Transcript Programma del corso di Analisi Matematica 1 CdL

Programma del corso di Analisi Matematica 1
CdL Ingegneria Civile e Ambientale - a.a. 2011/2012
- Numeri Reali: Assioma di completezza, retta reale e funzione ascissa. Intervalli.
Maggiorante e minorante, insieme superiormente ed inferiormente limitato,
massimo e minimo, estremo superiore ed inferiore. Teorema di esistenza
dell’estremo superiore (dim). Proprieta' Archimedea (dim). Teorema di densità dei
numeri razionali (dim).
Principio di induzione. Identita’ di Gauss (dim), Diseguaglianza di Bernoulli (dim).
Somma delle prime n-potenze.
- Successioni numeriche: limite di successione. Teorema di unicitaʼ del limite (dim).
Successioni limitate e limitatezza delle successioni convergenti (dim). Prodotto di
una successione limitata per una infinitesima (dim). Algebra dei limiti finiti (dim.
somma). Successioni divergenti e successioni regolari. Algebra dei limiti infiniti e
forme indeterminate. Teorema della permanenza del segno e conseguenze (dim).
Teorema del confronto tra limiti finiti (dim). Limiti notevoli di seno e coseno (dim).
Successioni monotone. Teorema di regolaritaʼ delle successioni monotone (dim). Il
numero di Nepero. Diseguaglianza di Nepero e limiti notevoli coinvolgenti
esponenziale e logaritmo. Criterio del rapporto (dim) e gerarchia degli infiniti.
Ordine di infinito. Relazione di asintotico e proprietà' elementari.
- Funzioni reali: Dominio, codominio, immagine, controimmagine e grafico.
Operazioni tra funzioni: somma, differenza, prodotto e quoziente. Funzione
composta. Funzione iniettiva, suriettiva e bijettiva. Funzione inversa.
Limite di funzioni. Teorema di caratterizzazione sequenziale del limite di funzioni
(dim).
Funzioni limitate e Teorema sul limite di una funzione limitata per una funzione
infinitesima. Algebra dei limiti. Teorema sul limite delle funzioni composte (dim).
Funzioni asintotiche e proprietaʼ elementari. Teoremi della permanenza del segno
(dim) e del confronto. Estremo superiore ed inferiore, Teorema sul limite di funzioni
monotone (dim). Funzioni trascurabili (“o” piccolo) e proprietaʼ elementari. Ordine
di infinitesimo.
- Funzioni continue e Teorema di caratterizzazione sequenziale della continuitàʼ.
Continuitaʼ delle funzioni elementari (dim). Continuitaʼ di somma, prodotto e
quoziente di funzioni continue. Teorema sulla continuitaʼ della funzione composta.
Classificazione delle discontinuitaʼ, prolungamento per continuità. Teorema di
esistenza degli zeri (dim) e metodo di bisezione. Primo Teorema dei valori
intermedi (dim). Secondo Teorema dei valori intermedi (dim). Massimi e minimi,
punti di massimo e di minimo e Teorema di Weierstrass. Terzo Teorema dei valori
intermedi. Teorema sulla continuità' delle funzioni monotone. Teorema
sull'iniettivita' delle funzioni continue (dim). Teorema sulla continuità' della funzione
inversa (dim)
- Funzioni derivabili: interpretazione cinematica e geometrica: rette secanti e retta
tangente.
Derivabilitaʼ delle funzioni elementari (dim). Punti angolosi, cuspidi e punti a
tangente verticale. Funzioni differenziabili,Teorema del differenziale (dim) e
Formula degli incrementi finiti. Regole di derivazione di somma, prodotto e
quoziente di funzioni (dim. di somma e prodotto). Regola di derivazione della
funzione composta (dim) e della funzione inversa (dim). Massimi e minimi relativi,
Teorema di Fermat (dim). Teorema di Rolle (dim), Teorema di Lagrange (dim) e di
Cauchy. Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti (dim). Criterio di
monotonia (dim) e Criterio di monotonia stretta. Risoluzione di equazioni
trascendenti. Funzioni convesse su un intervallo aperto. Criterio di convessitaʼ per
funzioni derivabili (dim). Derivata seconda e Criterio di convessitaʼ per funzioni
derivabili due volte. Teorema di De lʼ Hopital nel caso 0/0 (dim). Condizione
sufficiente allʼesistenza della derivata in un punto (dim). Formula di Taylor di ordine
n con resto di Peano. Formula di Taylor delle funzioni elementari.
- Funzioni integrabili: partizione, somma integrale superiore e inferiore, integrale
superiore e inferiore, funzione integrabile secondo Riemann e integrale di
Riemann. Criterio di integrabilitaʼ (dim). Teorema di integrabilitaʼ delle funzioni
monotone (dim). Teorema di integrabilitaʼ delle funzioni continue. Proprietaʼ di
additivitaʼ, di linearitaʼ e di monotonia dellʼintegrale. Integrale definito e Funzione
integrale. Teorema di continuità della funzione integrale (dim). Teorema della
media integrale (dim). Teorema fondamentale del calcolo integrale (dim). Primitiva
di una funzione continua e Teorema di caratterizzazione delle primitive. Formula
fondamentale del calcolo integrale (dim). Integrale indefinito. Integrali immediati.
Integrali riconducibili ad integrali immediati. Proprietaʼ di linearitaʼ dellʼintegrale
indefinito. Regole di integrazione per parti e per sostituzione. Integrale di funzioni
razionali. Calcolo di aree e lunghezze.
- Integrali impropri su intervalli limitati: integrali impropri convergenti e divergenti.
Criterio del confronto (dim). Teorema sullʼassoluta convergenza dellʼintegrale
(dim). Criterio del confronto asintotico (dim. prima affermazione). Integrali impropri
su intervalli illimitati: integrali impropri convergenti e divergenti. Criterio del
confronto. Condizione necessaria alla convergenza (dim). Teorema sullʼassoluta
convergenza dellʼintegrale. Criterio del confronto asintotico. Studio di funzioni
integrali.
- Somme parziali e serie numeriche. Serie convergenti, divergenti e indeterminate.
Serie geometrica e serie armonica generalizzata. Condizione necessaria alla
convergenza (dim). Serie a termini non negativi: Criterio del confronto integrale
(dim). Criterio del confronto asintotico. Esempi. Criterio del rapporto (dim). Criterio
della radice (dim). Teorema sulla convergenza assoluta. Serie a termini di segno
alterno e Criterio di Leibniz (dim).
- Serie di potenze. Teorema di Abel di convergenza in intervalli (dim). Raggio di
convergenza.
Teorema sul raggio di convergenza. Metodo del rapporto di
D'Alembert (dim) e metodo della radice di Cauchy-Hadamard. Serie derivata e
integrata. Teorema di derivazione ed integrazione delle serie di potenze. Teorema
di sviluppabilita' in serie di taylor della somma di una serie di potenze. Serie di
Taylor e Teorema di sviluppabilita' in serie di Taylor. Sviluppo in serie di Taylor delle
funzioni elementari(dim).
Dispense del docente disponibili all'indirizzo www.dipmat.univpm.it/~alessio