-26 kg
mÉlectron=9,1 10-31 kg
Approximation adiabatique (Born-Oppenheimer)
On suppose les ions comme immobiles
ˆ  
H
j


i


2
2 m ion

ion
j
2
2me
 ei 
1
2
2
 Z Vion
'
j, j

2 i,i'

 ion
rei  rj
 ZVion 
i, j

1

 r ion  r ion 
 j

'
j




Vc rei  r
ei
'


Le problème de la dynamique des ions est traité séparément
Physique du Solide
I. Introduction : Approches et Approximations
Pour le système des électrons il reste donc :
ˆ  
H

i
 
2
2me
 ei 
1
2

'



Vc rei  r
ei
i,i
'
   ZV 
i, j
ion

 ion
rei  rj

Le dernier terme est le seul terme d'interaction électron - ion
Dans des solides cristallisés :
les ions sont arrangés de manière périodique sur un réseau
On remplace donc

 ZVion 
i, j
avec Vpériodique

 ion
rei  rj


r   Vpériodique
par Vpériodique


r R



R : n'importe quel vecteur du réseau cristallographique
Physique du Solide
I. Introduction : Approches et Approximations
Il nous reste donc :
Hˆ  

i

2
2me
 ei 
1
2


 V c rei  rei '   V périodique
i ,i
'
Souvent on néglige le terme d'interaction électron - électron
Donc :
Hˆ  

i

2
2me
 ei  V périodique
L'équation de Schrödinger commence à devenir abordable
Remarque : Approximation à 1 électron
ˆ 
H

2
2me
 ei  Vpériodique
Physique du Solide
Physique du Solide
II.
Le Modèle de Sommerfeld
La Théorie des électrons libres
Les bases du modèle
L'état fondamental, T = 0K
La statistique de Fermi - Dirac
Traitement statistique des électrons
Discussion de la statistique de Fermi-Dirac
Quelques propriétés du gaz d'électrons libres
Les propriétés de transport
Le paramagnétisme de Pauli
La chaleur spécifique
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Comment décrire un atome dans un solide ?
Solide : Ensemble d'atomes de nombre NAt
Noyau : charge +ZA e
Ion
ZC Électrons de cœur :
Charge totale –ZC e
Z Électrons de valence :
Charge totale –Z e
Pour la suite on ne s'occupera que des électrons de valence !
Avec les approximations du précédent chapitre,
ˆ   
L' Hamiltonien s'écrit : H
i

2
2me
 ei  Vpériodique
La plus simple fonction périodique est Vpériodique = const.
Choix du zéro de l'énergie :
Vpériodique = const. = 0
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Les bases du modèle :
L’hypothèse de Sommerfeld consiste à négliger les interactions
électrons – ions, d’où le choix de Vpériodique = cst = 0.
Le système :
N = Z * NAt électrons dans un volume V
Sans perdre de validité on
suppose le volume cubique
z
V = L3
y
x
L
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
ˆ  E
H
L’équation de Schrödinger :
avec
ˆ  
H

2


       
r2
rN 
2 m  r1
ˆ ne contient pas de dérivées mixtes
H
Solution :


   2  
 


 r1 , r2 ,  rN   1 r1
 


r2   N rN
E  E1  E2    EN
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
On obtient les i par :
 
2
2m
 i  Ei  i
Équation de Schrödinger à une particule
Solution générale :
i

 A exp i k r



2
 k
2
Ei 
2m


2
k x2  k y2  kz2 
2m
Remarque :
Ici i est une solution envisageable car le volume est fini !

V
i
2
dV  1
A 
1
3
L
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Condition aux limites :
Les électrons sont enfermés dans une boîte
Cela suggère de poser :
 i 0 , y , z    i  x , 0 , z    i x , y , 0   0
 i L , y , z    i  x , L , z    i  x , y , L   0
Conditions aux limites fixes (voir TD 1)
Ceci est absolument valable
Cependant on cherche des solutions dynamiques
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Meilleure solution pour étudier la dynamique :
Conditions aux limites périodiques (Born – von Karman)
 i x  L , y , z    i x , y , z 
 i x , y  L , z    i x , y , z 
 i x , y , z  L    i x , y , z 
L
échantillon
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Conséquences :
 i  x  L , y , z   Ae

i k x x  k x L  k y y  kz z
  i x , y , z  e
kx 
e
ik x L
ky 
1
kz 
Ei 
2
2
L
2
L
2
 2 


2m  L 

L
2

ik x L
mx
mx, my, mz entier
my
mz
m
2
x
2
2
 m y  mz

Les valeurs possibles des k et des énergies sont quantifiées !
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Visualisation des états quantiques dans l’espace des k
kz
Les états quantiques
ky
possibles forment un réseau
cubique primitif de paramètre
2
kx
2/L dans l’espace des k
L
Pour simplification : représentation d'un seul quadrant
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Problème : Espace des k = Espace discret
Conséquence :
Calculs compliqués
Solution :
On considère que chaque vecteur k possible
occupe un volume de (2/L)3 dans l’espace des k
ky
Dessin en 2D
2/L
kx
Mais : Il ne faut pas oublier que les valeurs de k sont discrètes
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
A2.
L'état fondamental, T = 0K
Rappel : T = 0 K , E est minimal
Remarque : les dessins sont en 2D pour la clarté !
Les états possibles sont donnés
ky
par les valeurs de k possibles
L’énergie d’un état Ei correspond
ki
kx
à sa distance par rapport à l’origine
car :
2 2
Ei 
 ki
2m
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
On a N électrons à placer sur les états d’énergies les plus basses
2
 2 
Rappel : E i 


2m  L 

2
m
2
x
2
2
 m y  mz

2 électrons par place à cause du spin et du principe de Pauli !
ky
6 états : 12 électrons
12 états : 24 électrons
6 états : 12 électrons
kx
etc.
Jusqu’à avoir placé tous les N électrons
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Finalement :
k
y
kF
Les états remplis se
trouvent à l’intérieur
kx
d’une sphère
de rayon kF
kF :
Rayon de Fermi
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Détermination de kF :
Nombre
des états occupés

N
Spin
kF


N
2

  3
3

L 


Volume de la sphère
Volume par état
4
3
 kF
 3
3
2
2 


 L 
1
3

2
 3 n
1
3
n : densité d’électrons
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Appellations :
Rayon de Fermi :
Énergie de Fermi :
Vitesse de Fermi :

2
kF  3  n
1
3
2 2
EF 
vF 
Température de Fermi : TF 
 kF
2m


2
2m
2
3  n  3
2
 kF
m
EF
kB
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Exemple :
Sodium
Na : cc, a = 4,23 Å, monovalent
n 
2
a
3
 2, 65  10
9
kF  9,22  10 m
28
m
3
1
EF  3,24 eV
v F  1,1  10
6
m
s
TF  23500 K
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Commentaires :
i.
n est de l’ordre de 1029 m-3 ce qui correspond
à une densité 1000 fois plus élevée que celle des
gaz classiques
ii.
vF est de l'ordre de 10% de c mais la vitesse
thermique classique est nulle à T = 0 K
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
L'Énergie de l’état fondamental :
E 2
2 2
 k

k  kF
kF
2
mais N 
3
L
3
2

0
2m
2 2
 k
2 2
 k

2
k  kF
3
 L  3

 d k
2m  2  
2 3
3
 L
 L 
2
5
kF

 4  k dk 
2
2m  2  
10  m
3
kF
E
N
2 2

3  kF
5 2m

3
5
EF
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Densité des états électroniques (DOS)
On connaît la densité d'états dans l'espace des k :
3
G (k ) d k 
1
 2 


L


3
3
d k
G(k) correspond au nombre d'états dans un élément de
volume d3k dans l'espace des k
Cependant il faut connaître kx, ky et kz pour localiser d3k
Ce n'est pas pratique, il vaut mieux connaître G(E),
la densité d'états en fonction de E !
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
G(E) dE est le nombre
d'états entre la sphère
k
y
correspondant à
E = const.
et la sphère
correspondant à
kx
E = Const.
E + dE = const.
E+dE = const.
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Détermination de G(E) :
 L 
G ( E ) dE  2 G ( k ) d k  2 

 2 
3
Spin
k 
3
 2m 


G E  
2  2 
2



L
2m

2
E
3
2
4  k dk
1 2
dk 
1
2m
2
2

E
1 2
dE
3 2
E
1 2
On préfère exprimer la densité d'états électroniques par unité de volume :
g E  
G E 
3
L
 2m 



2 
2 
2   
1
Une autre manière d'écrire l'expression :
3 2
E
1 2
g E  
3
n
2 E3
F
2
E
1 2
g(E) est le nombre de places disponibles entre E et E + dE
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Matériau massif
(Silicium massif / Aluminium massif)
3
g( E ) 
1
2
2
 2m  2
 2 
  
E
Puits quantique
(couche enterrée de Ge dans Si)
g( E ) 
m
 
2
100 nm
Fil quantique
(nanotube de carbone sur or)
1  2m 
n( E ) 
 2 
   
1
2
1
E
Physique du Solide
0
direction de
confinement
3
g( E ) 
1
2
2
 2m  2
 2 
  
E
D ensité d'états
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
1
direction de
confinement
g( E ) 
D ensité d'états
E n e rg ie
m
 
2
2
directions de
confinement
1  2m 
n( E ) 
 2 
   
1
2
1
E
D ensité d'états
E n e rg ie
Physique du Solide
E n e rg ie
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Engle et al, PRB 50 (15), (1994), 10880-10885
Exemple de densité d’états
dans des solides « réels »
Physique du Solide
Analogie : densité
d’électrons dans la
ionosphère
Altitude ~ Énergie potentielle des électrons
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Densité d’électrons
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Électrons libres
Mesure directe de la DOS de nanofils de Pt par STM
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Désormais, on monte la température (T0K)
Traitement statistique des électrons
Gaz d'électrons : Système de N particules
avec N > 1023 particules/cm3 !!!
Traitement individuel impossible
Traitement statistique
L’électron est un Fermion, i.e. Spin ½ entier
Principe de Pauli :
Un état d’énergie Ei caractérisé par un ensemble complet de
nombre quantiques, ne peut être occupé que par
un seul électron !!!
Les nombres quantiques ici : kx, ky, kz et le spin
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Les électrons vont occuper les états déterminés ci-dessus
Il y a :
q niveaux d’énergies E1, E2, …, Eq
chacun avec gi places :
g1 places dans le niveau E1
g2 places dans le niveau E2
…
gq places dans le niveau Eq
ni particules par niveau :
n1 dans le niveau E1
n2 dans le niveau E2
…
nq dans le niveau Eq
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Les contraintes pour les électrons sont :
C1 :
C2 :
C3 :
q
 ni
 N
i1
q
 n iE i
 E
Nombre de particules constant
Énergie totale constante
i1
ni  gi
Un seul électron par place
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Combien de possibilités y a-t-il de placer les ni électrons
du niveau Ei sur les gi places ?
Pour le 1er électron, il y a gi possibilités
Pour le 2ème électron, il y a gi-1 possibilités
Pour le 3ème électron, il y a gi-2 possibilités
donc g i g i  1 g i  2  g i  n i  1  
Mais : les électrons sont non distinguables
g
gi!
i

 ni !
ni! permutations possibles
Nombre de possibilités : W n i  

gi!

ni! gi  ni !
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Combien de possibilités y a-t-il de placer
les n1, n2, …,nq électrons sur les g1, g2, …,gq places
des niveaux E1, E2,…Eq?


W n 1, n 2, , n q 

n
1


 

!n 2 ! n q ! g 1  n 1 ! g 2  n 2 ! g q  n q !
q
gi!
i1
ni! gi  ni !

g 1 ! g 2 ! g q !


Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Pour éliminer le produit P on calcule le logarithme


gi!


ln W   ln
n ! g  n !
i1
i
i 
 i
q

n i , g i  1
ln W 

Approximation de Stirling ln x !  x ln x  x
q
 g i ln g i
i1

 
 n i ln n i  g i  n i ln g i  n i

L’Entropie du système est : S  k B ln W
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
En équilibre thermodynamique : S est maximale !
Il faut maximiser ln W par rapport aux ni
Mais il y a les contraintes C1 et C2
Solution : Multiplicateurs de Lagrange
d ln W
dn j
q
d 
  g i ln g i  n i ln n i  g i  n i ln g i  n i


dn j  i  1

 gj  nj
 ln 
 n
j


 






dC 2
   dC 1  
    Ej

dn j
dn j

Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
,  sont les multiplicateurs de Lagrange à déterminer
Fonction de distribution :
 
f Ej 
nj
1

gj
1e
   E 
j
Détermination des multiplicateurs de Lagrange :
L’énergie libre du système s’écrit :
F  E  TS 
 n iE i
Le potentiel chimique :
 

n E
N
 

i
i
 Tk
F
B
ln W
N
 Tk
B
ln W

Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
 
 nj
nj N
 n E
i
i

 ln W
  Ej  k BT

nj

 Tk
B
ln W

 nj

 Ej  k BT    Ej

N




1
   E  
j
Ej  
k BT
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
 
f Ej 
1
 E j  

1  exp 
 k T 
 B 
Fonction de Fermi-Dirac
1
T=0K
T = 500 K
T = 5000 K
0

E
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Multiplicateurs de Lagrange
Problème : On cherche le maximum d’une fonction f(x1,x2,x3)
Mais il y a une contrainte g(x1,x2,x3) = 0
Hypothèse : f est maximal pour x10, x20, x30
df 
df
dx
dx
1

1
df
dx
dx
2

2
df
dx
dx
3
 0
3
autour de x10, x20, x30
Pour la contrainte :
dg 
dg
dx
dx
1
1

dg
dx
2
dx
2

dg
dx
dx
3
 0
3
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac


dg
df



dx
 dx

dx 1
1


1

dg
 df


 dx
dx 2
2



dx


2

dg
 df


 dx
dx 3
3



dx


3
 0
 : paramètre à déterminer plus tard
Multiplicateur de Lagrange
Il n’y a que 2 différentielles (dx1, dx2) indépendantes !
Mais on peut choisir  de manière que :
df
dx
3

dg
dx
 0
3
Remarque : La détermination de  peut être complexe !
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Discussion de la statistique de Fermi - Dirac
Les électrons sont des Fermions :
f E  
1
Distribution de Fermi-Dirac
f(E) correspond au taux d'occupation
des g(E) places dans l'intervalle dE


E




1  exp
k T 
 B 
Comportement
en fonction de T :
1
T=0K
T = 500 K
T = 5000 K
0

E
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
g(E) ~ E1/2
g(E)f(E)
Représentation des
états occupés : T = 0 K
Le nombre total des électrons :
EF
n 
g(E) ~ E1/2
g(E)f(E)
0
E
EF = 

g E  dE
T>0K
Le nombre total des électrons :
T>0

n 

E
 g E  f E  dE
0
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Pour calculer ces intégrales :
Développement de Sommerfeld



H E  f E  dE 


0
H E  dE 

2
6
k B T 2 H   
H(E) : fonction à variation lente autour de E = 
f(E) : Distribution de Fermi - Dirac
Pour plus d'infos :
N. W. Ashcroft, N. D. Mermin : Solid State Physics
(Saunders College 1976), Appendix C
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Le potentiel chimique
T=0K:
Tous les états avec E < EF sont pleins : taux d'occupation = 1
Tous les états avec E > EF sont vides : taux d'occupation = 0
Comparaison avec Fermi - Dirac
g(E) ~ E1/2
g(E)f(E)
f(E)
1

EF = 
E
E
T = 0 K :  = EF
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Question : Comment  varie-t-il avec la température ?
Propriétés mathématiques de f(E) :
f(E)
f E  
1
E

i.
ii.
1


 E  
1  exp
k T 
 B 
f() = 1/2


0
0
 f E , T1 dE   f E , T2 dE  const .
Conséquence : aire bleu = aire verte à n'importe quelle T
iii.
f(E) est symétrique par rapport à (;1/2)
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Première Hypothèse :  = const.
Contraire à ii.
f(E)
2
1

Le potentiel chimique
varie en fonction de T
2
Deuxième Hypothèse :  augmente avec T
Contraire à ii.
f(E)
1
 ne peut pas augmenter
avec T

E
 diminue avec T
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Statistique Fermi-Dirac
Finalement on trouve :
(calcul avec
développement de
Sommerfeld voir TD 2)

2 k T


B
  EF  1 
2

12
EF

Application numérique : Cu :

2 


n = 8,5 1028 m-3, EF = 6,3 eV
T = 300 K
2
12
k B T 2
2
EF
 10
5
Conséquence : Pour un métal  ≈ EF !
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
C3.
Les propriétés de transport
a) Conductivité électrique - approche classique (modèle de Drude)
N électrons dans un volume V
Sans champ électrique, la vitesse moyenne :

1
v 
N
N


vi  0
i1
Avec champ électrique :
m

d vi
dt


 F  e
pour chacun des électrons
La vitesse moyenne :

1
v 
N
N


vi  0
i1
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Cependant, la vitesse moyenne ne peut pas croître à l'infini,
car les électrons subissent des collisions.
Pour tenir compte de cela :
m

d v
dt
En régime stationnaire :
 vd   e 


  v  e
terme de "frottement"

d v
dt
 0
  
e
vd
vd : vitesse de drift (vitesse de déplacement)
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés

d v

e 
m

v  e
dt
vd
Solution :

v

 e  

v  t   v d  1  exp  
t
 mv



d 

vd
t
Remarque : (considérons les unités !)
 mv d 

 e  
kg
C
m
s 
V
m
kg
As
t
m
s
1 kgm
2
 s
m s 3A
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Temps caractéristique du système :
t 
La vitesse de drift :
mv d
: temps de relaxation
e
vd  
et
m
Le courant transporté par les électrons est :
(en régime stationnaire)
2
j   n e vd 
ne t
m
  
La conductivité électrique :
 
1
r
2

ne t
m
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
b)
Conductivité électrique – approche quantique
Remarque :
Dessins en 2D !
ky
Sans champ électrique
Pour chaque vecteur k
dans la sphère de Fermi
on peut trouver
kx
kF
un vecteur -k
p   k  mv
v 

m
k
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Avec champ électrique
La sphère de Fermi se

ky
translate de dk dans
l'espace des k.
kx
Seulement les états en
noir participent à la
conduction, les vitesses
des autres s'annulent !
dk
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Supposition : dE << EF
Leur nombre est :
d n  g EF  d E
dE
g(E) ~ E1/2
g(E)
Leur vitesse est :
v = vF
EF
E
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
La densité de courant transportée par les électrons peut
s'écrire : j   d n e vF   e vF g EF  d E   e vF g EF 
Énergie de Fermi : E 
F
2 2
 kF
dE
2m
dk

EF

2
m
dE
dk
dk
E  EF
kF   v F
2
j   v F e g EF  d k
Détermination de dk :
F  e 
dp
dt
 
dk
dk  
dt
dk  
e

dt  
e

e

dt
t
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
La densité de courant devient :
2

2
j  e v F g EF  t 
ky
Remarque :
Seulement la projection de
vF sur l'axe x intervient,
car les autres composantes
s'annulent !
Il faut remplacer vF2 par :

kx
 2
 v F cos  
2
 2

 2
 v F cos
 2  2
 2
dk
 cos  
2
d d



1
3
2
vF
d


1
2
2
vF
en 2D
en 3D
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Finalement , on obtient :
j
1
3
2
2
e v F g EF  t    
La conductivité électrique :  
1
r

1
3
2
2
e v F g EF  t
Remarque : Application du modèle de Sommerfeld
g EF  
2 2
3 n
EF 
2 EF
 
1
3
e
2
2
vF
t
 kF
2m
3 2n
2m
2
vF

1
2
2
m vF
2

ne t
m
Même résultat que pour l'approche classique !
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
c)
Magnétorésistance et Effet Hall
Géométrie et fait expérimental
VH
B
d
I
Un échantillon parallélépipède d'épaisseur d est parcouru
d'un courant I et soumis à un champ magnétique B
perpendiculaire au courant
Il apparaît une tension VH perpendiculaire à la fois au
champ magnétique et au courant :
VH  R H
IB
d
RH : Constante de Hall
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Mise en équation :
B
Chaque électron subit la force :


 
F  eE  e v  B

Ey

d
+ + + + + + + + +
- - - - - v- - - -
Ex
L'équation de mouvement est donc :
m

dv
dt
m

v
t
  
 e E  v  B

jx
l

Avec un système de coordonnées adapté, i. e. :
 vx
 
v   vy
v
 z





 Ex
 
E   Ey
E
 z





0
  
B  0
B 
 
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
On pose :
2
0 
ne t
m
et
c 
eB
m
(fréquence cyclotron)
On obtient en régime stationnaire (cad quand
vx  
vy  
vz  
et
m
et
m
et
m
Ex 
et
m
Bv y  
et
m
Ex   c tv y
dv x
dt

dt

dv z
dt
 0
)
Ey   c tv x
Ez

v z  const .
Le calcul du courant se fait par l'intermédiaire de :
 jx

 jy
j
 z
dv y


0
 
2 2
1


ct


 1

 ct
 0

 ct
1
0
0
  Ex

0
  Ey
2 2
1   c t   E z


j   ne v





Tenseur de conductivité
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Rappel de la géométrie :
B
jy doit être nulle en régime
stationnaire, car il n'y a pas de
connections qui permettent
l'écoulement d'un courant
On a donc : jx 
jy 
et
1
1
0
E x
0
 c t E x
2 2
c t
2 2
c t
Ey
d
+ + + + + + + + +
- - - - - v- - - -
l
Ex
  c tEy
jx


E y    c tEx
 Ey  0
jx   0 E x
En conséquence : E y    c t
jx
0
 
eB
m
t jx
m
2
ne t
 
1
ne
jx B
Constante de Hall RH
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Rappel
Ey  
1
ne
jx B  R H jx B
On pratique on ne mesure pas Ey et jx
mais plutôt VH et I
B
Ey
d
+ + + + + + + + +
- - - - - v- - - -
Comme Ey = VH/l et jx = I/dl
On obtient : VH  RH
IB
d
l
Ex
avec RH  
jx
1
ne
Accord avec les observations expérimentales ?
Na :
Zn :
RH = -2,5 1010 m3/C mesuré
RH = -2,55 1010 m3/C calculé
RH = +3,3 1010 m3/C mesuré
RH = -5,1 1010 m3/C calculé
OK
?
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Remarques :
i.
RH permet de mesurer la densité de porteurs
ii.
RH possède le signe des porteurs dominants
iii.
c 
eB z
m
est la fréquence cyclotron
ct correspond au nombre de tours qu'un électron
peut faire sous influence du champ magnétique avant
de subir une collision
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
La Chaleur spécifique
Observations expérimentales
CV
Haute température :
CV = const.
T
Basse température :
CV/T
CV = T + T3
T2
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Chaleur spécifique - aspects classiques
La chaleur spécifique est donnée par :
CV 
1  Uint
V
T
V  const .
Pour un gaz classique de N particules dans un volume V
l'énergie interne Uint s'écrit :
Uint 
CV 
3N
2V
3
2
N kB T
kB  const .
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Comparaison avec les résultats expérimentaux :
CV
Basse T : Ca ne marche pas
T
Haute T : CV = const., mais les valeurs numériques sont fausses !
Conclusion :
Le modèle gaz d'électrons = gaz classique est faux !
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Chaleur spécifique - aspects quantiques
Calcul de l'énergie interne pour un gaz de fermions :

Uint 

E g E  f E  dE
0
Application du développement de Sommerfeld :

Uint 
EF



E g E  dE 
0
E g E  dE 
0



2
6
k B T 2 g      g    
E g E  dE 

EF
U0  const .
Après calcul :
Uint  U 0 
2
k B T 2 g      g    
6

2
6
kB T 2 g EF 
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
La chaleur spécifique devient :
CV 
2
 Uint
T

V  const .
2
 kB
3
g EF  T   T
Comparaison avec les résultats expérimentaux :
Basse température :
CV/T
CV = T + T3

T2
ou
CV
T
   T
2
Les électrons sont responsables de la partie linéaire !
On verra plus tard, l'autre contribution vient des vibrations
des ions ou des "phonons"
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
2
Rappel :
CV 
2
 kB
3
g EF  T   T
Cette formule est obtenue indépendamment du modèle de
Sommerfeld (on ne l'a pas utilisé jusqu'à maintenant !)
Possibilité : Mesure de g(EF) !!!
Modèle de Sommerfeld : g EF  
CV 

2
2
2
kB
n
EF
T
3 n
2 EF
 theorique


2
2
2
kB
n
EF
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Le paramagnétisme de Pauli
Chaque électron possède un spin
A chaque spin est associé un
E
moment magnétique :
EF
B 
g(E, )
g(E, )
e
2m
 9 ,27  10
 24
J
T
Magnéton de Bohr
Sans champ magnétique les
deux directions du spin
sont équivalentes
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Application d'un champ :
Les électrons avec
un spin parallèle à B
diminuent leur énergie
de BB
Les électrons avec
un spin anti-parallèle à B
augmentent leur énergie
de BB
B
E
EF
EF
EF
g(E, )
BB
g(E, )
Conséquence :
Les électrons avec spin
EF
changent en spin
= EF
jusqu'à ce que
= EF
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Propriétés
Résultat :
Plus de spin
que
Le nombre d'électrons
qui changent de spin est :
N 
1
2
B
E
EF
g EF   B B
L'aimantation :
M  2 ΔN μ B  g EF  μ B B
2
g(E, )
BH
g(E, )
La susceptibilité de Pauli est :
P 
M
B
 g EF  μ B
2
Paramagnétisme
Physique du Solide
II. Le Modèle de Sommerfeld : Résumé
Modèle de Sommerfeld
 Modèle d'un gaz d'électrons
libres et indépendants
A T=0K les états occupés forment la sphère de Fermi dans l'espace des k
Rayon de Fermi : kF  3  n 
2
Densité des états : g E  
1 3
1
Énergie de Fermi :
 2m 
2 
2 
2   
Statistique de Fermi Dirac :
3 2
f E  
E
1 2
3 n  E


2 EF  EF
1
E  

1  exp 

k
T


B
2
2

 kB T  
 E
Potentiel chimique :   EF  1 
F
2

12
E
F


Quelques propriétés : Résistivité électrique :  
1
r
Coefficient de Hall : RH  
Chaleur spécifique : CVel 
Paramagnétisme de Pauli





2
1 2
EF 

2
2m
3  2n 2 3
Nombre d'états disponible
à une énergie E
Taux d'occupation des
états d'énergie E

1
1
3
e
2
2
vF
g EF  t 
2
ne t
m
ne
kB g EF T   T
2
3
:  Pauli  g EF  2B
Physique du Solide