Transcript Αξιολόγηση_10

Απαντήσεις
Αξιολόγηση 10: Όρια συνάρτησης στο άπειρο
Θεωρία
Α1
Α2
Α3
Β Αν α > 1 , τότε lim log α x = +∞ και lim log α x = −∞
x → +∞
x →0
Αν 0 < α < 1 , τότε lim log α x = −∞ και lim log α x = +∞
x → +∞
Γ1 Σ
x →0
Γ2 Λ
Γ3 Λ
Γ4 Σ
Θέµα 1
x 2 + x + 1 + 5x
Α) lim
x → +∞
Β) Είναι
|x|= x
αφού x > 0
2
x + 2x + 3 + 2x
xηµ 2 x
Είναι lim
4
x +1
x → +∞
=
x
x4 + 1
x
4
x +1
= lim
x → +∞
=
⎛
⎞
1
1
x⎜ 1 + + 2 + 5 ⎟
⎜
⎟
x x
⎝
⎠ 6
lim
= =2
x → +∞ ⎛
⎞ 3
2
3
x⎜ 1 + + 2 + 2 ⎟
⎜
⎟
x x
⎝
⎠
⋅ | ηµ 2 x |≤
x
x4
= lim
x → +∞
x
4
x +1
1
x3
, άρα −
x
4
x +1
≤
xηµ 2 x
4
x +1
≤
x
4
x +1
.
= 0
⎡
xηµ 2 x
x ⎤
= lim ⎢ − 4
= 0
Εποµένως lim 4
⎥ = 0 από Κ.Π. xlim
x → +∞ x + 1
x → +∞ ⎣
→ +∞ x 4 + 1
x + 1⎦
x
Κατεύθυνση Γ’ Λυκείου
Επιµέλεια Χαλιάσος Κώστας
Απαντήσεις
Γ) lim ( 4 x 2 + 3x + 1 + x 2 + 5 − 3x + 1) =
x → +∞
lim ⎛⎜ ( 4 x 2 + 3x + 1 − 2x ) + ( x 2 + 5 − x ) + 1⎞⎟ =
x → +∞ ⎝
⎠
⎛ ( 4 x 2 + 3x + 1 − 2x )( 4 x 2 + 3x + 1 + 2x ) ( x 2 + 5 − x )( x 2 + 5 + x )
⎞
lim ⎜
+
+ 1⎟ =
⎟
x → +∞ ⎜
4 x 2 + 3x + 1 + 2x
x2 + 5 + x
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟ |x|= x
2
2
2
2
⎜ 4 x + 3x + 1 − 4 x
⎟ αφού x > 0
x +5−x
+
+ 1⎟ =
lim ⎜
x → +∞
⎜ | x | 4 + 3 + 1 + 2x | x | 1 + 5 + x
⎟
⎜
⎟
2
2
x x
x
⎝
⎠
⎞
⎛
1⎞
⎛
⎟
⎜
x⎜ 3 + ⎟
⎟ 3
⎜
7
x⎠
5
⎝
lim ⎜
+
+ 1⎟ = + 0 + 1 =
x → +∞ ⎜ ⎛
4
⎞
⎛
⎞
⎟ 4
3
1
5
⎟
⎜ x⎜⎜ 4 + + 2 + 2 ⎟⎟ x⎜⎜ 1 + 2 + 1⎟⎟
⎟
⎜
x x
x
⎠
⎝
⎠
⎠
⎝ ⎝
∆) lim
x → +∞
e x − e −x
e x + e −x
e 2x
2x
lim e 2 x
x → +∞ e
e 2x
−
x
e −
e 2x − 1
1
x
x
e 2x − 1
e
e
= lim
=
= lim 2 x
= lim 2 x
1
x → +∞ x
x → +∞ e
x → +∞ e
1
+
+
1
e + x
e
ex
1
1−
1
e 2 x = lim
e 2x = 1
1
x → +∞
1
1 + 2x
+ 2x
e
e
Θέµα 2
lim
f ( x ) + λx − 1
2
x → +∞
xf (x ) − 5 x + 2 λx + 3
Άρα
−2 + λ
= 1 ⇔ λ = −6
4 + 2λ
Κατεύθυνση Γ’ Λυκείου
= lim
x → +∞
f (x )
1
+λ−
x
x
f (x ) − 5 x + 2 λ +
3
x
=
−2+λ
4 + 2λ
Επιµέλεια Χαλιάσος Κώστας
Απαντήσεις
Θέµα 3
Για λ > 3 έχουµε:
lim
x → +∞
λ x − 3 ⋅ 3x
λ ⋅ λx + 3x
= lim
x → +∞
⎛3⎞
1− 3 ⋅ ⎜ ⎟
⎝λ⎠
⎛3⎞
λ+⎜ ⎟
⎝λ⎠
x
=
x
1
λ
Για 0 < λ < 3 έχουµε:
x
lim
x → +∞
λ x − 3 ⋅ 3x
λ ⋅ λx + 3x
= lim
⎛λ⎞
⎜ ⎟ −3
⎝3⎠
x → +∞
x
⎛λ⎞
λ⋅⎜ ⎟ +1
⎝3⎠
= −3
Για λ = 3 έχουµε:
lim
x → +∞
3 x − 3 x +1
3 x +1 + 3 x
= lim
Κατεύθυνση Γ’ Λυκείου
x → +∞
3x − 3 ⋅ 3x
3 ⋅ 3x + 3x
= lim
x → +∞
− 2 ⋅ 3x
4 ⋅ 3x
= −
1
2
Επιµέλεια Χαλιάσος Κώστας