Transcript Mouvement d`une particule chargée dans un champ

Mouvement d’une particule chargée
dans un champ électrique et/ou
magnétique uniforme et permanent
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1
Plan
 Création d'un champ électrique
 Création d'un champ magnétique
 Force de Lorentz
 Energie d'une particule
 Mvt dans E
 Mvt dans B
 Mvt dans E et B croisés
 Cas relativiste
• Mvt dans E
• Mvt dans B
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2
Champ électrique
Créé par une charge ponctuelle
A partir de la loi de Coulomb,
q
F 
M
où
r
q
qq 0
4  0 r
2
ur
u r  M 0M r
0
M
0
on définit le champ électrique créé par q 0 en M
F  q E 0 (M )
E 0 (M ) 
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q0
4  0 r
2
ur
3
Champ électrique
Créé par une distribution de charges
 Charges ponctuelles :
E i ( M ) = champ créé en M par une charge q i (i=1 à N)
placée en M i
N
E( M ) 
 E i( M
)
i 1
 Distribution continue :
chaque volume élémentaire  V porte la charge  q
qui crée en M le champ d E ( M )
E( M ) 
 d E ( M
)
V
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Champ électrique uniforme et permanent
Créé par un condensateur plan
d
x
Q
E
-Q
E 
U
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U
ux
d
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Champ magnétique
Expérience d’Oersted
Orientation de l’aiguille aimantée selon un cercle centré sur
le fil
I
r
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Champ magnétique
Expérience d’Oersted
Orientation de l’aiguille aimantée parallèlement au champ
magnétique créé par le fil
B
I
B
r
0I
2 r
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Champ magnétique
Champ magnétique uniforme et permanent
Bobines d’Helmholtz
B
I
R
Solénoïde « infini »
I
R
R
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Force de Lorentz
• Particule de charge q et de masse m
• Vitesse v par rapport à R référentiel galiléen
• Présence d’un champ électrique E et d’un champ
magnétique B
La particule est soumise à la force
F  q(E  v  B)
appelée force de Lorentz
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Force de Lorentz
 Elle traduit une des interactions fondamentales de la
physique.
 Pas de limite à sa validité dans le cadre de nos
connaissances actuelles.
Valable en mécanique classique et relativiste
 La partie liée à la présence du champ magnétique
est perpendiculaire au champ B et à la vitesse v .
 L’analyse dimensionnelle comparée des deux termes
montre que E B est homogène à une vitesse.
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Force de Lorentz
Formule de transformation des champs
• La force de Lorentz et la charge q sont indépendantes
du choix du référentiel galiléen.
• Soit R  un référentiel galiléen en translation à la vitesse u
par rapport à R .
• Composition newtonienne des vitesses : v  v   u
donc


F  q E  ( v '  u )  B dans R

F  q E ' v '  B '
E ' E u B
et

dans R 
B ' B
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Force de Lorentz
Equation du mouvement
 On néglige les effets du poids de la particule par rapport
à ceux de la force de Lorentz
 Deuxième loi de Newton en mécanique classique :
dv
dt


E  v  B
m
q
 Seule q / m , appelée charge spécifique, est
expérimentalement accessible à la mesure
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Energie mécanique d'une particule
 Pour E permanent , F E  q E dérive de l’énergie
potentielle
E p  qV  cte
où V est le potentiel électrostatique
 F B  q v  B ne travaille pas
 L'énergie mécanique de la particule
Em 
1
mv
2
 qV
2
est une constante du mouvement
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Energie mécanique d'une particule
Application : optique électronique
 Emission d’électrons  e, m  en O à

vitesse nulle v  0 et
 potentiel électrique nul : V  0
 Grilles G 1 et G 2 transparentes aux électrons et
portées aux potentiels électriques V et V avec
2
1
0  V1  V 2
 Absence de champ magnétique
 Mouvement des électrons entre l’émission et la
première grille et entre les deux grilles ?
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Energie mécanique d'une particule
Application : optique électronique
V2
V1
E
V 0
 E p  0 en O
 E p   eV 1  0 sur G 1
force de O vers G1
O
 U 0
U  V 2  V1
donc E de G2 vers G1
force de G1 vers G2
G1
G2
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Energie mécanique d'une particule
Application : optique électronique
Conservation de E m :
1
2
2
mv 1
 eV 1 
v1 
v2 
1
2
2
mv 2  eV 2  0
2 eV 1
m
2 eV 2
m
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Energie mécanique d'une particule
Application : optique électronique
 Projection de
V2
V1
E
m
dv
 eE
dt
v2
v1
perpendiculairement à E
i2
 v1 sin i1  v 2 sin i 2
i1
V1 sin i1 
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V 2 sin i 2
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Mouvement d'une particule dans un
champ électrique uniforme et permanent
 Particule q, m  soumise à l’action de E uniforme et
permanent
dv
q

E
dt
m
 Point matériel M (m ) soumis à l’action d’un
champ de pesanteur g uniforme et permanent
dv
 g
dt
Trajectoire parabolique dans les deux cas
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Mouvement dans un champ électrique
Application 1 : accélérateur linéaire
Accélérateur linéaire de Stanford
• 3,2 km de long-60 GeV pour les électrons et positrons
• 3 prix Nobel :
• 1976 : Découverte du quark charm
• 1990 : Structure en quarks du proton et du neutron
• 1995 : Découverte du lepton tau
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v0
E
Série de tubes conducteurs séparés par de faibles interstices
 Entre deux tubes voisins est appliquée une tension alternative
champ électrique alternatif
 A l'intérieur d'un tube :
le champ est nul et les particules conservent une vitesse constante
 Dans l'espace entre les tubes :
le champ accélère les particules, à condition qu'elles soient
convenablement synchronisées :
 E c  q (U n  U n 1 )
 Les tubes sont de plus en plus longs : le temps de parcours dans
chaque tube doit être identique et égal à une demi-période
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Mouvement dans un champ électrique
Application 2 : déviation électrostatique

U
 Déviation de la particule q, m  par le champ
électrique E  (U / d ) e y
 Passage en O ( x  0 , y  0 ) à t  0
avec la vitesse
v0  v0 e x
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Mouvement dans un champ électrique
Application 2 : déviation électrostatique
 Deuxième loi Newton projetée
selon Ox :
dv x dt  0  v x  v 0  x  v 0 t
selon Oy : dv y dt  qU md  v y  qUt md
 En sortie du condensateur :
donc v Ax  v 0
et
x A  v0t A  l
v Ay  qUt
A
md  qUl mdv
0
Déviation de la trajectoire de la particule :
tan   v ay v Ax  qUl mdv
Si L  l ,
  L tan   qULl
mdv
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2
0
2
0
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Mouvement dans un champ électrique
Application 2 : déviation électrostatique
Utilisation dans un tube cathodique
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Mouvement dans un champ électrique
Application 3 : Conduction dans un métal par les
électrons libres
 Vecteur densité de courant :
où
j   e v e   ne ev e
n e = densité volumique d’électron libre
v e = vitesse d’ensemble (moyenne) des électrons
 Deuxième loi de Newton pour un électron
m
dv
dt
 eE
v  v0 
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et
E
m
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Mouvement dans un champ électrique
Application 3 : Conduction dans un métal
 Métal =réseau cristallographique idéal + défauts
 Déplacement des électrons + chocs sur les constituants du
réseau et les défauts
v e  v  v 0   ( e  m ) E
 v 0 :
vitesse moyenne d’un électron après un choc
v0
de direction aléatoire
 v 0  0
 : temps moyen entre deux chocs successifs
Loi d’Ohm locale :
j e  (ne e  m ) E   E
2
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Mouvement dans un champ électrique
Application 3 : Conduction dans un métal
 Conductivité du métal :   n e e  m
2

I  je S
U
E U L
U 
L
S
I
I
Résistance du
conducteur
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S
L
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
 La force de Lorentz se réduit à sa partie magnétique :
FB  q v  B
 F B est perpendiculaire à v et B :
PB  F B  v  0
Aucune puissance n’est fournie à la particule
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
v
.
m
dv
dt

 qv  B
 .v

d 1
 mv
dt  2
2

0

L’énergie cinétique E c  mv 2 2 de la particule
est une constante du mouvement
Le module v de la vitesse est une constante du
mouvement
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Produit vectoriel
• Cas général
 y B z  z B y 
Bx 
 x 




 
v y
 B  B y    z B x  x B z 
 
 x B  y B 


 z 
B
y
x
 z

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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
 Expérience : particule q, m  soumise à l’action
d'un champ B uniforme et permanent avec une
vitesse initiale v 0 perpendiculaire à B
 Choix d’un repère adapté :
• O position initiale de la particule
• Ox dans le sens et la direction de v 0  v 0 e x
• Oz dans le sens et la direction de B  B e z
• Oy tel que (Oxyz) orthogonal direct
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
 Deuxième loi de Newton :
x 
qB
y
x (t  0 )  y (t  0 )  z (t  0 )  0
(1)
m
y  
qB
m
z  0
avec
x
(2)
x ( t  0 )  v 0
y ( t  0 )  z ( t  0 )  0
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
• Selon
Oz :
z  0  z  cte  z ( t  0 )  0
 z  cte  z ( t  0 )  0
Le mouvement de la particule se fait dans un plan
perpendiculaire au champ magnétique
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
• Dans le plan (Oxy) du mouvement :
x 
qB
y
y  
(1)
m
qB
x
(2)
m
Soit u  x  iy et l’équation (3)=(1)+ i(2)
u 
qB
m
( y  i x )   i
qB
( x  i y )   i
m
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qB
u
(3)
m
33
Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
• Résolution de
u  i
qB
u  0 ( 3 )
m
avec
u ( t  0 )  x ( t  0 )  i y ( t  0 )  v 0
qB 

u ( t )  v 0 exp   i
t
m 

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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
• En utilisant u ( t  0 )  x ( t  0 )  iy ( t  0 )  0
On obtient
soit
mv 0 
 exp
u (t )  i
qB 
mv 0 
 qB
 cos 
u (t )  i
qB 
 m

qB 

t   1 
 i
m 



 qB
t   1  i sin 

 m
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
t  

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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
• Sachant que
x ( t )  Re u ( t ) 
on obtient
et
y ( t )  Im u ( t ) 
 qB
x (t ) 
sin 
qB
 m
mv 0

t

mv 0 
 qB
 cos 
y (t ) 
qB 
 m
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

t   1 


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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
• On constate que

mv 0 

x   y 

qB


2
2
 mv 0
 
 qB




2
Trajectoire circulaire
de centre C :
de rayon :
X c 0
R 
Yc 
 mv 0
qB
mv 0
qB
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
 Si
q>0
y
v0
x
B
C
R
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
 Si
q<0
y
B
C
R
x
v0
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
Dans les deux cas la trajectoire est parcourue avec la
pulsation
qB
c 
m
appelée pulsation cyclotron
Cette pulsation  c et la période correspondante
Tc 
2
c
sont indépendantes de la vitesse de la particule
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
 Cas général :
v 0  v 0   v 0 //
avec
et

v 0 //  v 0


B B B
2
 (v 0

e z )e z
v 0   v 0  v 0 //
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
• On utilise
• O position initiale de la particule
• Oz selon B :
B  B ez
• Ox selon v 0  : v 0   v 0  e x
• Oy tel que (Oxyz) orthogonal direct
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
• On obtient
x (t ) 
mv 0 
qB
 qB
sin 
 m

t

mv 0  
 qB
 cos 
y (t ) 
qB 
 m


t   1 


z ( t )  v 0 // t
Mouvement hélicoïdal
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Mouvement d'une particule dans un champ
magnétique uniforme et permanent
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44
Mouvement dans un champ magnétique
Application : Déflexion magnétique

tan   y D
 l  R  si l  R
y 
DelB
mv 0
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45
Mouvement dans un champ magnétique
Application : Cyclotron
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46
Mouvement dans un champ magnétique
Application : Synchrotron


mv
 B
R 
 cte

qB

v
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47
Mouvement dans un champ magnétique
http://www.synchrotron-soleil.fr
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48
Mouvement dans un champ magnétique
Application : Spectrographe de masse
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49
Mouvement dans un champ magnétique
Application : Force de Laplace
d F  Id l  B
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50
Mouvement dans un champ magnétique
Application : Balance de Cotton
mgl  BIal '
B 
mgl
Ial '
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51
Mouvement dans E et B uniformes,
permanents et perpendiculaires
y
 v (t  0 )  v 0  v 0 e x
E
 E  Eey
v0
x
 B  Bez
B
z
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52
Mouvement dans E et B uniformes,
Mise en équation
 Deuxième loi de Newton
x
0
x
0
m a y  q E E  q v y  B 0
z
0
z
B
y B
 x B
0
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53
Mouvement dans E et B uniformes,
Equations du mouvement
x 
qB
y
m
y  
qB
x 
m
qE
m
z  0  ......  z  0  t  0
Mouvement plan
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54
Mouvement dans E et B uniformes,
Equations du mouvement
 Détermination de x(t) et y(t)
x 
qB
y (1)
m
y  
qB
m
avec
ou…
x 
qE
(2)
m
u=x+iy vérifiant l’équation
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(1)+i(2)
55
Mouvement dans E et B uniformes,
Equations du mouvement
 Détermination de x(t) et y(t)
x 
qB
 x 
y
m
y  
qB
m
qB
x 
y  v 0 puisque
x ( t  0 )  v 0
y (t  0 )  0
qE
m
m
2
qB  E
 qB 

y  
 y 
  v0 
m B
 m 

avec y ( t  0 )  0
et
y ( t  0 )  0
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56
Mouvement dans E et B uniformes,
Equations du mouvement
m 
E
y (t ) 
 v 0   (cos  c t  1)
qB 
B
donc
E
E

x 
y  v 0   v 0   cos  c t 
m
B
B

qB
1 
E
E
x (t ) 
t
 v 0   sin  c t 
c 
B
B
puisque x ( t  0 )  0
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57
Mouvement dans E et B uniformes,
Cas particuliers
 Si v 0  0
x (t ) 
y (t ) 
vD
c
vD
c
 c t  sin  c t 
où v D  E B est
(1  cos  c t )
la vitesse de dérive
Cycloïde
 Si v 0  v D ,
x (t )  v 0 t
y (t )  0
t  0
Mouvement rectiligne
et uniforme
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Mouvement dans E et B uniformes,
Filtre de vitesse
v0  v D
v0  v D
diaphragme
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59
Mouvement dans E et B uniformes,
Effet Hall
Champ magnétostatique
B
Déplacement des charges positives et
négatives sur les faces 1 et 2
Création d’un champ électrique E H
de la face 1 vers la face 2
VH
a
Mouvement des charges selon Ox
F  q(E H  v  B)  0
b
1
EH
x
E H  vB 
IB
n q ab
 ( n q v ) ab
2
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V H  aE H 
IB
nqb
60
Mouvement dans E et B uniformes,
Sonde à effet Hall pour mesurer des champs
magnétiques
 L’intensité I est imposée par le circuit d’alimentation.
 Le nombre de porteur de charge n par unité de volume
et la charge q de chaque de porteur dépendent du métal
conducteur utilisé.
 b dépend de la géométrie du conducteur
 La mesure de la tension V H (quelques micro volts)
permet grâce à
VH 
IB
nqb
de déterminer le module B du champ magnétique
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61
Mouvement dans E et B uniformes,
Cas relativiste
 Si la condition v<<c n’est plus vérifiée,
la seconde loi de Newton s’écrit toujours
d p
 F
dt
avec p 
 m v et 
1
1  (v / c )
2
Les forces conservent les mêmes expressions
F  q[ E  v  B ]
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62
Mouvement dans B uniforme,
Cas relativiste
 Résultats de la dynamique relativiste
dE
 F .v
dt
avec F  q ( v  B )  v
et E   mc
 E=cte
( E  mv
2
2
/ 2  mc
2
si v  c )
γ =cte et v=cte
 m
dv
 qv  B
dt
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63
Mouvement dans B uniforme,
Cas relativiste
 Si v ( t  0 )  B , la trajectoire est circulaire :
R 
 mv
qB
c 
qB
m
 La période du mouvement dépend de v contrairement au
cas du cyclotron dans le cas non relativiste
Désynchronisation
progressive
du
mouvement
hémicirculaire de la particule par rapport au champ
électrique accélérateur.
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Mouvement dans E uniforme,
Cas relativiste
 Particule (q,m) initialement au repos et soumise au
champ électrique E uniforme et permanent.
 Mise en équation :
E  Exex
x ( t  0 )  x ( t  0 )  0

d 
m x
dt  1   x c  2


  qE
x


x
1   x c 
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
2
qE x
t
m
65
Mouvement dans E uniforme,
Cas relativiste
• On en déduit
qE x
t
m
x 
2
 qE x  2
1 
 t
 mc 
• Si t  mc qE x , x 
• Si
t  mc qE x ,
qE x
t
(mécanique classique)
m
x  c
Existence d’une vitesse limite
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Mouvement dans E uniforme,
Cas relativiste
• On obtient
x (t ) 
mc
2
qE x
• Si
t  mc qE x ,
2


qE
2
x 
 1  
 t  1


 mc 


x (t ) 
qE x
t
2
2m
1 2
en utilisant (1  u )  1  u 2 si u  1
• Si t  mc qE x , x ( t )  ct
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Mouvement d’une particule chargée dans un
champ électrique et/ou magnétique uniforme
et permanent
 Création d'un champ électrique
 Création d'un champ magnétique
 Force de Lorentz
 Energie d'une particule
 Mvt dans E
 Mvt dans B
 Mvt dans E et B croisés
 Cas relativiste
• Mvt dans E
• Mvt dans B
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