Transcript "Комплексные числа". - ГОУ Лицей № 1523 ЮАО г. Москвы

Государственное Образовательное Учреждение
Лицей №1523
ЮАО г.Москва
Лекции по алгебре и началам анализа
10 класс
© Хомутова
Лариса Юрьевна
Комплексные
числа
I. Алгебраическая форма записи
комплексного числа.
Запись комплексного числа z в виде z=a+bi
называется алгебраической формой записи
комплексного числа,
Определение.
где a и b – действительные числа.
Число a называется действительной (вещественной) частью
комплексного числа и обозначается Re z=a.
Число b называется мнимой частью комплексного числа и
обозначается Im z=b.
Символ i называется мнимой единицей:
i
2
 1
Комплексное число a  bi называется комплексно
сопряженным с числом z  a  bi и обозначается
z .
Комплексное число  a  bi называется противоположным
комплексному числу z  a  bi
и обозначается  z .
Два комплексных числа z 1  a 1  b1 i и
равны, если a 1  a 2 и b1  b 2 .
z 2  a 2  b2i
Действительные числа можно рассматривать, как частный
случай комплексных чисел при b  0
II. Арифметические действия с
комплексными числами.
Арифметические действия над комплексными числами
производятся как действия над обычными буквенными
выражениями, но с учетом того, что i 2   1
II. Арифметические действия с
комплексными числами.
z 1  a 1  b1 i
z 2  a 2  b2i
1) z 1  z 2  ( a 1  a 2 )  i ( b 1  b 2 )
2 ) z 1  z 2  ( a 1  a 2 )  i ( b1  b 2 )
3 ) z 1  z 2  ( a 1 a 2  b1 b 2 )  i ( a 1 b 2  a 2 b1 )
4 ) z 2  0;
z1
z2

a 1 a 2  b1 b 2
a b
2
2
2
2
i
a 2 b1  a 1 b 2
a 2  b2
2
2
III. Геометрическая интерпретация
комплексного числа.
Форма записи z=x+iy комплексных чисел называется
декартовой. Она равносильна представлению комплексных
чисел, как точек плоскости в декартовой системе координат,
где числу z=x+iy соответствует точка М с координатами (x;
y).
Такое представление комплексных чисел называется
геометрической интерпретацией комплексных чисел, а
плоскость, точкам которой сопоставлены комплексные числа
– комплексной плоскостью.
IV. Векторная интерпретация
комплексного числа.
Комплексное число z=a+ib можно представить как вектор

z  a , b 
При такой интерпретации сложение и умножение
комплексных чисел соответствует правилам сложения
векторов. Однако, умножение и деление комплексных
чисел не имеет аналогов в векторной интерпретации.
IV. Векторная интерпретация
комплексного числа.
y
M
z  a  ib
b
r

0
z  r 
a
a b
2
2
x
- модуль комплексного числа
Аргументом комплексного числа z  a  ib называется
угол  ,      ;   определяемы из условия
b
sin  
a b
2
Обозначается   Arg z .
cos  
2
a
a b
2
2
V. Тригонометрическая форма записи
комплексного числа.
z  r (cos   i sin  )
  arctg
b
a
z 1  r1 (cos  1  i sin  1 )
z 2  r2 (cos  2  i sin  2 )
1) z 1  z 2  r1  r2 ;  1   2  2 k ;
kZ
2 ) z 1  z 2  r1  r2  (cos(  1   2 )  i sin(  1   2 ))
3)
z1
z2

r1
r2
 (cos(  1   2 )  i sin(  1   2 ))
4 ) z 1  z 2  r1 cos  1  i sin  1   r2  cos  2  i sin  2 
5 ) z  r  (cos n   i sin n  )
n
6)
n
n
z 
n
r  (cos
  2 k
n
формула
 i sin
  2 k
n
Муавра
)
VI. Геометрическое изображение
комплексных чисел.
VII. Решение уравнений в
комплексных числах.