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ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…
Teorema de Poynting
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
Equações de Maxwell
E r,t
H r , t
t
H r,t J r,t
E r , t
.D r , t r , t
.B r , t 0
t
E H E J E
E J E H E
A B
E
t
E
t
B A A B
E H
H
E E H
E
H
H
E E H
E J H
E E H E
E
t
E J H
E E H E
E J H
1 E
2
t
2
1 E E
2
t
H
t
1
2
E
t
E H E
E
E
E
t
t
H
E
H
E J H
t
E
t
1 E
2 t
E
t
E H
E E
E
t
H
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2 t
E
J dv
H
2 t
E
2
t
E
2
2
2
t
2
H
2 t
E J dv
2
2
E
2
2
t
E J s dv
dv
t
E H
dv
E H dv
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H
2
2
2
E
2
dv
E H dv
S EH
E H ds
E J dv
t
H
2
2
2
E
2
dv
E H ds
Teorema Complexo de Poynting
j
j t
j t
A t R e A e R e A e A e
j
j t
j t
B t R e B e R e B e B e
j t
j t
j t
A t B t R e A e R e B e R e A B e
A t B t A co s t A B co s t B
A t B t
AB
2
A t B t
cos A B cos 2 t A B
AB
2
cos A B
1
*
R e A B
2
EH
S E t H t
2
cos A B
S EH
1
*
R e E H
2
*
E j H
H j E J
H
*
E j H
*
H
E H j E E E J
*
H
*
*
E E H j H
*
E H
*
j H
2
2
*
j E
j E
2
2
E J
E J
*
*
E H
E H
EH
*
1
2
1
2
*
*
2
j H
dv j H
ds j H
2
2
2
E
E
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1
S ds 2 j H
4
2
j E
1
2
2
E J
*
dv E
dv E
*
J dv
*
J dv
W e PR
m
E
4
2
1
dv
2
*
E J dv
Parte Real
1
2
1
1
*
R e S ds R e E J S dv
2
2
1
2
R e S ds P
S
PC
E
2
dv
Parte Imaginária
1
2
1
Im S ds 2 H
4
1
2
2
1
4
2
E dv
Im S ds 2 W
m
1
*
dv
Im
E
J
2
W e PR
Exemplo:
Considere uma onda plana se propagando na direção +z com os campos
ˆ 0 co s t kz
E r , t xE
E
H r , t yˆ 0 cos t kz
Demonstre o teorema de Poynting num volume retangular com tamanho x=a,
y=b e z=c.
E
1
2
J dv
t
H
2
1
S ds 2 j H
4
2
E
2
2
1
4
E
2
dv
2
E H
1
dv
2
ds
*
E J dv
E
J dv
S EH
t
We
2
2
Wm
E
2
2
ˆ 0 cos t kz yˆ
S xE
S zˆ
H
2
H
2
2
E J dv 0
E0
2
cos
2
E 0 cos
E0
2
2
2
2
E
2
E0
2
dv
E H
ds
cos t kz
t kz
t kz
2
cos
2
t kz
2
2
E 0 cos
2
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a b
H
2
2
E
2
2
dv
a b
c
Wm
0 0 0
c
c
E 0 cos
2
2
t kz dxdydz
ab E 0
0 0 0
ab
2
E0
2
cos
2
t kz dz
0
c
2
W e dxdydz
1 cos 2 t kz dz
0
ab
2
E0
2
sin 2 t sin 2 t kc
c
2k
2k
Aplicando d/dt
ab
2
t
H
2
2
E0
2
cos 2 t cos 2 t kc
k
k
ab
2
E dv
E 0 cos 2 t cos 2 t kc
2
2
2
S zˆ
a b
E H
ds
E0
E0
2
cos
t kz
a b
2
2
cos
2
t dz
0 0
E0
2
cos
2
t kc dz
0 0
E H ds
ab
2
E 0 cos 2 t cos 2 t kc
2
Teorema de Poynting
E
J dv
t
H
2
2
2
E
2
dv
E H
ds
1
2
1
S ds 2 j H
4
2
1
E
2
4
1
dv
2
*
E J dv
ˆ 0 e jkz
E r xE
H r yˆ
S EH
*
E0
ˆ 0 e jkz yˆ
xE
e
jkz
E0
e
jkz
zˆ
E0
2
Como os fasores E e H estão em fase, S será puramente real., como não temos
perdas, devemos demonstrar que:
1
2
R e S ds P
S
PC 0
1
2
a b E02
R e S ds R e
dz
2
0 0
1
a b
0 0
dz 0
E0
2
Como não temos potencia reativa, devemos demonstrar que Wm=We
1
Im S ds 2 W
2
1
2
We
Wm
1
Im S ds 2 H
4
1
4
1
4
a b c
2
E dv
0 0 0
1
4
a b c
H
2
dv
1
2
1
E0
E
abc
4
2
2
W e PR
2
4
E 0 dxdydz
4
0 0 0
2
m
dxdydz
1
dv
2
E0
abc
4
*
dv
Im
E
J
2
E0
2
2
abc
4
E0
2
ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…
Propagação em Meios com Perda
Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez-Esquerre
Considere um meio com perdas, caracterizado pela sua condutividade ,
porem sem cargas livres.
As equações de Maxwell para campos harmônicos são escritos da
seguinte forma:
Aplicando o rotacional na Eq (10.13)
Fazendo uso da identidade vetorial
e da Eq. (10.14)
Obtem-se
Ou
Onde
é conhecida como constante de propagação, e será uma variável complexa,
Podendo ser expressa na forma,
de forma similar pode ser obtida uma equação para o campo magnético,
Para obtermos os valores de a e b na Eq. (10.20) faremos o seguinte:
Resolvendo o sistema de equações (10.21) e (10.22) obtem-se
Consideremos um campo propagando na direção +z, com apenas uma
componente em x,
Substituindo na Eq. (10.17), obtem-se
Colocando em evidencia o operador laplaciano, lembrando que não existe
variação na direção x e y
Obtem-se a equação diferencial,
Cuja solução tem a forma,
Como o campo deve ser finito em z=infinito, considera-se apenas a
exponencial negativa, o campo E(r,t) pode ser então escrito como,
Resultando em ,
E z, t E0e
a z
cos t b z xˆ
De forma analoga, pode ser obtida a solução da Eq. (10.19)
Onde
é conhecida como impedância do meio e será complexa
Onde
O ângulo q varia entre 0 e 45 graus.
Substituindo (10.31) e (10.32) em (10.30)
H z, t
E0
e
a z
cos t b z q yˆ
Observe a defasagem entre os campos,
E z, t E0e
a z
cos t b z xˆ
As propriedades de propagação são calculadas usando
Podemos também re-escrever a Eq (10.14)
onde
Ou
onde