Transcript 大気の熱力学（1） ［熱力学第1法則］

大気の熱力学
• 乾燥大気
• 湿潤大気
大気の熱力学（1）
［熱力学第1法則:the 1st law of thermodynamics］
• ⊿U（内部エネルギー増加）＋⊿W（外へする仕事）
＝ δQ（加熱量）
理想気体(ideal gas)を考える。
単位質量(unit mass) を考える。
c v dT  pdv   q
cv 
定積比熱
v  1
q 


加熱量
比容
大気の熱力学（1-2）
断熱であれば (adiabatic condition)
c v dT  pdv  0
pv  RT
（１）
この状態方程式の全微分を取ると
dp  v  p  dv  RdT
c v dT  RdT  vdp  0
cv  R  c p
c p dT 
c p dT
T

RT
定積比熱＋Ｒ＝定圧比熱
右辺＝ｄＱ を考えるとよい）
dp  0
p
Rdp
p
熱力学の式（１）を書き換える
状態方程式から
大気の熱力学（1－3）
c p dT
Rdp

T
dT
p
R
dp
cp
p

T

2 dp
7
p
Integrate
T
c
p
 p
 
R
R

cp
T  p

 const
2
 0 . 286 ..
7

T
p

断熱膨張、断熱圧縮
 const
As P decreases 
T decreases
大気の熱力学（1－3）
c p dT
Rdp

T
p
外から熱を加えずに、気圧(p)が変われば、
R
dp
2 dp


気温はp^0.286に比例して変わる。
T
cp
p
7 p
空気が断熱的に運動するとき、
Integrate
気圧が下がれば（上空にいけば）、気温は下がる。
cp
R
T 気圧が上がれば（下方にいけば）、気温は上がる。
 p
 const
dT
 
R

cp
T  p

2
 0 . 286 ..
7

T
p

断熱膨張、断熱圧縮
 const
As P decreases 
T decreases
大気の熱力学（１－４）
• ２原子分子の定積比熱 (Cv) は５/２ R。［n f ½ R]
 
R

cp
T  p

2
7
 0 . 286 ..( c v 
 const
 p0
  T 
 p





5
2
R)
大気の熱力学（２）
［温位(potential temperature)]
• 断熱過程では
温位は保存する。
Under adiabatic process,
θ is conserved.
• Ｐの気圧でTの温度
の空気を断熱的に
P0（基準気圧：通常
1000hPa)へもって
くればθ の温度に
なる。 At p=p0, T=θ.
 p0 

  T 
 p 

温度・温位の緯度・高度分布（１月）
対流圏では
上空ほど
気温は下がる
T decreases
with height
温位は上がる
θ increases
with height
中緯度で
温位面は
傾斜している
乾燥断熱減率
dry adiabatic lapse rate
• 空気塊を断熱的に持ち上げたときの温度変化（高さ
とともに温位一定）を考える。
Suppose that air is lifted adiabatically.
• 乾燥してるとき、高度増加にともなう気温減少率（－
ｄT/ｄｚ）を乾燥断熱減率という。
d  
dT
dz

g
cp
 9 . 8 Kkm
1
乾燥断熱減率の導出
• 断熱条件での熱力学第１法則から
Cv dT + p dv = 0 (v=１/ρ :比容）
Cv dT + d (pv) – v dp = 0
(Cv+R) dT － v dp = 0
Cp dT – 1/ρdp = 0
両辺を dz で割る。
Cp dT/dz – 1/ρ dp/dz = 0
静力学平衡の式を用いて、
Cp dT/dz ＋ g = 0
ー dT/dz = g/Cp
水蒸気量の表し方－いろいろ(1)
Expression of atmospheric water vapor
v
w
,
• 混合比 (mixing ratio)
d
ρwater-vapor ／ρdry-air
飽和混合比
混合比は保存する。
Rd
Rv
• 比湿 (specific
humidity)
ρwater-vapor／ρair
飽和比湿(saturated ..)
esは気温のみの関数！
es is a function of T

Mv
Md
w  0 . 622
w s  0 . 622

18 . 016
 0 . 622 ,
28 . 96
e
pe
es
p  es
 0 . 622
e
,
p
 0 . 622
es
p
,
Saturated vapor pressure over ice
Saturated vapor pressure over water
ニューステージ 新訂 地学図表 浜島書店 より
飽和混合比は温度とともに指数関数的に増大
10度あがると ほぼ
2倍となる。
地表面
20 g/kg >
700hPa
8 g/kg
>
［一般気象学第2版」（小倉義光）より
凝結熱(condensation heat)
• 乾燥空気１kg の飽和した空気がTからT-ΔT
へ冷却すると、飽和水蒸気混合比は、Wから
W-ΔWへとかわる。
このとき、LΔWだけの熱を放出する。
Lは、凝結熱（蒸発熱）で、
2.50 ×106 J kg-1
• 空気が上昇し、p  p-dp, T  T-dT となれ
ば、 W  W-dW となり、 大気を LｄW
加熱する。
湿潤断熱減率
moist adiabatic lapse rate
• 水蒸気で飽和した空気塊を断熱的に持ち上げたと
きの温度変化を考える。
• そのとき、高度増加にともなう気温減少率
（－ｄT/ｄｚ）を湿潤断熱減率という。
• 凝結熱により乾燥の場合ほど気温は下がらない。
• 対流圏で、６～８K/km程度（温度による）
• 標準大気の減率は 6.5 K/km。
水蒸気量の表し方－いろいろ(2)
• 相対湿度 W／Ws x100 (%)
relative humidity
• 露点温度 (dew-point temperature; Td)
気温を下げたときに飽和に達する気温
• 露点差（湿数）：T－Td
小さければ湿っている
湿潤断熱減率 (moist adiabatic lapse rate)
m  
T
z
m  d 
1
 d
1
g
Cp
L ws
C p T
 9 . 76  10
3
K /m
エマグラム
Emagram
［一般気象学第2版」（小倉義光）より
相当温位 θe
（equivalent potential temperature）
 Lw
s

 e   exp
C T
 p




＊飽和しているとき：相当温位は保存する。
＊未飽和のときは、持ち上げ凝結高度におけるT
(Tc)を使う。混合比はその場所の混合比。そう定義
すれば、相当温位は偽断熱過程で飽和、未飽和に
かかわらず、保存する。
LCL = 125(T-Td)
［一般気象学第2版」（小倉義光）より
乾燥大気の安定性(stability of dry air)

dT
dz
    d  stable ,......... .
d
 0  stable
dz
d
 0  stable
dz
  d : stable
［一般気象学第2版」（小倉義光）より
湿潤大気の安定性(stability of moist air)
Γm＜Γ＜Γd
［一般気象学第2版」（小倉義光）より
Cloud top
height
Level of no-buoyancy
Level of Free Convection
Lifting Condensation Level
temperature
［一般気象学第2版」（小倉義光）より
［気象がわかる数と式（二宮著）」より
フェーン現象（Foehn）
• 乾燥断熱減率 １０ K/km、 湿潤断熱減率 6 K/km とする。
• 風上で飽和しており、凝結した水分は降水として落ちるとす
る。
１８℃
１０００ｍ
２４℃
２８℃
乾燥静的エネルギー
dry static energy ( s = CpT + gz)
• 前頁の熱力学第1法則から断熱であれば、Ｓは保存
する。（ただし、静力学平衡を仮定している）
1st law of thermodynamics + hydrostatic balance
s  c p T  gz
ds  c p dT  gdz  0
• 上の式から乾燥断熱減率は求められる。
• CpT : Enthalpy (thermal energy under const. P)
• ｇz： 位置のエネルギー（geopotential）
s is conserved under adiabatic processes
湿潤静的エネルギー
moist static energy ( h = s + Lw)
• 偽断熱過程であれば、飽和でも未飽和でも保
存する。
h  c p T  gz  Lw
h s  h  s  Lw ( saturated )
*
*
dh  c p dT  gdz  Ldw s  0
• CpT : エンタルピー（顕熱のエネルギー）
• ｇz： 位置のエネルギー（geopotential）
• Lw: 潜熱のエネルギー (latent energy)