Transcript 10–02–2017 Μαθη ατική Ανάλυση Β. Βλάχου και Γ. Ελευθεράκης Θέ

10–02–2017
Μαθηματική Ανάλυση
Β. Βλάχου και Γ. Ελευθεράκης
Θέμα 1ο:
α) ΄Εστω A ⊂ R αριθμήσιμο σύνολο. √
Να αποδείξετε ότι Ao = ∅ στον μετρικό χώρο (R, | · |).
β) Να βρείτε το σύνορο του συνόλου 3Q στον μετρικό χώρο (R, | · |) .
(2 μον)
Θέμα 2ο:
΄Εστω (X, d) και (Y, ρ) δύο μετρικοί χώροι και f : (X, d) → (Y, ρ) συνάρτηση. Δίνεται, επιπλέον, ότι
η f είναι συνεχής σε ένα σημείο x0 ∈ X. Χρησιμοποιώντας μόνο τον ορισμό σύγκλισης ακολουθίας
σε μετρικό χώρο και τον ορισμό συνέχειας συνάρτησης σε κάποιο σημείο να αποδείξετε ότι αν μια
ακολουθία (xn )n του X συγκλίνει στο x0 , τότε και η ακολουθία (f (xn ))n συγκλίνει στο f (x0 ).
(2 μον)
Θέμα 3ο:
√
Να αποδείξετε ότι η ακολουθία συναρτήσεων fn (x) = x2 +(−1)n cos(nn x) , x ≥ 0 συγκλίνει ομοιόμορφα
Z 1
και στην συνέχεια να υπολογιστεί το lim
fn (x)dx.
(2 μον)
n
Θέμα 4ο: Δίνεται η σειρά συναρτήσεων
0
∞
X
xsin2 (nx)
n=1
n2
, x ∈ R. Να δείξετε ότι:
α) Η σειρά συγκλίνει κατά σημείο στο R.
β) Η σειρά συγκλίνει ομοιόμορφα σε κάθε κλειστό υποδιάστημα των πραγματικών.
γ) Το όριο της σειράς είναι συνάρτηση συνεχής σε ολόκληρο το R.
(2 μον)
Θέμα 5ο:
΄Εστω (X, d) και (Y, ρ) μετρικοί χώροι. `Εστω, επιπλέον, ὸτι ο X είναι συμπαγής και η
f : (X, d) → (Y, ρ) είναι συνεχής συνάρτηση. Να αποδείξετε ότι f (A) = f (A) για κάθε A ⊂ X.
(2 μον)
ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ