Transcript Besaran Parakteristik Penampang

Besaran Parakteristik
Penampang
Mekanika Bahan
BESARAN YANG DIPAKAI
LUAS BIDANG
 TITIK BERAT DAN BESARAN INERSIA
 STATIS MOMEN
 MOMEN INERSIA DAN MOMEN
SENTRIFUGAL PADA PROFIL STABIL
DAN TAK STABIL

LUAS PENAMPANG

Luas penampang suatu bidang adalah
A = ∫dA = ∫dx dy
Dimana dx dan dy masing masing
merupakan panjang bidang pada arah x
dan y.
TITIK BERAT

Suatu titik yang jika seluruh permukaan
dipusatkan dititik tersebut maka akan
memberikan statis momen yang sama
terhadap kedua sumbu

Koordinat Titik Berat
xo = Sy/A = (∫ x dA ) / ( ∫ dA )
yo = Sx/A = (∫ y dA ) / ( ∫ dA )
Momen Statis
Merupakan momen pertama dari bidang
 Momen Statis suatu Bidang
Sx = A . yo = ∫ y dA
Sy = A . xo = ∫ x dA


Merupakan hasil kali antara luasan
dengan jarak pada titik berat penampang
Momen Inersia
Merupakan momen kedua dari bidang
 Momen Inersia terdiri dari beberapa
Ixx = Mx = ∫ y2 dA
Iyy = Mx = ∫ x2 dA
Ixy = Mxx = ∫ xy dA
Ir = Mz = ∫ r2 dA = ∫ (x2 + y2) dA
= Ixx + Iyy
 Ixx, Iyy dan Ir selalu bernilai positif
 Sedang Ixy diambil nilai real positif or
negatif

Contoh Soal

Berbagai bentuk penampang
I
I
II
II
III
Tugas

Hitung Titik Berat Penampang, Statis
Momen dan Momen Inersia dari :
Momen Inersia pada Sb
(Xo dan Yo)
Sb y
Sb Yo
y
Sb Xo
a
O’
Sb x
O
b
x
Menentukan Hubungan Ix dan
Ixo
Ix =∫(y + a )2 dA
 karena jrk elemen thd sb X adalah (y+a)
maka
Ix =∫ y2 dA + 2a ∫ y dA + ∫ a2 dA
= I xo + Statis momen =0 +
Luasan
 Jadi Ix = Ixo + a2 A
Menentukan Hubungan Iy dan
Iyo
Iy =∫(x + b )2 dA
 karena jrk elemen thd sb Y adalah (x+b)
maka
Iy =∫ x2 dA + 2b ∫ x dA + ∫ b2 dA
= I yo + Statis momen =0 +
Luasan
 Jadi Iy = Iyo + b2 A
Menentukan Hubungan Ir dan
Iro
Ir = Ix + Iy (Substitusi dr sebelumnya)
Ir = (Ixo + a2 A ) + (Iyo + b2 A)
= Ixo + Iyo + (a2+ b2) A
= Iro + (a2+ b2) A
Jadi Ir merupakan gabungan dr momen
inersia material pd sb xo,yo dijumlah dgn
kuadrat jarak sumbu x,y terhadap sb xo,yo
dikalilikan dgn luasan material
Menentukan Hubungan Ixy dan
Ixoyo
Ixy = ∫ (x+b) (y+a) dA
= ∫ (xy + ax + by + ab) dA
=∫ xy dA + ∫ ax dA + ∫ by dA + ∫ ab dA
= Ixoyo + Statis momen thd sb x dan y
+ Luasan
Jadi
Ixy = Ixoyo + ab A
Kesimpulan
Ix dan Iy juga Ip selalu bernilai positif
 Ixy bisa bernilai positif, negatif atau nol
 Ixy akan bernilai nol jika sb XY merupakan
sb simetri dari penampang atau salah
satunya merupakan sb simetri.

Perubahan Momen Inersia Karena
Rotasi Sumbu
Sb y
Sb y1
Sb x1
x
x1
y1
y

Sb x
Y sin 
X cos 
Perubahan Momen Inersia Karena
Rotasi Sumbu
X1 = x cos  + y sin 
Y1 = y cos  - x sin 
Menentukan Ix1
Ix1= ∫ y12 dA = ∫ (y cos  - x sin )2 dA
=∫(y2cos2 + x2sin2 - 2xy sin cos) dA
=cos2 ∫y2dA+ sin2 ∫x2 dA2sincos∫xydA
= cos2 Ix+ sin2 Iy - sin2 Ixy
= (Ix+Iy)/2 + (Ix-Iy)/2 cos2 - sin2 Ixy
Menentukan Iy1 dan Ix1y1
Dengan cara yg sama
Iy1= ∫ x12 dA = ∫ (x cos  + y sin )2 dA
= (Ix+Iy)/2 - (Ix-Iy)/2 cos2 + sin2 Ixy

Ix1y1 = ∫ x1 y1dA
=∫ (x cos +y sin ) (y cos  - x sin )dA
= Ixy cos 2 + (Ix-Iy)/2 sin2
Menentukan Imax dan I min

Metode penentuan Imax dan Imin
1. Analitis
2. Grafis
Menentukan Harga Ix1 dan Iy1
ekstrim

Harga ekstrim dr suatu nilai didapat dgn
menurunkan persamaan nilai tersebut
dIx1/d=(Ix-Iy)/2 (-sin2) – Ixy (2 cos 2)
dIx1/d=(Ix-Iy)/2 (-sin2) – Ixy (2 cos 2)

Agar nilai ekstrim terbentuk maka nilai turunan
tersebut bernilai nol
dIx1/d= 0
dIy1/d=0
Nilai ekstrim

Dengan nilai turunan = 0
maka tg 2 = - 2Ixy / (Ix-Iy)

Sehingga nilai maks atau min utk
Ix1 = (Ix+Iy)/2 + √{(Ix-Iy)/2}2 + Ixy2
Iy1 = (Ix+Iy)/2 + √{(Ix-Iy)/2}2 + Ixy2
JARI JARI GIRASI
Jari jari girasi dari suatu bidang adalah
r2 = √ I / A
 Dimana :
I = Momen Inersia penampang
A = Luasan penampang

Kesimpulan
Ix + Iy = Ix1 + Iy1 = konstan
 Jika Ix1 min maka Iy1 max
Iy1 max maka Ix1 min
 Jika Ix> Iy maka Ix max dan Iy min
Ix < Iy maka Ix min dan Iy max
Harga ekstrim dinamakan “ Momen Inersia Utama”
dan sb yg bersangkutan adalah sb Utama. Bila
melalui pusat maka disebut Momen Inersia
Pusat Utama
Dan Momen inersia thd pusat utama = 0

Penentuan Imax dan Imin dgn Cara
Grafis / Lingkaran Mohr