Transcript y`(x`, t)

Fundamentos de Mecânica
Ondulatória
Ondas propagantes
Ondas
• Ondas mecânicas
– precisam de um meio de propagação
• Ondas Eletromagnéticas
– não precisam de um meio de propagação
(podem se propagar no vácuo).
• Ondas Transversais
• Ondas Longitudinais
• Ondas progressivas
• Ondas estacionárias
• Ondas uni-dimensionais
• Ondas bi-dimensionais
• Ondas tri-dimensionais
Ondas transversais e longitudinais
Direção do
movimento
Ondas transversais e longitudinais
Timbre: composição harmônica e decaimento
Forma da frente de onda: esférica (esq.) e plana (dir.)
Ondas Progressivas:
transversais e longitudinais
Propagação de um pulso transversal e um pulso longitudinal
- applet Angel Garcia – applet “ondas-descripcion”
Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal
- applet Angel Garcia – applet “ondas-armonicas”
Ondas Progressivas e MCU
Geração de uma onda transversal e sua relação com o
movimento circular: Norimari – applet ewave1
Ondas Progressivas
transversais e longitudinais
Qualquer ponto da corda oscila com
MHS de amplitude ym ;
Onda se desloca por distância igual ao
comprimento de onda l (= vT) durante
um período T;
Ou seja v = lf = l/T = ln;
Os pontos que diferem por Dx = nl
oscilam em fase.
y(x,t)=f(x,t)
y’(x’, t)=f(x’,t)
Sendo x’=x – vt
para pulso da
esquerda p/ direita
y(x,t)=y’(x’,t)=f(x’)
y(x,t)=f(x-vt)
Se x-vt=cte
vfase=dx/dt
Ondas Transversais:
Função de Onda
Representação de uma onda transversal
Amplitude x deslocamento
e
Amplitude x tempo
Como y(x) = y(x+nl,t) a função de onda senoidal fica:
y(x,t) = ym sen [(2p/l)(x -vt)] = ym sen [k(x –vt)]
y(x,t) = ym sen (k x - wt + f)
onde v = lf = w/k
Velocidade em uma onda
Equação de Onda
Dada a função de onda y(x,t) = ym sen (k x - wt + f)
Concavidade
²y
x²
=
-k2 ym sen(kx-wt)
Concavidade Positiva
Concavidade Nula
Concavidade Negativa
Aceleraçao
²y
t²
=
-w2 ym sen(kx-wt)
 Aceleraçao Positiva
 Aceleraçao Nula
 Aceleraçao Negativa
Temos a Equação de Onda:
²y = v2 ²y onde v = lf = w/k
t²
x²
Equação de Onda
F1y /F = - (dy/dx)x
F2y /F =
(dy/dx)x+dx
Fy = F1y + F2y
Equação de Onda
Fy = F[(y/x)] (x + Dx) – F[(y/x)] (x)
Fy = FDx[ y (x + Dx) – y (x ) ] 1
x
x
Dx
Fy = FDx ²y
x²
Como Fres = mares Temos
Fy = FDx ²y = Dx ²y
x²
t²
²y
x²
= F ²y
t²
²y
x²
= v²²y
t²
v²
F  v = ( F/ )1/2

=
Ou seja, a velocidade
depende das prop. do meio.
Na mudança de meio
f1 = f 2
²y
t²
= F ²y
x²
V1
l1
=
V2
l2
Energia em uma onda transversal
Para propagar energia é preciso esticar a corda!!!
Ou seja, é preciso realizar trabalho sobre os elementos da corda!
Energia Potencial
W = F. DL
onde DL = [dl – dx]
DL = { [(dy)2 + (dx)2]1/2 - dx }
DL = {dx[1 + (dy/dx)2]1/2 - dx}
Em primeira aproximação
(1+z)n = 1 + nz
quando z << 1
DL = { dx[1 + 1/2(dy/dx)2] - dx }
DL = { dx + [1/2(dy/dx)2]dx - dx }
DL = {
[1/2(dy/dx)2]dx }
DU = -F DL = -F/2 (y/x)2 dx
Energia Cinética e Potência
DK =  (y/t)2 dx
P(x,t) = Fy vy = - F (y/x) (y/t)
P(x,t) =  w2 y2m v cos2[kx –wt]
Mostrando que a potência é um número positivo e portanto
a energia está fluindo o tempo todo pela corda.
Na média cos2[kx –wt] = ½ tal que
Pmed = (½)  w2 y2m v
QUESTÃO: Quanto vale DK e DU para um
elemento de corda que se encontra em y(x,t) = ym?
Representação de uma Onda Longitudinal
onda de deslocamento
s = smcos(kx - wt)
onda de variação de pressão Δp = Δpmsen(kx - wt)
onda de variação de densidade Δ r = Δ rmsen(kx - wt)
Propagação de uma onda transversal e uma onda longitudinal
- applet Angel Garcia – applet “ondas-armonicas”
Ondas longitudinais
Lembrando que a densidade é:
r= m/V  dr = - (m/V2)dV  dr = - r (dV/V)
dr/r = - dV/V
Sabendo que o módulo de compressibilidade volumétrica é:
B = -V p/V
onde B expressa a variação relativa de volume de um elemento de
fluido submetido à uma variação de pressão temos:
Dp = -B (dV/V) = B dr/r
Suponha um elemento de fluido
de área A e espessura dx. Seu
volume é dado por: dV = A dx
Ondas longitudinais
Quando uma onda de variação de
pressão passa pelo elemento de
fluido temos que a espessura varia
de dx para dx’ = dx(1+ds/dx)
Tal que a densidade seja dada por:
r’ = dm/A dx’
dx’ = [x + dx + s(x+dx)] – (x+s(x,t)]
r’ = dm/[A dx(1+ds/dx)]
dx’ = dx + s(x+dx) - s(x,t)
r’ = (dm/A dx) 1/[1+ds/dx]
dx’ = dx [ 1+ds/dx]
r’ = ro 1/[1+ds/dx]
Em 1a. Aprox.: (1+z)-1 = 1 –z +…
r’ = ro(1-ds/dx)
 Dr = - ro ds/dx  Dp = -B ds/dx
Onda longitudinal
B = -V p/V
Logo a velocidade
v = (B/r0 )1/2
v = (gRT/M)1/2
Var << Vsólido
VT=0C < VT=20C