Transcript Graf Tidak Berarah

PART 2
GRAF TIDAK BERARAH
Dosen : Ahmad Apandi, ST
Jenis Graf (berdasarkan orientasi arah)
 Graf tak berarah
 Graf berarah
Graf tak berarah
Graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah disebut
graf tak berarah. Pada graf tak – berarah, urutan pasangan
simpul yang dihubungkan oleh sisi tidak di perhatikan. Jadi
(u,v) = (v,u) adalah sisi yang sama.
Graf Berarah
Graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah. Sisi berarah
disebut sebagai arch (busur). Pada graf berarah, (u,v) dan (v,u)
menyatakan dua buah busur yang berbeda. Untuk simpul (u,v),
simpul u dinamakan simpul asal dan simpul v disebut sebagai
Simpul Terminal.
Graf tak berarah
• Pada Graf tak berarah terdapat graf lengkap (complete graph)
• Graf Lengkap (Complete Graph) dengan n titik (simbol Kn)
adalah graf sederhana dengan n titik, di mana setiap 2 titik
berbeda dihubungkan dengan suatu garis.
• Banyaknya garis dalam suatu graf lengkap dengan n titik adalah
n(n-1)/2
Graf tak berarah
Contoh soal :
Gambarlah K2, K3, K4, K5, !
Graf tak berarah
Graf tak berarah
• Pada Graf tak berarah terdapat graf berlabel
• Graf G disebut berlabel jika ruas dan atau simpulnya dikaitkan dengan suatu
besaran tertentu. Khususnya jika setiap ruas e dari G dikaitkan dengan suatu
bilangan non negatif d(e), maka d(e) disebut bobot atau panjang dari ruas e.
• Bobot suatu garis dapat mewakili “jarak”, “biaya”, “panjang”, “kapasitas”,
dll.
Representasi Graf tak berarah
Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)
A = [aij],
1, jika simpul i dan j bertetangga
aij = {
0, jika simpul i dan j tidak bertetangga
Representasi Graf tak berarah
Matriks Ketetanggaan (adjacency matrix)
Representasi Graf tak berarah
Matriks Bersisian (incidency matrix)
A = [aij],
1,
jika simpul i bersisian dengan sisi j
aij = {
0, jika simpul i tidak bersisian dengan sisi j
Representasi Graf tak berarah
Matriks Bersisian (incidency matrix)
Representasi Graf tak berarah
Senarai Ketetanggaan (adjacency list)
Kasus pada graf tak berarah
 Masalah Lintasan Euler
 Masalah Pedagang Keliling (Travelling Salesman Problem)
Lintasan Euler
• Lintasan Euler ialah lintasan yang melalui masing-masing sisi di dalam
graf tepat satu kali.
• Sirkuit Euler ialah sirkuit yang melewati masing-masing sisi tepat satu
kali
• Graf yang mempunyai sirkuit Euler disebut graf Euler (Eulerian graph).
Graf yang mempunyai lintasan Euler dinamakan juga graf semi-Euler
(semi-Eulerian graph).
Lintasan Euler (Graf Semi Euler)
Lintasan Euler pada graf Gambar tsb adalah :
1, 2, 3, 4, 1, 3
Sirkuit Euler (Graf Euler)
Sirkuit Euler pada graf Gambar tsb adalah :
1, 2, 3, 4, 7, 3, 5, 7, 6, 5, 2, 6, 1
Contoh bukan graf euler maupun semi euler
Tidak mempunyai lintasan maupun sirkuit
Euler
Lintasan dan Sirkuit Hamilton
• Lintasan Hamilton ialah lintasan yang melalui tiap simpul di dalam graf
tepat satu kali.
• Sirkuit Hamilton ialah sirkuit yang melalui tiap simpul di dalam graf
tepat satu kali, kecuali simpul asal (sekaligus simpul akhir) yang dilalui
dua kali.
• Graf yang memiliki sirkuit Hamilton dinamakan graf Hamilton, sedangkan
graf yang hanya memiliki lintasan Hamilton disebut graf semi-Hamilton.
Lintasan dan Sirkuit Hamilton
(a) graf yang memiliki lintasan Hamilton
(misal: 3, 2, 1, 4)
(b) graf yang memiliki lintasan Hamilton (1, 2, 3, 4, 1)
(c) graf yang tidak memiliki lintasan maupun sirkuit
Hamilton
Perbedaan Sirkuit Euler dengan Sirkuit Hamilton
 Dalam Sirkuit Euler semua garis harus dilalui tepat satu
kali, sedangkan semua titiknya boleh dikunjungi lebih dari
sekali.
 Dalam Sirkuit Hamilton semua titiknya harus dikunjungi
tepat satu kali dan tidak harus melalui semua garis.
Travelling Salesman Problem (TSP)
 TSP adalah problem untuk mengoptimasi dan menemukan perjalanan (tour) yang paling
terpendek.
 TSP adalah problem untuk menentukan urutan dari sejumlah kota yang harus dilalui oleh
salesman, setiap kota hanya boleh dilalui satu kali dalam perjalanannya, dan perjalanan
tersebut harus berakhir pada kota keberangkatannya dimana salesman tersebut memulai
perjalananya, dengan jarak antara setiap kota satu dengan kota lainnya sudah diketahui.
 Salesman tersebut harus meminimalkan pengeluaran biaya, dan jarak yang harus ditempuh
untuk perjalanannya tersebut.
Algoritma Exhaustive pada TSP
Algoritma exhaustive, yaitu dengan mencari semua kombinasi
yang mungkin terjadi, kemudian memilih kombinasi perjalanan
dengan jarak terdekat, algoritma ini mempunyai kompleksitas
n!/2n.
Algoritma Exhaustive Search pada TSP
 Enumerasikan (list) semua sirkuit Hamilton dari graf lengkap
dengan n buah simpul.
 Hitung (evaluasi) bobot setiap sirkuit Hamilton yang
ditemukan pada langkah 1.
 Pilih sirkuit Hamilton yang mempunyai bobot paling terkecil.
Implementasi TSP pada Kota (3 Kota)
TSP dengan 3 kota (1, 2, 3) hanya mempunyai satu kemungkinan
seperti gambar dibawah ini :
Implementasi TSP pada Kota (4 Kota)
Graf tsb memiliki 4!/2(4) = 3 sirkuit Hamilton
Misalkan simpul a adalah kota tempat dimulainya
perjalanan (starting city). Enumerasikan semua
sirkuit hamilton sebagai berikut :
I1 = (a, b, c, d, a) atau (a, d, c, b, a) ==> panjang = 10 + 12 + 8 + 15 = 45
I2 = (a, c, d, b, a) atau (a, b, d, c, a) ==> panjang = 12 + 5 + 9 + 15 = 41
I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) ==> panjang = 10 + 5 + 9 + 8 = 32
Jadi, sirkuit Hamilton terpendek adalah I3 = (a, c, b, d, a) atau (a, d, b, c, a) dengan
panjang sirkuit = 10 + 5 + 9 + 8 = 32.
Implementasi TSP pada Kota (5 Kota)
Graf tsb memiliki 5!/2(5) = 12 sirkuit Hamilton
Misalkan simpul a adalah kota tempat dimulainya
perjalanan (starting city). Enumerasikan semua
sirkuit hamilton sebagai berikut :
I1 = (1, 2, 3, 4, 5,1) atau (1, 5, 4, 3, 2,1)
I2 = (1,2,5,4,3,1) atau (1,3,4,5,2,1)
I3 = (1,2,3,5,4,1) atau (1,4,5,3,2,1 )
:
:
I12 =………………………………………
Kesimpulan TSP
 Travelling salesman problem adalah suatu permasalahan dalam
menentukan sirkuit terpendek dari suatu simpul ke seluruh simpul lain
tepat satu kali dan kembali ke simpul asal.
 Algoritma exhaustive, yaitu dengan mencari semua kombinasi yang
mungkin terjadi, kemudian memilih kombinasi perjalanan dengan jarak
terdekat, algoritma ini mempunyai kompleksitas n!/2n.
Latihan
1. Gambarkan graf lengkap (complete graph) dengan 6 titik
2. Apakah gambar dibawah ini merupakan graf euler atau graf
semi euler, tuliskan lintasannya !
Latihan
3. Apakah gambar dibawah ini merupakan graf euler atau graf
semi euler, tuliskan lintasannya !
Latihan
4. Buat matriks ketetanggan (adjacency matrix) dari graf
berikut !
Latihan
5. Buat list ketetanggan (adjacency list) dari graf berikut !
Latihan
6. Cari jarak terpendek dari graf berikut menggunakan algoritma exhaustive pada TSP