Transcript Napory na ściany proste i zakrzywione

Wykład 4
Napory na ściany proste
i zakrzywione
1. Napór na ścianę płaską
Należy wyznaczyć wektor naporu wypadkowego N , to znaczy:
- moduł wektora naporu N
(4)
(5)
- kierunek naporu wypadkowego: jest zawsze prostopadły do ściany
- środek naporu (punkt przyłożenia)
C  xC , y C , z C

Moduł wektora naporu N wyznaczamy ze wzoru (5) po podstawieniu
p   gz i obliczeniu całki po powierzchni A:
ponieważ
zs 
 zdA
A
A

 zdA  z
s
A,
A
stąd
(6)
gdzie:
Jeśli uwzględni się ciśnienie absolutne (np. barometryczne) na powierzchni
cieczy wówczas napór przedstawia się następująco
Najczęściej po drugiej stronie ściany poddanej działaniu naporu cieczy
panuje ciśnienie barometryczne równoważące ciśnienie działające na
swobodną powierzchnię cieczy – stąd człon związany z ciśnieniem
barometrycznym jest pomijany.
Moduł wektora naporu hydrostatycznego na ścianę płaską o dowolnym
konturze i dowolnym nachyleniu jest równy ciężarowi słupa cieczy,
którego podstawą jest zanurzona część ściany a wysokością głębokość
zanurzenia środka ciężkości. Z tego spostrzeżenia wynika paradoks
hydrostatyczny Stevina
N   ghA
(7)
h
A
A
A
A
Środek naporu – punkt przyłożenia wektora naporu
N
Z równości momentu naporu N oraz sumy momentów naporów
elementarnych względem osi x wynika
(8)
po podstawieniu do definicji naporu
(9)
otrzymamy
oraz po przekształceniu wzoru (8)
yC 
  g zd A y
A
N

  g y sin  d A y
A
 g y s sin  A
 g sin   y d A
2

A
 g y s sin  A
Ostatecznie otrzymamy współrzędną y C środka naporu w postaci
(10)
gdzie:
Ix –
Mx –
Ponieważ ściana A może być dowolnie położona względem osi x, dlatego
momenty przyjmują różne wartości w zależności od usytuowania
ściany.
Dlatego stosuje się transformację równoległą momentu bezwładności
do momentu względem osi przechodzącej ZAWSZE przez środek
ciężkości ściany S.
Ix0 –
Z twierdzenia Steinera
(11)
stąd
(12)
Po podstawieniu
(13)
otrzymamy
(14)
Po obustronnym pomnożeniu równania (14) przez sin  otrzymamy
(15)
Z zależności wynika, że środek naporu na ścianę pochyłą lub pionową leży
zawsze poniżej środka ciężkości ściany.
W przypadku ściany poziomej (=0) położenie środka naporu pokrywa się
z położeniem środka ciężkości
Dla ściany pionowej (   90  , sin   1 ) o kształcie prostokątnym o
szerokości b i wysokości h
x
h
S
b
z
I x0 

z dA 
2
A
zC  z s 
I x0
zs A

x0
Wyznaczanie naporu metodą graficzną
Rozkład ciśnienia panującego na ścianie płaskiej można przedstawić
graficznie w postaci wykresu ciśnienia, które zmienia się liniowo od 0 na
powierzchni swobodnej cieczy do p=gz na głębokości z.
x
h1
g
N
h1
h2
g
h2
y
z
Napór hydrostatyczny N na ścianę płaską jest co do wartości równy
ciężarowi objętości V wykresu rozkładu ciśnień zbudowanego na
powierzchni A.
Napór wypadkowy przechodzi przez środek ciężkości bryły wykresu
rozkładu ciśnień, którego rzut na powierzchnię A wyznacza środek
naporu.
Przykład:
a
H
gH
3. Napór na ścianę zakrzywioną
x
y
N
y
Sy
SX
Ay
S
NX
A
AX
z
W przypadku ściany zakrzywionej wyznaczamy składowe poziome
i pionowe naporu.
Składowe poziome wyznaczamy jako napory na ściany płaskie
powstałe w wyniku rzutowania ściany zakrzywionej na płaszczyzny prostopadłe
do osi poziomych.
Składowa pionowa naporu jest równa ciężarowi cieczy zawartej
pomiędzy zakrzywioną powierzchnią, zwierciadłem cieczy i płaszczyznami
pionowymi ograniczającymi powierzchnię zakrzywioną.
Składowe poziome Nx i Ny są równe
Składowa pionowa Nz jest równa
Napór wypadkowy obliczamy poprzez sumowanie składowych wektorów
N
Nz
N
Nx
y
Nx
y
Kierunki działania wektorów naporu Nxy i N obliczamy zgodnie z
N
Nz
b
Nx
N
y

Nx
y
Metoda graficzna wyznaczanie naporu na ściany zakrzywione
Nz
Nx
Nz
Nx
Środek naporu znajduje się w punkcie przecięcia linii działania
wektorów Nx i Nz.
Składowa pionowa liczona jest jako ciężar cieczy znajdujący się ponad
rozpatrywaną powierzchnią jeśli nawet w tej objętości nie ma
rozpatrywanej cieczy! Mówimy wówczas o tzw. objętości pozornej.
Wypór hydrostatyczny. Prawo Archimedesa
x
Nz1
y
N y1
Nx2
Nx1
Ax2
N
y2
Ax1
Nz2
z
dlatego składowa pozioma Nxy=0 , natomiast składowa pionowa
Różnica objętości V=V1-V2 jest objętością ciała i jednocześnie
objętością cieczy wypartej przez to ciało. Iloczyn  g  V jest ciężarem
cieczy wypartej przez ciało.
Wielkość tą nazywamy wyporem hydrostatycznym. Znak „-” oznacza, że
siła ta skierowana jest przeciwnie do osi z.
Jeśli ciężar ciała wynosi G i działa na niego siła wyporu wówczas ciężar
pozorny ciała wynosi
Równowaga ciał zanurzonych
W zależności od wartości siły G w porównaniu z wyporem W można
przedstawić trzy przypadki:
1) Jeżeli ………. to siła wypadkowa wypiera ciało do góry aż do
osiągnięcia stanu równowagi tj. gdy wypór zanurzonej części ciała
zrówna się z jego ciężarem.
2) Jeżeli ……….. to ciało tonie.
3) Jeżeli ………… wówczas W=-gV jest równy ciężarowi G= cgVc , stąd.
wynika z tego, że
- gdy c= to Vc=V a zatem ciało pływa całkowicie zanurzone;
- gdy c< to Vc>V to ciało pływa wynurzając się częściowo ponad
powierzchnię swobodną cieczy.
Przykład 1
Ściana w kształcie ćwiartki walca o promieniu R i tworzącej L.
xC
ZC
C
(16)
(17)
(18)
Współrzędne środka naporu
zC 
2
xC 
4 R
R
3
3
 0, 4244 R
Przykład 2
Jaka musi być minimalna szerokość zapory o przekroju prostokątnym
aby nie przewróciła się pod działaniem siły naporu.
Dane:
, s , h
Obliczyć:
b m in
Przykład 3
Ściana w kształcie połówki walca o promieniu R i tworzącej L.
x
N x   gR 2 RL
Nz  g
zC
S'
Nx
Nz
z
XC
N
xC 
4 R
1
R L
2
2
 0, 42 R
3
2
4
zC  2 R  R
3
3
Nz

tg  

Nx
4
Przykład 3
N x   gR 2 RL
Nz
Nz 
N
zC

Nx
zC 
2
1
 gR L
2
2
2R 
3
4
3
x C  0, 42 R
XC
tg  
Nz
Nx
R
Przykład 4
Oblicz napory działające na półkuliste pokrywy
Dane: R , h , H
Na pokrywy I i III działają tylko napory pionowe o wartościach
N V1   g  R H 
2
N V III
2
 g R
3
3
2
2
3
  g R  H  h    g R
3
Na pokrywę II działa napór o składowej poziomej równej
h

N x   g R  H  
2

2
o składowej pionowej o wartości
N Z II 
Napór wypadkowy
2
 g R
3
3
N II 
Nx  N
2
II
2
z II
a współrzędne środka naporu
x C II 
z C II
3
R
8
4
2
Is
h
R
h
R
 zs 
 H  
 H  
2
zs A
2 4  H  h R
2 4H  h