Besaran Parakteristik Penampang
Download
Report
Transcript Besaran Parakteristik Penampang
Besaran Parakteristik
Penampang
Mekanika Bahan
BESARAN YANG DIPAKAI
LUAS BIDANG
TITIK BERAT DAN BESARAN INERSIA
STATIS MOMEN
MOMEN INERSIA DAN MOMEN
SENTRIFUGAL PADA PROFIL STABIL
DAN TAK STABIL
LUAS PENAMPANG
Luas penampang suatu bidang adalah
A = ∫dA = ∫dx dy
Dimana dx dan dy masing masing
merupakan panjang bidang pada arah x
dan y.
TITIK BERAT
Suatu titik yang jika seluruh permukaan
dipusatkan dititik tersebut maka akan
memberikan statis momen yang sama
terhadap kedua sumbu
Koordinat Titik Berat
xo = Sy/A = (∫ x dA ) / ( ∫ dA )
yo = Sx/A = (∫ y dA ) / ( ∫ dA )
Momen Statis
Merupakan momen pertama dari bidang
Momen Statis suatu Bidang
Sx = A . yo = ∫ y dA
Sy = A . xo = ∫ x dA
Merupakan hasil kali antara luasan
dengan jarak pada titik berat penampang
Momen Inersia
Merupakan momen kedua dari bidang
Momen Inersia terdiri dari beberapa
Ixx = Mx = ∫ y2 dA
Iyy = Mx = ∫ x2 dA
Ixy = Mxx = ∫ xy dA
Ir = Mz = ∫ r2 dA = ∫ (x2 + y2) dA
= Ixx + Iyy
Ixx, Iyy dan Ir selalu bernilai positif
Sedang Ixy diambil nilai real positif or
negatif
Contoh Soal
Berbagai bentuk penampang
I
I
II
II
III
Tugas
Hitung Titik Berat Penampang, Statis
Momen dan Momen Inersia dari :
Momen Inersia pada Sb
(Xo dan Yo)
Sb y
Sb Yo
y
Sb Xo
a
O’
Sb x
O
b
x
Menentukan Hubungan Ix dan
Ixo
Ix =∫(y + a )2 dA
karena jrk elemen thd sb X adalah (y+a)
maka
Ix =∫ y2 dA + 2a ∫ y dA + ∫ a2 dA
= I xo + Statis momen =0 +
Luasan
Jadi Ix = Ixo + a2 A
Menentukan Hubungan Iy dan
Iyo
Iy =∫(x + b )2 dA
karena jrk elemen thd sb Y adalah (x+b)
maka
Iy =∫ x2 dA + 2b ∫ x dA + ∫ b2 dA
= I yo + Statis momen =0 +
Luasan
Jadi Iy = Iyo + b2 A
Menentukan Hubungan Ir dan
Iro
Ir = Ix + Iy (Substitusi dr sebelumnya)
Ir = (Ixo + a2 A ) + (Iyo + b2 A)
= Ixo + Iyo + (a2+ b2) A
= Iro + (a2+ b2) A
Jadi Ir merupakan gabungan dr momen
inersia material pd sb xo,yo dijumlah dgn
kuadrat jarak sumbu x,y terhadap sb xo,yo
dikalilikan dgn luasan material
Menentukan Hubungan Ixy dan
Ixoyo
Ixy = ∫ (x+b) (y+a) dA
= ∫ (xy + ax + by + ab) dA
=∫ xy dA + ∫ ax dA + ∫ by dA + ∫ ab dA
= Ixoyo + Statis momen thd sb x dan y
+ Luasan
Jadi
Ixy = Ixoyo + ab A
Kesimpulan
Ix dan Iy juga Ip selalu bernilai positif
Ixy bisa bernilai positif, negatif atau nol
Ixy akan bernilai nol jika sb XY merupakan
sb simetri dari penampang atau salah
satunya merupakan sb simetri.
Perubahan Momen Inersia Karena
Rotasi Sumbu
Sb y
Sb y1
Sb x1
x
x1
y1
y
Sb x
Y sin
X cos
Perubahan Momen Inersia Karena
Rotasi Sumbu
X1 = x cos + y sin
Y1 = y cos - x sin
Menentukan Ix1
Ix1= ∫ y12 dA = ∫ (y cos - x sin )2 dA
=∫(y2cos2 + x2sin2 - 2xy sin cos) dA
=cos2 ∫y2dA+ sin2 ∫x2 dA2sincos∫xydA
= cos2 Ix+ sin2 Iy - sin2 Ixy
= (Ix+Iy)/2 + (Ix-Iy)/2 cos2 - sin2 Ixy
Menentukan Iy1 dan Ix1y1
Dengan cara yg sama
Iy1= ∫ x12 dA = ∫ (x cos + y sin )2 dA
= (Ix+Iy)/2 - (Ix-Iy)/2 cos2 + sin2 Ixy
Ix1y1 = ∫ x1 y1dA
=∫ (x cos +y sin ) (y cos - x sin )dA
= Ixy cos 2 + (Ix-Iy)/2 sin2
Menentukan Imax dan I min
Metode penentuan Imax dan Imin
1. Analitis
2. Grafis
Menentukan Harga Ix1 dan Iy1
ekstrim
Harga ekstrim dr suatu nilai didapat dgn
menurunkan persamaan nilai tersebut
dIx1/d=(Ix-Iy)/2 (-sin2) – Ixy (2 cos 2)
dIx1/d=(Ix-Iy)/2 (-sin2) – Ixy (2 cos 2)
Agar nilai ekstrim terbentuk maka nilai turunan
tersebut bernilai nol
dIx1/d= 0
dIy1/d=0
Nilai ekstrim
Dengan nilai turunan = 0
maka tg 2 = - 2Ixy / (Ix-Iy)
Sehingga nilai maks atau min utk
Ix1 = (Ix+Iy)/2 + √{(Ix-Iy)/2}2 + Ixy2
Iy1 = (Ix+Iy)/2 + √{(Ix-Iy)/2}2 + Ixy2
JARI JARI GIRASI
Jari jari girasi dari suatu bidang adalah
r2 = √ I / A
Dimana :
I = Momen Inersia penampang
A = Luasan penampang
Kesimpulan
Ix + Iy = Ix1 + Iy1 = konstan
Jika Ix1 min maka Iy1 max
Iy1 max maka Ix1 min
Jika Ix> Iy maka Ix max dan Iy min
Ix < Iy maka Ix min dan Iy max
Harga ekstrim dinamakan “ Momen Inersia Utama”
dan sb yg bersangkutan adalah sb Utama. Bila
melalui pusat maka disebut Momen Inersia
Pusat Utama
Dan Momen inersia thd pusat utama = 0
Penentuan Imax dan Imin dgn Cara
Grafis / Lingkaran Mohr