Transcript Kap 3 - Kurvor, derivator och integraler

Kurvor, derivator och integraler
GENOMGÅNG 3.1
2
Växande och avtagande
Första och andra derivata
Första
Andra derivatans nollställe
nollställen
Teckentabell
Extremvärden
5
-3
3
-3
5
+
0
-3
-
0
+
Exempeluppgift
A rean är A  x   x (3 6  2 x )  3 6 x  2 x
Vilka värden kan x anta?
2
Exempeluppgift
A rean är A  x   x (3 6  2 x )  3 6 x  2 x
Vilken är den maximala arean?
2
Exempeluppgift
A rean är A  x   x (3 6  2 x )  3 6 x  2 x
2
D efinitionsm ängd: 0  x  18
A ' x   36  4 x
A ' x   0  36  4 x  0  x  9
A  9   9(36  2  9)  9  18  162 eller
A  9   36  9  2  9  324  162  162
2
Svar: Största arean får där x = 9 och den är 162 ae.
Exempeluppgift - kontroll
A rean är A  x   x (3 6  2 x )  3 6 x  2 x
2
Maximal area
Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva
koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas
längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm
rektangelns maximala area.
Maximal area
Hur får vi fram denna?
R äta linjen : y  
3
2
y
x
k 
y
x
m 9

6
4

3
2
x9
Maximal area
R äta linjen: y  
3
x9
2
3 2
 3

A rean: A  x    x  9    x  9 x
2
 2

y
3
x9
2
A '  3 x  9
x
A' 0  x  3
A (3)  
3
2
3  9 3  
2
27
 27   13, 5  27  13, 5
2
Rektangelns maximala area är 13,5 ae.
Maximal area
Lösning 2
R äta linjen: y  
3
x9
2
 3

2
A rean: A  x    x  9    1, 5 x  9 x
 2

A  0  x    1, 5 x  9   0
x1  0 och x 2  6  x m ax  3
A (3)   1, 5  3  9  3  13, 5
2
Rektangelns maximala area är 13,5 ae.
Maximal area - övning
Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva
koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas
längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm
rektangelns maximala area.
Maximal area - övning
Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva
koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas
längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm
rektangelns maximala area.
A ( x )  x    0, 5 x  8    0, 5 x  8 x
2
A '( x )   x  8
A '( x )  0  x  8
A (8)   0, 5  8  8  8
2
A (8)  32
Svar: Den maximala arean är 32 ae.
Maximal area - övning
Punkten P ligger på den räta linjen. Tillsammans med de positiva
koordinataxlarna bestämmer punkten P en rektangel. När punkten P flyttas
längs med linjen kommer rektangelns höjd och bredd att förändras. Bestäm
rektangelns maximala area.
A ( x )  x    0, 5 x  8    0, 5 x  8 x
2
A '( x )   x  8
A '( x )  0  x  8
A (8)   0, 5  8  8  8
2
A (8)  32
Svar: Den maximala arean är 32 ae.
Maximal area - övning
A ( x )  x    0, 5 x  8    0, 5 x  8 x
2
Exempeluppgift
Bestäm det största och det minsta värdet som
f ( x )  4 x  390 x  12000 x
3
2
antar i intervallet
18  x  50
1. Vi börjar med att derivera f(x)
f ´( x )  12 x  780 x  12000
2
2. Vi sätter f´(x) = 0
12 x  780 x  12000  0
2
PQ-formeln ger oss
x 1  25
x 2  40
Exempeluppgift
Bestäm det största och det minsta värdet som
3
2
f ( x )  4 x  390 x  12000 x antar i intervallet 18  x  50
3. Vi sätter in våra x-värden i f(x)
x 1  25
4 × 25^3 - 390 × 25^2 + 12000 × 25 = 118750
4 × 40^3 - 390 × 40^2 + 12000 × 40 = 112000
Största värde: 118 750??
Minsta värde: 112 000??
Kan vi vara säkra på detta? Nej!
Varför inte det?
x 2  40
Exempeluppgift
Bestäm det största och det minsta värdet som
3
2
f ( x )  4 x  390 x  12000 x antar i intervallet 18  x  50
Största värde: 125 000 Minsta värde: 112 000
OBS!
4
4
4
4
×
×
×
×
18^3
25^3
40^3
50^3
-
390
390
390
390
×
×
×
×
18^2
25^2
40^2
50^2
+
+
+
+
12000
12000
12000
12000
×
×
×
×
18
25
40
50
=
=
=
=
112968
118750
112000
125000
Exempeluppgift
Bestäm det största och det minsta värdet som
3
2
f ( x )  4 x  390 x  12000 x antar i intervallet 18  x  50
4
4
4
4
×
×
×
×
18^3
25^3
40^3
50^3
-
390
390
390
390
×
×
×
×
18^2
25^2
40^2
50^2
+
+
+
+
12000
12000
12000
12000
×
×
×
×
18
25
40
50
=
=
=
=
112968
118750
112000
125000
Kommentar:
För att vara säker på att vi har största respektive lägsta värde
i det givna intervallet måste vi sätta in dels de båda x-värdena som
derivatans nollställen ger, dels de båda x-värdena som ges av
intervallet yttervärden.
Exempeluppgift
Bestäm det största och det minsta värdet som
3
2
f ( x )  4 x  390 x  12000 x antar i intervallet 18  x  50
4
4
4
4
×
×
×
×
18^3
25^3
40^3
50^3
-
390
390
390
390
×
×
×
×
18^2
25^2
40^2
50^2
+
+
+
+
12000
12000
12000
12000
×
×
×
×
18
25
40
50
=
=
=
=
112968
118750
112000
125000
GENOMGÅNG 3.2
• Polynomfunktioner
• Andraderivatan
• Andraderivatan och grafen
28
Polynomfunktioner
Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.
A
Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på det värde på x som
ger minsta möjliga värde på arean A.
Uppgift 3212, sidan 149 (151)
Polynomfunktioner
Denna uppgift skall leda fram till att vi tar reda på
det värde på x som ger minsta möjliga värde på arean A.
A
Hur skall vi göra detta?
1 ) ……………………………………………..
2 ) ……………………………………………..
3 ) ……………………………………………..
4 ) ……………………………………………..
5 ) ……………………………………………..
Polynomfunktioner
Rektangeln i figuren har sidorna 16 cm och 12 cm.
A
Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x.
Polynomfunktioner
I
A
III
II
Bestäm arean (A) av den grå triangeln som en funktion av x.
Jag inför beteckningar för de 3 vita trianglarna:
I:
II:
III:
16  (12  x )

192  16 x
2
2
x  (16  2 x )
16 x  2 x
2
12  2 x
2

2

24 x
2
 12 x
 96  8 x
2
 8x  x
2
Polynomfunktioner
I
A
III
II
I: 96  8 x
II: 8 x  x 2
III: 12 x
Arean (A) av den grå triangeln:
A  192  ( 96  8 x )  (8 x  x )  (12 x )
2
A  192  96  8 x  8 x  x  12 x
2
A  96  x  12 x
2
A  x  12 x  96
2
Polynomfunktioner
I
A
II
III
I: 96  8 x
II: 8 x  x 2
III: 12 x
A  x  12 x  96
2
Definitionsmängden för arean (A) är:
0 x8
Variabeln x måste ligga mellan 0 och 8. Varför?
Polynomfunktioner
A  x  12 x  96
2
I
A
II
III
A´ 2 x  12
För vilket värde på x blir den grå triangelarean den
minsta möjliga? Börja med att derivera A!
A´ 0  2 x  12  0
 2 x  12  x  6
Svar: När x = 6 så har den grå arean minsta möjliga värde.
Polynomfunktioner
I
A
III
II
Kontrollerar med graf:
Definitionsmängd
Minsta area
x-värde vid minsta area
Största area??
Uppgift 3212, sidan 149 (151)
A  x  12 x  96
2
Andraderivatan
f ' ( x )  5 x  24 x
4
2
f ' ' ( x )  20 x  48 x
3
Andraderivatan
f ' ( x )  16 x  8 e
2x
f ' ' ( x )  16  16 e
2x
Andraderivatan
f ( x) 
f '( x) 
2x
3
3
2
6x
3
f ''( x)  4 x

12 x

2x
3
3
 4x
3
 4  2x  4
2
Andraderivatan och grafen
3
2
2
y  x  6 x  15 x  2 y '  3 x  12 x  15 y ' '  6 x  12
Andraderivatan och grafen
3
2
2
y  x  6 x  15 x  2 y '  3 x  12 x  15 y ' '  6 x  12
Andraderivatan och grafen
3
2
2
y  x  6 x  15 x  2 y '  3 x  12 x  15 y ''  6 x  12
Andraderivatan och grafen
http://www.youtube.com/watch?v=DlRT3xmcExI
[C:a 10 minuter]
Andraderivatan och grafen
http://www.youtube.com/watch?v=J2NDtXc3-ME
Andraderivatan och grafen
http://www.youtube.com/watch?v=bOdPIKYs1W4
GENOMGÅNG 3.3
• Primitiva funktioner
• Primitiva funktioner med villkor
50
FRÅN TEXT-TV (SVT)
106 SVT Text
Måndag 04 nov 2013
INRIKES PUBLICERAD 3 NOVEMBER
Hur stor har den årliga procentuella minskningen
av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996?
Tusentals butiker har försvunnit
Sedan 1996 har antalet livsmedelsbutiker i Sverige minskat med nästan
2.000 stycken. Samtidigt har befolkningen ökat med 700.000 invånare.
SVT har med hjälp av data från
myndigheten Tillväxtanalys kartlagt
alla Sveriges dagligvarubutiker som
har funnits sedan 1996.
Antalet affärer där vi köper dagligvaror har minskat med 27 proc sedan
1996, samtidigt som befolkningen har
ökat med 8 proc. Värst är det för
glesbygdskommunerna som tillsammans
har tappat 40 proc av sina dagligvarubutiker.
0, 27  x  2000 
x
2000
 7400
0, 27
Antal butiker 1996: 7400 st
Antal butiker 2013: 5400 st
FRÅN TEXT-TV (SVT)
106 SVT Text
Måndag 04 nov 2013
INRIKES PUBLICERAD 3 NOVEMBER
Tusentals butiker har försvunnit
Sedan 1996 har antalet livsmedelsbutiker i Sverige minskat med nästan
2.000 stycken. Samtidigt har befolkningen ökat med 700.000 invånare.
SVT har med hjälp av data från
myndigheten Tillväxtanalys kartlagt
alla Sveriges dagligvarubutiker som
har funnits sedan 1996.
Antalet affärer där vi köper dagligvaror har minskat med 27 proc sedan
1996, samtidigt som befolkningen har
ökat med 8 proc. Värst är det för
glesbygdskommunerna som tillsammans
har tappat 40 proc av sina dagligvarubutiker.
Hur stor har den årliga procentuella minskningen
av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996?
Antal butiker 1996: 7400 st
Antal butiker 2013: 5400 st
Formel:
f ( x)  C  a
x
5400  7400  a
Varifrån kom talet 17?
17
FRÅN TEXT-TV (SVT)
106 SVT Text
Måndag 04 nov 2013
INRIKES PUBLICERAD 3 NOVEMBER
Tusentals butiker har försvunnit
Sedan 1996 har antalet livsmedelsbutiker i Sverige minskat med nästan
2.000 stycken. Samtidigt har befolkningen ökat med 700.000 invånare.
SVT har med hjälp av data från
myndigheten Tillväxtanalys kartlagt
alla Sveriges dagligvarubutiker som
har funnits sedan 1996.
Antalet affärer där vi köper dagligvaror har minskat med 27 proc sedan
1996, samtidigt som befolkningen har
ökat med 8 proc. Värst är det för
glesbygdskommunerna som tillsammans
har tappat 40 proc av sina dagligvarubutiker.
Hur stor har den årliga procentuella minskningen
av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996?
5400  7400  a
a
17

17
5400
7400
1
a
17

1
17
 5 4 0 0  17


 7400 
FRÅN TEXT-TV (SVT)
106 SVT Text
Måndag 04 nov 2013
INRIKES PUBLICERAD 3 NOVEMBER
Hur stor har den årliga procentuella minskningen
av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996?
Tusentals butiker har försvunnit
Sedan 1996 har antalet livsmedelsbutiker i Sverige minskat med nästan
2.000 stycken. Samtidigt har befolkningen ökat med 700.000 invånare.
SVT har med hjälp av data från
myndigheten Tillväxtanalys kartlagt
alla Sveriges dagligvarubutiker som
har funnits sedan 1996.
Antalet affärer där vi köper dagligvaror har minskat med 27 proc sedan
1996, samtidigt som befolkningen har
ökat med 8 proc. Värst är det för
glesbygdskommunerna som tillsammans
har tappat 40 proc av sina dagligvarubutiker.
1
a
17

1
17
 5 4 0 0  17


 7400 
1
 5 4 0 0  17
a 
  0, 981
 7400 
(5400/7400)^(1/17) ≈ 0,981636522454…
Hur skall vi svara?
FRÅN TEXT-TV (SVT)
Måndag 04 nov 2013
106 SVT Text
INRIKES PUBLICERAD 3 NOVEMBER
Hur stor har den årliga procentuella minskningen
av livsmedelsbutiker varit i Sverige sedan 1996?
Tusentals butiker har försvunnit
Sedan 1996 har antalet livsmedelsbutiker i Sverige minskat med nästan
2.000 stycken. Samtidigt har befolkningen ökat med 700.000 invånare.
SVT har med hjälp av data från
myndigheten Tillväxtanalys kartlagt
alla Sveriges dagligvarubutiker som
har funnits sedan 1996.
Antalet affärer där vi köper dagligvaror har minskat med 27 proc sedan
1996, samtidigt som befolkningen har
ökat med 8 proc. Värst är det för
glesbygdskommunerna som tillsammans
har tappat 40 proc av sina dagligvarubutiker.
1
 5 4 0 0  17
a 
  0, 981
 7400 
1  0, 981  0, 019  0, 02
Svar: Den årliga procentuella minskningen av livsmedelsbutiker i Sverige
har varit c:a 2% mellan åren 1996 och 2013.
Primitiva funktioner
f ( x )  x  6 x  15 x  2
3
2
f ' ( x )  3 x  12 x  15
2
f ( x )  3 x  12 x  15
2
F ( x )  x  6 x  15 x  C
3
2
Primitiva funktioner
f ( x)  x
f ( x) 
1
x
1
1
F ( x) 
x
2
2
C
Primitiva funktioner
f ( x)  x
2
x
3
F ( x) 
3
C
Primitiva funktioner
f ( x)  x
F ( x) 
3
x
4
4
C
Primitiva funktioner
y  2
x
2
 1 x  C
2
y  x xC
2
0 2 2C
0 42C
0 2C
C  2
2
Den sökta funktionen:
y  x x2
2
Primitiva funktioner
y ´ x
2
y?
Vilken grad skall funktionen ha?
x
1
Vad skall (-1) multipliceras med för att det skall bli 1?
y  1  x
1
y
1
x
C
1
Primitiva funktioner
y
1 
1
x
1
C
Den sökta funktionen:
y
C
1
2
C

x
2
1
1

C 
3
2
y  x
1
3
2
3

2
GENOMGÅNG 3.4
•
•
•
Integraler
Integralberäkning med primitiv funktion
Tillämpningar och problemlösningar
63
Integraler
Integraler
b

a
f ( x ) dx
Integraler
Integrand
Övre integrationsgräns
b
Integraltecken

Undre integrationsgräns
a
f ( x ) dx
Integrationsvariabel
Integraler
f ( x)  3x  6
2
F ( x) 
3x
3
 6x  C
3
F ( x)  x  6 x  C
3
F ( x)  x  6 x
3
0,2
Integraler
f ( x)  3x  6
2
F ( x)  x  6 x
3
1
 (3 x
2

 6 ) dx  x  6 x
3

1, 0
0,4
0,4
 1  6  1  0 , 4  6  0 , 4 
3
  7    2 , 464
 4 ,536
3

Integraler
f ( x)  3x  6
2
F ( x)  x  6 x
3
1
 (3 x
2

 6 ) dx  x  6 x
3

1, 0
0,4
0,4
 1  6  1  0 , 4  6  0 , 4 
3
  7    2 , 464
 4 ,536
3

Integraler
f ( x)  3x  6
2
F ( x)  x  6 x
3
1
 (3 x
2

 6 ) dx  x  6 x
3

1, 0
0,4
0,4
 1  6  1  0 , 4  6  0 , 4 
3
  7    2 , 464
 4 ,536
3
