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第6回小テスト (Bコース)
図のように, xy 平面上の点 (0,0)T, (3,0)T, (0,2)T を頂点とする直角
三角形板があるとき，その図心を求めたい．
(1) x 座標が x から x +dx までの微小幅でスライスした微小部
位 (オレンジ) をつくるとき，その面積 ds と図心を求めよ．
ただし，微小量の二乗 (図の薄いピンクの部位の面積) は
y
無視し，図心の x 座標は x と
してよい．
2
(2) (1) の結果を用いて，積分に
より板の図心を求めよ．
※ 図形的に図心を求めても 0点．
x
O
x
3
dx
第6回小テスト (Bコース) 考え方
 物体上の微小部位の重心位置を x，その部位の持つ (微小な)
質量を dm とするとき，物体の重心は
mxG = т
x dm
物体全体
の計算から求められる．ただし今回は平面図形の図心なので
質量ではなく面積で計算する．
y
 今回の微小部位は, x 座標が
2
x から x +dx までで区切った
2
dx
短冊領域．
3
 ここで，薄いピンクの部分の
面積は dx2/3 と計算でき，
x
微小量の二乗がかかるので
O x
3
無視して良い．
dx
第6回小テスト (Bコース) 考え方
 したがって，短冊領域はピンクの三角形を含めた長方形として
計算する．その高さは 2-(2/3)x，幅は dx であるから，重心位置
と面積はこれらから計算できる．
 あとは，短冊重心の x 座標, y 座標を使って先ほどの積分を行
うことで，重心が計算できる．
y
 短冊重心の x 座標は厳密には
x +dx/2 だが，重心の積分の
2
計算において，dx/2 の部分に
短冊幅 dx がかかって，結局
微小量の二乗となり，無視して
よい量となる．
x
O x
3
dx
第6回小テスト (Bコース) 解答例
(1) x 座標が x から x +dx までの微小幅でスライスした微小部
位 (オレンジ) をつくるとき，その面積 ds と図心を求めよ．
2
2
x dx の長方形と近似できるので，
微小部位は高さ
,幅
3
T
ж
1 ч
ц
y
その重心位置は ззиx , 1 - x ччш ,
3
ж 2 ц
зз2 - x ч
ds
=
dx .
面積は
ч
ч
и
3 ш
2
2-
2
x
3
x
O
x
3
dx
第6回小テスト (Bコース) 解答例
(2) (1) の結果を用いて，積分により板の図心を求めよ．
図形全体の面積は
s=
т
0
3
3
2
й
1 щ
2 - x dx = к2x - x 2 ъ = 3.
кл
3
3 ъ
ы0
よって，
3
1 3 ж 2 ц
1 3 2 2 2
1 й 2 2 2щ
ч
x G = т x Чзз2 - x ч
dx
=
2
x
x
dx
=
кx - x ъ = 1,
т
ч
и
s 0
3 ш
3 0
3
3 кл
9 ъ
ы0
3
1 3 ж 1 цж
2 ц
1й
2 2
2 3щ 2
ч
з
y G = т зз1 - x ч
2
x
dx
=
2
x
x
+
x ъ = .
к
ч
ч
з
ч
ч
ъ0
s 0 и 3 ши
3 ш
3 кл
3
27 ы
3