Biomechanika przepływów

WYKŁAD 5 : RÓWNANIA KONSTYTUTYWNE C. D.

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Jak już wspomniano na wykładach wcześniejszych : Ciało będące pod działaniem pola sił

ulega deformacjom mierzonym jako odkształcenia, które zależą od charakterystyki materiału z którego zbudowane jest dane ciało.

Charakterystyka ciała reprezentowana jest przez odpowiednią relację pomiędzy polem naprężeń a odkształceniami, która to nazywana jest - relacją konstytutywną. Na poprzednim wykładzie omawiane były główne znane relacje konstytutywne opisywane za pomocą tensorowych równań konstytutywnych t. j.: Lepki płyn Newtonowski,

Płyn nielepki i Elastyczne ciało Hooka.

Teraz omówimy ogólniej trzy podstawowe relacje: ciała liniowo elastyczne,

ciała nie liniowo elastyczne, oraz ciała liniowo lepko – elastyczne.

 WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

Ciało Liniowo Elastyczne

Odkształcenie oraz naprężenie, mogą być reprezentowane za pomocą jednowymiarowych macierzy ( o wymiarze 6 x 1 ), ze względu na to iż, symetria powoduje że, jest tylko 6 różnych elementów tensorów odkształcenia i naprężenia: naprężenie:  1   11  2   22  3   33  4   12  5   23  6   13 odkształcenie:

e

1 

e

11

e

2 

e

22

e

3 

e

33

e

4 

e

12

e

5 

e

23

e

6 

e

13 Liniowe równanie dla materiałów izotropowych ( Prawo Hooka) może być zapisane:  

Ce



i



C ik e k i

,

k



1,2,....,6

(*) Elastic constitutive matrix  

 WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Wykorzystując założenie o izotropowości można wykazać że, C może być przedstawione Za pomocą dwóch stałych materiałowych : modułu Younga E i stałej Poissona ν. E przedstawia współczynnik proporcjonalności dla jednowymiarowego odkształcania:  

Ee

Natomiast ν jest stosunkiem wartości poprzecznego odkształcenia e yy do odkształcenia Wzdłużnego e xx kiedy materiał jest obciążany w kierunku x:  

e yy e xx

  

xx



 WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Różne formy stałej C dla różnych warunków fizycznych: Dla ogólnej 3-wymiarowej deformacji

C

  1 

E

  1    1    2                   1    1  1  0 0 0       1    1  1 0 0 0       1    1      1 0 0 0 0 0 0 0 0 1  2      0 0 0 0 1  2      0 0 0 0 0 0 1  2                     (**)

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Dla przypadków osiowo symetrycznych tj. :   Nie zerowe odkształcenia mogą być odniesione do:

e e

3 1  

e xx



xy e

2

e

4 

e yy



e zz

gdzie: γ – odkształcenie styczne   Macież C sprowadza się do pstaci 4 x 4 :

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. 

C

  1 

E

  1    1    2            1  1  1 0      1   1 0  1   0 0 1  2      0 Dla przypadku płaskiego (a)

C

  1 

E

  1    1    2          1  1  0   1   1 0 0 0 1  2              1   0 1  1            

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Przykład 1: Płaska membrana: Dla płaskiej membrany (płaskiego stanu naprężenia) w płaszczyźnie x-y mamy następujący warunek: 

zz

 0 

  WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. również wszystkie styczne naprężenia i odkształcenia w kierunku z są równe 0: 

xz

 

yz



0



xz

 

yz



0

stosując równanie (*) i (**) otrzymamy: 

zz

 0   1 

E

  1  2    1   2       1     

e xx



e yy

 

e zz

   Po przekształceniach otrzymujemy równanie określające odksztacenie normalne (na grubości membrany):

 WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

e zz

    1    

e xx



e yy

 po podstawieniu e zz w prierwszych dwóch równaniach dostajemy:   

xx

  1 

E

  1  2    1  2      

e xx

  1  

e yy

   1  2   2 

e xx



e yy

     1 

E

 2 

e xx

 

e yy

 

yy

  1 

E

  1  2    1  2        1  

e xx



e yy

   1  2   2 

e xx



e yy

     1 

E

 2  

e xx



e yy



WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. a więc konsekwentnie constytutywna macierz przybiera postać:

C



E

1 

v

2      1  0  1 0 0 0 1   2      

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D.

Podobną technikę można użyć do opisu zachowania się powierzchni sferycznej wprowadzamy nowy układ współrzędnych (lokalny: x 1 , x 2 , x 3 ) w którym macierz konstytutywna przybiera postać:

C

 1 

E v

2  1           0 0 0 0  1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1   2 0 0 0 0 0 0 1   2 0 0 0 0 0 0 1   2           

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. Przykład 2: Określenie siły reakcji dla przewodu kołowego pod ciśnieniem Prosta rura przedstawiona na rysunku nie podlega odkształceniom wzdłużnym. Rura znajduje się pod ciśnieniem wewnętrznym p. Grubość rury δ jest mała w porównaniu z promieniem przewodu R. Zakładamy również że, podpory pozwalają na zmianę średnicy przewodu. Można więc przyjąć iż stan naprężenie – odksztacenie jest jednolity dla przewodu.

 WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. niezerowe naprężenia w rurze to: naprężenie wzdłużne naprężenie obwodowe 

aa



cc

z warunków równowagi można wyprowadzić relację:

F p F c

 

2

2  

iner



cc



p



F p



F c

(siły na jednostkę długości) 

cc



R i



p

 

WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. poprzez istnienie wzdłużnych podpór, wzdłużne odksztacenie rury jest zerowe.

 korzystając z  

Ce

otrzymamy: 

e aa

 0 oraz macierzy konstytutywnej:

C



E

1 

v

2      1  0 

aa

 

E

1   2

e cc

  1 0 0 0 1   2      

 WYKŁAD 5 : Równania Konstytutywne C. D. odkształcenie obwodowe przyjmuje postać:

e cc

 1

E

 

cc

 

aa

  po podstawieniu do: 

aa

 

E

1   2

e cc

otrzymamy 

aa

 

R iner



p

 Siły reakcji na podporach wynoszą:

F A



F B

 

R

2

iner p

   

R iner

2     

aa

 

R iner

  1  2  

R iner

  

p