Transcript ***** 1

Тема: Теорема о трех
перпендикулярах.
Тема: Теорема о трех перпендикулярах.
• Цели: изучение теоремы (доказательство
теоремы разными способами);
формирование навыков решения задач с
использованием теоремы;
развитие логической культуры учащихся.
• Тип урока: получение новых знаний.
• Оборудование: мультимедийная доска, ПК,
карточки с заданиями, учебник.
I. Организационный момент.
II.Формирование цели и задачи урока,
мотивация учебной деятельности.
На этом уроке учащиеся ознакомятся с важными
теоретическими знаниями, которые они смогут
применять для нахождения расстояния от точки до
прямой в пространстве.
А
a
α
Как найти расстояние от точки А
до прямой а?
В каких задачах используют
теорему о трех перпендикулярах?
На рисунках 1-4 МА перпендикулярна
плоскости АВС. По рисункам обоснуйте
расстояние от точки М до прямой ВС.
M
M
A
D
B
B
A
C
D
∟ADC=90
C
В каких задачах используют
теорему о трех перпендикулярах?
На рисунках 1-4 МА перпендикулярна
плоскости АВС. По рисункам обоснуйте
расстояние от точки М до прямой ВС.
M
C
A
M
B
A
C
D
ABCD - ромб
ВС – касательная к окружности
III. Актуализация опорных знаний.
•
•
•
•
Что называют перпендикуляром к плоскости?
Что называют наклонной к плоскости?
Что называют основанием перпендикуляра?
Что называют основанием наклонной?
A
B
C
a
IV. Восприятие нового материала.
• Теорема: если прямая, лежащая в плоскости,
перпендикулярна проекции наклонной, то эта
прямая перпендикулярна наклонной.
• Доказательство теоремы проводится с
использованием программы «УМК живая
математика»
Первый шаг
• От точки А отложим
MA=AN. Соединим M
и N с S и O. В этом
случае AO
одновременно
медиана и высота.
Следовательно MON
– равнобедренный
треугольник, где
NO=OM.
Второй шаг
• Прямоугольные
треугольники SOM и
SON равны по двум
катетам ( NO=OM, SO –
общая сторона).
Третий шаг
• Из предыдущего шага
следует, что NSM –
равнобедренный
треуогольник, а значит
SA – одновременно
медиана и высота. То
есть AS
перпендикулярна MN,
что и требовалось
доказать.
Доказательство 2
S
B
O
C
l
A
• Допустим, что SA не
перпендикулярна прямой
l. Проведем SB ⊥ l , тогда
SA>SB. Из прямоугольных
треугольников SOA и SOB:
OA2=SA2-SO2. OB2=SB2-SO2
• Получаем: OA>OB.
• Между тем OA<OB, так
как OA ⊥ l по условию.
Доказательство 3
• На прямой m отметим произвольную точку B и
соединим с точками O и S.
• Из прямоугольных треугольников SOB, SOA, OAB:
SB²=SO²+OB²;
SA²=SO²+OA²;
S
OB²=OA²=AB²;
B
O
C
m
A
Доказательство 3
• Вычтя почленно из первого равенства второе,
получим:
SB²=SA²=OB²=OA²
• Приняв во внимание третье равенство, будем
иметь:
SB²=SA²=AB².
SB²=SA²+AB².
• Согласно обратной теореме Пифагора:
SA ⊥ AB , т.е. m ⊥ SA.
V. Решение задач:
• Учебник № 5.39, 5.40.
D
Дано: DA ⊥ (ABC), угол BAC=30°,
угол ABC=60°
Доказать: СВ ⊥ AC.
B
А
C
D
А
B
C
Дано: DA ⊥ (ABC), угол BAC=40°,
угол ACB=50°
Доказать: СВ ⊥ BD.
Математический диктант
ABCD – прямоугольник, SA ⊥ (ABC).
Вариант 1 – SA=
см, AB = 1 см, AD = 3 см;
Вариант 2 – SA=
см, AB = 1 см, AD = 2 см;
Пользуясь изображением, найдите:
1) Длину отрезка SB; (2 балла)
2) Длину диагонали AC; (2 балла)
3) Длину отрезка SD; (2 балла)
4) Величину угла SBC; (2 балла)
5) Величину угла SDC; (2 балла)
6) Площадь треугольника SDC. (2 балла)
S
A
D
B
С
Ответы
• Вариант 1
1) 2 см;
2)
см;
3)
см;
4) 90°;
5) 90°;
6)
см
• Вариант 2
1)
см;
2)
см;
3)
см;
4) 90°;
5) 90°;
6)
см;
VI. Домашнее задание:
1) § 5.3, теорема.
2) N 5.63 – учебник.
3) «Разноуровневые дидактические материалы»
под редакцией А.П. Ершовой.
С-10 по вариантам уровни:
А N 1; 2.
Б N3
VII. Подведение итогов урока
• Вопросы к классу:
1) Сформулировать теорему о тех перпендикулярах.
2) Какие теоремы и определения использовали для
доказательства этой теоремы?
3) Укажите взаимное расположение прямых a и b.
S
S
a
b
b
B
A
ABCD – ромб, SB ⊥ (ABC)
ABCD – квадрат, SB ⊥ (ABC)
C
C
B
a
D
A
O
D
Спасибо за внимание!