Transcript Integral Indefinida

Ensino Superior
Cálculo 2
1.1 Integral Indefinida
Método da Substituição
Amintas Paiva Afonso
Integral Indefinida
Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) –
conhecida como primitiva – tal que F’(x) = f(x) ou:
 f(x)
dx  F(x)
As principais técnicas de primitivação, conforme visto no curso
FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL são:
– INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO DE VARIÁVEL
– INTEGRAÇÃO POR PARTES
– INTEGRAÇÃO POR DECOMPOSIÇÃO EM FRAÇÕES PARCIAIS
– INTEGRAÇÃO UTILIZANDO SUBSTITUIÇÕES (POR MEIO DE
IDENTIDADES) TRIGONOMÉTRICAS
Integral Indefinida
Integral Indefinida
Integral Indefinida
EXEMPLO 01
Calcular
 (x
2
 1)
50
2x dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
du
Seja u = x2 + 1
 2x
dx
Logo: 2x dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 (u)
50
 (u)
50
du
du 
u
51
51
(x  1)
2
C
51
51
C
Integral Indefinida
EXEMPLO 02
Calcular
 sen(x
 9) dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x + 9
du
1
dx
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 sen(u)
du
 sen(u)
du   cos(u)  C   cos(x  9)  C
Integral Indefinida
EXEMPLO 03
Calcular
 sen (x) cos(x) dx
2
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
du
Seja u = sen(x)
 cos(x)
dx
Logo: cos(x) dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 u du
2
u
2
du 
u
3
3
3
C
sen (x)
3
C
Integral Indefinida
EXEMPLO 04
Calcular
e

x
dx
x
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u =
x
1
1
d  2  1 2
1 1
1

x

x


 
Então
dx
dx   2
2 1
2 x
 
2
x
du
Logo:
1
dx = du
2 x
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.
Integral Indefinida

e
x
dx 
x

x
e
1
2
dx 
2 x

2e
1
x
dx
2 x
Assim, a integral dada pode ser escrita como:

1
x
2e
dx 
2 x

outra maneira de chegar aqui
sem manipular a função
dada é fazendo (página 08):
u
2e du
1
2 x
 2e du  2  e du  2 e  C  2 e
u
Ou seja:
u

e
u
x
dx  2 e
x
x
C
x
C
dx  du

1
x
dx  2 du
Integral Indefinida
EXEMPLO 05
Calcular
x
2
x  1 dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x – 1
Logo: dx = du
Se u = x – 1
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
Integral Indefinida

(u  2u  1) u du
2
ou:
1
 (u
2
 2u  1) u
2
du 



1
1
1

 u 2 u 2  2u u 2  1u 2


3
1
 5

 u 2  2u 2  u 2  du





 du


Portanto:
5

 u 2  2u


5

3
2
1
3
1
1
1

u2
u2
u2
2 
u
du 
2

C

5
3
1

1
1
1
2
2
2
1
Integral Indefinida
Finalmente:

 5
 u 2  2u


3
2
7
5
3

2
4
2
 u 2  du  u 2  u 2  u 2  C

7
5
3

1
Escrevendo em termos de x:

x
2
x  1 dx 
2
7
7
(x  1) 2 
4
5
5
(x  1) 2 
2
3
3
(x  1) 2  C
Integral Indefinida

Técnicas de Integração


Método da Substituição: A chave do método da substituição é dividir
a função em partes e depois encontrar uma parte da função cuja
derivada também faça parte dela.
Exemplo


sen x
 cos
dx
x
Podemos dividir a equação acima em duas partes:

sen x.dx e

cos x.
Repare que a derivada do cos x é -sen x, portanto,
a derivada do cosseno faz parte da função.
Integral Indefinida

Passos:




Procure na função pela parte cuja derivada esteja na
função. Se você estiver em dúvida, tente usar a que está
no denominador ou alguma expressão que esteja sendo
elevada a uma potência;
Chame-a de “u” e tome sua derivada com relação ao
diferencial (dx, dy, dt, etc.). Acrescentando esse
diferencial;
Use as expressões “u” e “du” para substituir as partes da
integral original;
A sua nova integral será mais fácil de ser calculada, mas
não esqueça de, ao final, desfazer a substituição.
Integral Indefinida
Exemplo 06:
Use o método de substituição para encontrar a integral:
Solução

sen x
 cos
dx
x
Devemos escolher parte da função cuja derivada esteja na função,
como a derivada de sen x = cos x e a derivada do cos x = -sen x,
e, ambas estão na função, na dúvida... selecionamos a parte que
está no denominador, isto é, cos x.

Chamamos u = cos x;

Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = -sen x.dx;

Como na função original a função seno é positiva, basta multiplicar
ambos os lados por –1 para que ela fique positiva;
 du  sen x .dx
Integral Indefinida

Solução
 Basta re-escrever a integral original com as expressões
“u” e “du”;



Integral original:
Nova integral:


sen x .dx
cos x
 du
u
Que também pode ser re-escrito como: 

du
u
Integral Indefinida

Solução


Basta calcular: 

du
  ln | u |  C ;
u
O passo final é desfazer a substituição de u pelo
o valor da original:


du
u
  ln | cos x |  C
Integral Indefinida
Exemplo 07

Use o método de substituição para encontrar a integral:
Solução
 cos( 3 x ). dx

Chamamos u = 3x;

Agora derivamos u com relação a “x”, portanto: du = 3.dx;

Basta re-escrever a integral original com as expressões
“u” e “du”;

Note que 3.dx não está na equação original, apenas dx.
Para ficar apenas com dx, fazemos:
du
3
 dx
Integral Indefinida

Solução
Basta re-escrever a integral original com as expressões “u” e
“du”;

Integral original:


Nova integral:
 cos( 3 x ). dx
 cos u .
du
3
Que também pode ser re-escrita:
1
cos u.du

3
Integral Indefinida
Solução


Calculando
1
1
cos u.du , temos:  cos u .du

3
3

1
. sen u  C
3
Substituindo u pelo seu valor original, teremos:
1
cos u .du

3

1
3
. sen 3 x  C
Integral Indefinida
EXEMPLO 08
INTEGRAÇÃO DE POTÊNCIAS QUADRÁTICAS DAS
FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS SEN(X) E COS(X)
Sejam as identidades trigonométricas:
sen x 
2
1  cos2x
cos x 
2
1  cos2x
2
2
Assim,
 sen x dx 
2

1  cos2x
dx 
2
1
2
 dx 
0 1
 1  sen2x 
1 x
 
 
2  0  1  2  2 
 sen
2
x 
x
2

sen 2x
4
C
1
2
 cos2x
dx
 cos2x
dx
u  2x
du
2
du

dx

 dx
2
cos2x dx 
1
2

1
2
 cos u du
sen u  C
Integral Indefinida
Da mesma forma, e utilizando a outra identidade trigonométrica:
 cos x 
2
x

2
sen 2x
C
4
A integral
 sen
2
2
x cos x dx
pode ser resolvida fazendo:
 sen x cos x dx 
2
2
 1  cos2x   1  cos2x 
  2   2  dx
1
1

 2 1  cos2x  2 1  cos2x  dx

1
 1  cos
4
2

2x dx
Integral Indefinida

1
4

1
4
 1  cos
 1 dx 
2
1
4

2x dx
 cos 2x dx
2
 cos
2
2x dx
u  2x
du

 dx
2
 cos

x

4

x
8

2
2x dx
1  x sen4x 


4 2
8 
sen4x
32
C

1
 cos
2
2
u du 
1  u sen 2u  u sen 2u
x sen 4x

 
 


2 2
4  4
8
2
8
Integral Indefinida
EXEMPLO 09
Determinar

(x  2) sen(x
2
 4x  6) dx
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x2 + 4x – 6
Então:
du
 2x  4
dx
du  (2x  4) dx  2 (x  2) dx
Integral Indefinida
Mas:

Logo, seja:
(x  2) sen(x
du
2
 4x  6) dx
 (x  2) dx
2
Assim,

(x  2) sen(x
2
 4x  6) dx 

sen(u)
du
2

1
sen(u)

2
Sabe-se que:
 sen(u)
du   cos(u)  C
TABELA
du
Integral Indefinida
Então:

(x  2) sen(x
2
 4x  6) dx 
1
(  cos(u)  C)
2
Portanto:

(x  2) sen(x
2
 4x  6) dx  
1
2
cos(x
2
 4x  6)  C
Integral Indefinida
EXEMPLO 10
Determinar

x
dx
x  x 1
2
Solução
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Seja u = x2 + x + 1
Então:
du
du  (2x  1) dx
 2x  1
dx
Na integral original, fazer:

x
x  x 1
2
dx 
1
2

2x
x  x 1
2
dx 
1
2

2x  1  1
x  x 1
2
dx
Integral Indefinida
Mas:
1
2

2x  1  1
dx 
x  x 1
1
2
2

2x  1
x  x 1
2
dx 
1
2

1
x  x 1
1
1
1
2
2
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
2x  1
1
2
dx
2
dx 
x  x 1
2
1
du 
u
1
2

1
2

u
1
2
1
2
ver detalhes na página anterior
du
u
  1 1 
 1
1  u 2  1 u 2
du  
  1
1
2
2
  1
 2

 2
2x  1
x  x 1
2
1
dx 
x  x 1  C
2

1

2
u 


u
Integral Indefinida
2
TABELA

1
a u
2
du  ln u 
a u
2
2
C
2
A segunda integral a ser resolvida está (ou pode ser colocada)
na forma acima:
1
2

1
x  x 1
2
dx 
1
2

1
dx 
 3
1



x






2

 2 
2
2
2
onde:
u x
1
2
du  dx
a 
1
3
2

1
u a
2
du
2
Integral Indefinida
Portanto:
1
1
2
dx 
x  x 1
2
1
2
ln x 
1

2
1

x  
4 
2
2
1
3
3
C
Então, finalmente:

x
x  x 1
2
dx 
x  x 1 
2
1
2
ln x 
2

1

x  
4 
2
2
C
Integral Indefinida

Bibliografia utilizada:





Flemming, D. M. & Gonçalves, M. B. Cálculo A. Person Education.
São Paulo, 1992.
Abdounur, O. J. & Hariki, S. Matemática Aplicada. Saraiva. São
Paulo, 2006.
Stewart, J. Cálculo. Volume I. Thomson. São Paulo, 2006.
Priestley, W. M. Calculus: An Historical Approach. SpringerVerlag. New York, 1979.
Eves, H. Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics.
Dover, 1990.