Transcript Lineaire Verbanden

H4 Differentiëren
Case Winstmaximalisatie
Voor een videocamera van het merk Canon wil
beleidsmedewerker Jan Smit weten bij welke afzet de
winst maximaal is. Om dit te bepalen kijkt hij allereerst
naar de verkoopprijs van de camera. Deze bedraagt
400 euro per stuk.
Vervolgens vraagt hij zich af welke relatie er bestaat
tussen de totale kosten per dag en de
productiehoeveelheid.
Case Winstmaximalisatie
Met behulp van de statistische techniek
meervoudige regressie bepaalt hij de volgende
totale kostenfunctie:
TK = q³ - 45q² + 670q +2625,
waarbij TK in euro per dag en
q in stuks per dag.
Hoe berekent Jan de afzet waarbij de winst
maximaal is?
Differentiëren
Voorbeeld:
De relatie y = 4 is eenvoudig te tekenen.
Als je 1 stap naar rechts gaat, dan is er geen verschuiving
in de y-richting.
Differentiëren
Als je 1 stap naar rechts gaat vanuit bijvoorbeeld x
=1, dan is er geen sprake van een verschuiving in
de y-richting.
Met andere woorden, als Δx =1 vanuit x = 1, dan is
Δy = 0. Uiteraard is dan ook Δy/Δx = 0/1 = 0.
We zeggen dat de helling in de grafiek 0 is.
Differentiëren
In de grafiek is het lineaire verband y = 4x getekend.
Differentiëren
Als x = 1 dan is y = 4. Ga je vanuit x = 1 nu 1 stap
naar rechts (Δx = 1), dan is x = 2. Bij x = 2 hoort
y = 8.
Dat betekent dat Δy = 8 – 4 = 4 dus
Δy/Δx = 4/1 = 4 ofwel de helling is 4.
Bij een lineaire functie is de helling gelijk is aan de
richtingscoëfficiënt!
Differentiëren
In de grafiek is het tweedegraads verband
y = -x² + 8x getekend.
Differentiëren
Hoe groot de helling is hangt af van waar je staat
op de grafiek.
Bij x = 1 is de helling positief omdat hier de grafiek
stijgt.
Bij x = 4 sta je even horizontaal en is de helling
dus 0.
Bij x = 5 is de helling negatief omdat je hier in een
dalend stuk van de grafiek zit.
Differentiëren
Hoe groot is de helling in x = 1?
De bergparabool in x = 1 en de raaklijn bij x = 1 zijn
beide even steil.
Differentiëren
Hoe steil je in een punt van een grafiek staat is
hetzelfde als de vraag hoe groot de
richtingscoëfficiënt van de raaklijn in dit punt is.
Hoe bepaal je de richtingscoëfficiënt van de
raaklijn in een punt?
Differentiëren
Wanneer x = 1 dan geldt y = -1² + 8.1 = 7.
Ga je vanuit dit punt (1, 7) één stap opzij dan wordt
x = 2. De bijbehorende y-waarde is
y = -2² + 8.2 = 12.
In dit geval geldt dat Δx = 1 en Δy = 12 – 7 = 5.
Differentiëren
De richtingscoëfficiënt van de lijn die gaat door de
punten (1, 7) en (2, 12) is Δy/Δx = 5/1 = 5. Deze lijn
noemen we lijn 1.
Differentiëren
In plaats van Δx = 1 neem je nu Δx = 0,50.
Je komt dan uit in het punt (1,5 ; 9,75).
Nu is Δx = 0,50 dan is Δy = 9,75 – 7 = 2,75
De richtingscoëfficiënt van de lijn die door deze
twee punten gaat is Δy/Δx = 2,75/0,50 = 5,50.
Deze lijn noemen we lijn 2.
Differentiëren
In de tekening kun je zien dat de rico van lijn 2 een betere
benadering is van de rico van de raaklijn dan die van lijn 1.
Differentiëren
In onderstaande tabel is te zien hoe een en ander
zich ontwikkelt bij x = 1, als we Δx kleiner maken.
Δx
1
0,5
0,25
0,125
Δy/Δx
5
5,5
5,75
5,875
We willen Δx naar 0 toe laten gaan. Hiervoor wordt een
zogenaamde limietnotatie gebruikt:
lim  y /  x
x  0
Differentiëren
Regel 1
Noteer
Lim Δy/Δx als dy/dx
Δx→0
Je noemt dy/dx naast de helling in een
willekeurig punt van een grafiek ook wel DE
EERSTE AFGELEIDE.
Differentiëren
Regel 2
De eerste afgeleide van een constante y = a is
dy/dx = 0.
De eerste afgeleide van een lineair verband
y = ax + b is dy/dx = a.
n
y
=
a
.x
De eerste afgeleide van
is gelijk aan d y / d x = a .n .x n - 1
Differentiëren
Voorbeeld:
Het bepalen van de eerste afgeleide heet differentiëren.
Neem y = 5x6
Dan geldt: a = 5 en n = 6
De eerste afgeleide is: 5.6.x6-1 = 30x5
De eerste afgeleide van y = 5x6 is dy/dx = 30x5
Differentiëren
De eerste afgeleide in het punt x = 1 bij y = -x2 + 8x
kan nu worden uitgerekend.
De eerste afgeleide van -x2 is dy/dx = -2x1 = -2x
De eerste afgeleide van 8x is dy/dx = 8
De eerste afgeleide van -x2 + 8x is dy/dx = -2x + 8
Invullen x = 1 geeft de helling dy/dx = -2.1 + 8 = 6
Differentiëren
De helling in een paar andere punten:
Bij x = 2 is de helling dy/dx = -2.2 + 8 = 4 en is de
grafiek stijgend.
Bij x = 4 is de helling dy/dx = -2.4 + 8 = 0. Dit had
je al gezien, bij de top staan we immers
horizontaal!
Bij x = 5 is de helling dy/dx = -2.5 + 8 = -2 en is de
grafiek dalend.
Differentiëren
Het tekenverloop van de eerste afgeleide ziet er
als volgt uit:
In deze figuur kun je zien dat de grafiek een top
heeft bij x = 4.
Differentiëren
Regel 3
als dy/dx > 0 dan is de grafiek stijgend
als dy/dx = 0 dan is de grafiek horizontaal
als dy/dx < 0 dan is de grafiek dalend
Differentiëren
Regel 4
Bij het volgende tekenoverzicht van de eerste
afgeleide is sprake van een maximum:
Differentiëren
Vervolg regel 4:
Bij het volgende tekenoverzicht van de eerste
afgeleide is sprake van een minimum:
Differentiëren
Vervolg regel 4:
Bij de volgende tekenoverzichten van de eerste
afgeleide is sprake van een zadelpunt
Differentiëren
Voorbeeld:
Gegeven y = x3 – x2. Bij welke punten is de eerste
afgeleide 0 en wat is de aard van deze punten?
dy/dx = 3x2 – 2x
3x2 – 2x = 0
x(3x – 2) = 0
x = 0 of x = 2/3
Tekenoverzicht:
x = 0 of 3x – 2 = 0
Differentiëren
Je ziet in het tekenoverzicht dat bij x = 0 sprake is van
een (lokaal) maximum en bij x = 2/3 een (lokaal)
minimum.
Schets van de grafiek:
Oplossen Case Winstmaximalisatie
Om het probleem op te lossen, doorlopen we de volgende
stappen:
I Bepaal de totale winstfunctie
II Bepaal de eerste afgeleide en stel deze gelijk aan 0
III Los de vergelijking op
IV Maak een tekenoverzicht van de eerste afgeleide
V Bepaal het maximum
Oplossen Case Winstmaximalisatie
I Bepaal de van totale winstfunctie
TO = p.q
De verkoopprijs per stuk is € 400,00, dus TO = 400q.
TW = TO – TK en TK = q³ – 45q² + 670q + 2625, dus
TW = TO – TK = 400q – (q³ – 45q² + 670q + 2625) =
-q³ + 45q² – 270q –2625,
Waarbij
TW in euro per dag en
q in euro per stuk.
Oplossen Case Winstmaximalisatie
II Bepaal de eerste afgeleide en stel deze gelijk aan 0
De eerste afgeleide van de totale winstfunctie stel je gelijk
aan 0:
dTW/dq = -3q² + 90q – 270 = 0.
Oplossen Case Winstmaximalisatie
Regel 5
De eerste afgeleiden van TO, TK en TW
hebben een speciale naam:
dTO/dq = MO heet de Marginale Opbrengst
dTK/dq = MK heet de Marginale Kosten
dTW/dq = MW heet de Marginale Winst
Oplossen Case Winstmaximalisatie
III Los de vergelijking op.
Door beide zijden van de gevonden vergelijking te
delen door -3 krijg je:
q² – 30q + 90 = 0
Oplossen met de abc-formule met:
a=1
b = -30
c = 90
Oplossen Case Winstmaximalisatie
Invullen in de abc-formule:
q 1 ,2 =
30 ±
- b±
2
b - 4ac
2a
=
30 ±
900 - 4.1.90
2.1
540
2
Dit geeft de oplossingen q = 3,4 en q = 26,6.
=
Oplossen Case Winstmaximalisatie
IV Maak een tekenoverzicht van de eerste afgeleide
Het tekenoverzicht van de eerste afgeleide is:
Oplossen Case Winstmaximalisatie
V Bepaal het maximum
TW bereikt zijn maximale winst bij q = 26,6.
Invullen in TW = -q³ + 45q² – 270q – 2625 geeft:
TW(26,6) = -26,6³ + 45.26,6² – 270.26,6 – 2625 = 3212,1.
Bij een productie en verkoop van 26,6 videocamera’s per
dag is de maximale totale winst gelijk aan € 3212,10 per
dag.
Oplossen Case Winstmaximalisatie
De tekening van TW: