Transcript Números complejos

LA CLASE VIRTUAL
LOS NÚMEROS COMPLEJOS
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 La ecuación x2+1=0 carece de soluciones en
el campo de los números reales.
 loge(-2) no es un número real.
 Tampoco es un número real (-2)p
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 Un número complejo a viene dado por un
par ordenado (a, b) de números reales. El
primero se llama parte real, y se escribe
a=Re(a)
 El segundo se llama parte imaginaria, y se
escribe
b= Im(a)
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 Se puede establecer una correspondencia
biunívoca entre el conjunto C=R2 de los
números complejos y el conjunto E2 de
puntos del plano, habiendo fijado un
sistema de referencia cartesiano.
 De modo que el complejo a=(a,b)
representa el punto P (llamado afijo), cuyas
coordenadas son precisamente a y b.
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 El complejo (0,1) se representa mediante la
letra i y es la unidad imaginaria.
 Los números reales son los números
complejos de la forma (a,0), donde a es el
número real que se identifica con el
complejo (a,0). Los números imaginarios
son de la forma (a,b), con b distinto de cero.
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 Los números reales forman el conjunto R al
que le corresponde el eje de abscisas. Los
números imaginarios puros se corresponden
con los puntos del eje de ordenadas.
 El módulo del complejo a=(a,b) viene dado
por  = a + b y el argumento por el valor
de q tal que tg q = b / a . Nótese que si q es
un argumento también lo es q+2kp
2
2
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 El argumento se llama principal si
pq p
 La representación módulo argumental del
complejo a=(a,b) viene dada por q
 La identidad entre los complejos (a,b) y
(c,d) equivale a: a=c y b=d
 La identidad entre los complejos q y sz
equivale a:  = s y q=z+ 2kp
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 El paso del par ordenado a la forma módulo
argumental se logra del siguiente modo:
a = (a , b ) =  q
= a +b
a =  cos q 
q = arctg ( b / a )


signo ( q ) = signo ( b )

b =  sin q 
pqp
2
2
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 La aritmética compleja viene dada por:
(a , b ) + (c, d ) = (a + c, b + d )
( a , b )( c , d ) = ( ac  bd , ad + bc )
 Se demuestra fácilmente que:
qsz=(s)q+z
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 El opuesto de (a,b) es -(a,b)=(-a,-b)
 El inverso de a=(a,b), distinto de cero (0,0),
es
a
1
=(
a
a +b
2
2
,
b
a +b
2
2
)
 También se tiene que para q distinto de
cero
( q )
1
1
= ( )  q
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 La forma binómica del complejo (a,b) se
escribe a+ib, ya que
( a , b ) = ( a , 0 ) + ( 0 , b ) = ( a , 0 ) + ( 0 ,1) * ( b , 0 ) 
( a , b )  a + ib
 La forma trigonométrica del complejo q
viene dada por (cosq+isinq), puesto que
 q = ( a , b ) = a + ib = (  cos q ) + i (  sin q ) =
 (cos q + i sin q )
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 La forma exponencial del complejo q viene
dada por
q=  eiq
teniendo en cuenta la fórmula de Euler de la
exponencial compleja:
eiq =cosq+ i sinq
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 Nótese que i2 = -1 y que la ecuación x2+1=0
tiene como soluciones imaginarias i y -i.
 De otra parte: i 3 =  i , i 4 = 1, i 5 = i , etc.
 Además, si n es un número natural se tiene:
( q ) = ( )
n
n

( nq )
(  (cos q + i sin q )) = (  ) (cos( n q ) + i sin( n q )) 
n
n
(cos q + i sin q ) = cos( n q ) + i sin( n q )
n
(Fórmula de De Moivre)
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 Las expresiones anteriores son válidas para
n negativo.
m/n
1/ n m
 Además:
a
= (a )
a
de donde basta definir
para poder evaluar la expresión
con m y n enteros, n positivo.
1/ n
a
m /n
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 La expresión a
1/ n
en realidad
corresponde a n números complejos
diferentes dados por
s  = (
1/ n
) q + 2 kp ,
n
k = 0,1,2,..., n - 1
 Los afijos de s  son los vértices de un
polígono regular de n lados, centrado en el
origen de coordenadas.
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 Se justifica lo anterior como sigue:
(s  ) =  q 
n
s = , n = q + 2 kp 
n
s=
1/ n
,  = (q + 2 kp ) / n
 Para los demás valores de k se repiten las
soluciones cíclicamente
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 La exponencial compleja se define muy
fácilmente: Sea a=(a,b), entonces
a
e =e
a + ib
= e ( e ) = e (cos b + i sin b )
 Nótese que:
a
ib
a
a

e e =e
e =1
0
a +
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 El logaritmo de un número complejo en
realidad son infinitos complejos. En
concreto:
ln(  q ) = ln  + i ( q + 2 k p ),
k = 0 ,  1,  2 ,  3 ,...
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 La justificación de lo anterior es como
sigue:
Sea
 q =  (cos q + i sin q )

e =  q   = ln(  q )
Si  = u + iv se tiene :

e =e
u + iv
=e e
u
iv
= e (cos v + i sin v )
u
 q =  (cos q + i sin q ), luego
e =  , o bien, u = ln 
u
v = q + 2 k p , en definitiva
y
:
 = ln(  q ) = u + iv = ln  + i ( q + 2 k p )
LOS NUMEROS COMPLEJOS
 Para k=0 se obtiene el valor principal del
logaritmo, con
pq p
Ln (  q ) = ln  + i q
 Nótese que: e ln(  q ) =  q
 Se define m mediante
e
 ln m
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 EJEMPLOS:
– 1) loge(-2)
log e (  2 ) = ln( 2 p ) = ln 2 + i ( p + 2 k p ) =
ln 2 + i (1 + 2 k ) p  Ln (  2 ) = ln 2 + i p
– 2) (-2)p
p
p
(2) = (2 p ) = e
e
p ln 2
e
i (1 + 2 k ) p
2
=e
p ln( 2 p )
p ln 2
=e
p (ln 2 + i (1 + 2 k ) p )
=
(cos( 1 + 2 k ) p + i sin( 1 + 2 k ) p )
2
2
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 EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
p
(2) = e
– 3) ii
p ln 2
(cos p + i sin p ) =
2
2
- 7.9662 - i 3.7974
i =e
i
e
i ln i
=e
i ln( 1 p / 2 )
i (ln 1 + i ( p / 2 + 2 k p ))
=e
=
 ( p / 2 + 2 kp )
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 EJEMPLOS:
– En el caso anterior si k=0 se obtiene el valor
principal del resultado (con redondeo a cuatro
cifras decimales):
i =e
i
p/2
= 0 . 2079
– 4) Hállese las fórmulas del coseno y seno del
ángulo doble.
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 EJEMPLOS:
– Se tiene que
(cos q + i sin q ) = (cos 2 q + i sin 2 q ) 
2
cos 2 q = cos q  sin
2
sin 2 q = 2 sin q cos q
2
q