Transcript Himpunan
HIMPUNAN
DEFINISI
Himpunan atau set ialah suatu kumpulan/kelompok
elemen-elemen yang memenuhi syarat ke anggotaan,
Elemen-elemen tersebut dinamakan anggota dari
himpunan.
Himpunan biasanya disajikan dengan notasi atau
simbol { }, sedang keanggotaan disajikan dengan
simbol є. Apabila a menjadi anggota dari himpunan S,
maka cara meyajikannya ditulis sebagai berikut a є S
dan apabila p bukan anggota S maka ditulis p S .
Satu set huruf (besar dan kecil)
3
Cont…
Apabila a, b, c adalah anggota dari suatu himpunan S,
maka cara menyajikannya adalah S = { a, b, c} atau S =
{a, c, b} atau S = {b, a, c}
Jadi urutan dari anggota-anggota tidak diperhatikan.
Himpunan yang terdiri dari elemen-elemen yang
memenuhi sifat p ditulis dengan notasi {x │ x
memenuhi sifat p}
Misalnya : Himpunan bilangan riil yang lebih besar
dari 2 yaitu {x │ x riil, x >2 }
Cont…
Himpunan yang banyak anggota-anggotanya adalah
berhingga dinamakan himpunan berhingga (finite set).
Misalnya : H = {1, 2, 3, 4}, di sini berarti H mempunyai
empat anggota yaitu 1, 2, 3, 4.
Himpunan yang banyak anggota-anggotanya adalah
tak berhingga dinamakan himpunan tak berhingga
(infinite set).
Misalnya: K= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
Cont…
Himpunan kosong (void set) ialah himpunan yang tidak
mempunyai satu anggota pun dan biasanya disajikan
dengan simbol Ø.
Misalnya : {x │ x rasional, x2 = 2 } = Ø
Cont…
Definisi
: dua himpunan S dan T adalah sama, apabila
setiap anggota dari S menjadi anggota dari T dan
sebaliknya.
Definisi : Himpunan S disebut himpunan bagian dari T,
apabila setiap anggota dari S menjadi anggota dari T, dan
disajikan dengan simbol S T .
Contoh : T = {1, 2, 3, 4, 5, ...}
S = {2, 4, 6, 8, ...}
Cont…
Definisi : Irisan (intersection) dari dua himpunan
S dan T adalah himpunan yang anggota-anggotanya
terdiri dari elemen-elemen yang sekaligus berada
dalam S dan dalam T, disajikan dengan simbol S T .
Contoh :
S = {a, b, c, d}
T = {a, d, e, f} maka S T = {a, d}
Cont…
Definisi : Gabungan (union) dari dua himpunan S
dan T adalah himpunan yang anggota-anggotanya
terdiri dari semua elemen yang yang berada dalam S
atau T atau yang berada dalam keduanya S dan T,
disajikan dengan simbol S T, diucapkan gabungan
dari S dan T.
Contoh : dari contoh kedua himpunan diatas, maka
S T = {a, b, c, d, e, f}
Perhatikan gambar-gambar ven diagram dari himpunanhimpunan berikut:
gb. (a)
gb.(c)
gb. (e)
gb. (b)
gb. (d)
gb. (f)
Cont…
Keterangan Gambar :
gb. (c)
: dua himpunan S = {a, b, c} dan T = {d, e, f}
adalah saling asing, jadi S T = Ø ialah himpunan
kosong.
gb (d)
: dua himpunan S dan T saling asing, maka
S T terdiri dari semua elemen-elemen S dan semua
elemen-elemen T
S T = {a, b, c, d, e, f}
Cont…
Definisi
:
1. Komplemen (complement) dari S dengan simbol Sc ialah
himpunan elemen-elemen x є U dan x є S, dengan U adalah
himpunan (Universe) ..................................gb. (e).
2. S – T ialah himpunan elemen-elemen x є S dan x T .
Maka pada gb. (f ) yang dimaksud dengan S –T adalah
(a,b).
Contoh :
Komplemen, bila U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...}
S = {1, 3, 5, 7, ...}
Maka Sc = {2, 4, 6, 8, ...}
Cara Penyajian Himpunan
1.
Enumerasi
Setiap anggota himpunan didaftarkan secara rinci.
Contoh 1.
- Himpunan empat bilangan asli pertama: A = {1, 2, 3, 4}.
- Himpunan lima bilangan genap positif pertama: B = {4, 6, 8,
10}.
- C = {kucing, a, Amir, 10, paku}
- R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
- C = {a, {a}, {{a}} }
- K = { {} }
- Himpunan 100 buah bilangan asli pertama: {1, 2, ..., 100 }
- Himpunan bilangan bulat ditulis sebagai {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.
13
Keanggotaan
x A : x merupakan anggota himpunan A;
x A : x bukan merupakan anggota himpunan A.
Contoh 2.
Misalkan:
A = {1, 2, 3, 4}, R = { a, b, {a, b, c}, {a, c} }
K = {{}}
maka
3A
{a, b, c} R
cR
{} K
{} R
14
Contoh 3. Bila P1 = {a, b},
P2 = { {a, b} },
P3 = {{{a, b}}},
maka
a P1
a P2
P1 P2
P1 P3
P2 P3
15
2.
Simbol-simbol Baku
P = himpunan bilangan bulat positif = { 1, 2, 3, ... }
N = himpunan bilangan alami (natural) = { 1, 2, ... }
Z = himpunan bilangan bulat = { ..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }
Q = himpunan bilangan rasional
R = himpunan bilangan riil
C = himpunan bilangan kompleks
Himpunan yang universal: semesta, disimbolkan
dengan U.
Contoh: Misalkan U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A adalah
himpunan bagian dari U, dengan A = {1, 3, 5}.
16
3. Notasi Pembentuk Himpunan
Notasi: { x syarat yang harus dipenuhi oleh x }
Contoh 4.
(i) A adalah himpunan bilangan bulat positif kecil dari 5
A = { x | x bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}
atau A = { x | x P, x < 5 }
yang ekivalen dengan A = {1, 2, 3, 4}
17
4. Diagram Venn
Contoh 5.
Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8},
A = {1, 2, 3, 5} dan B = {2, 5, 6, 8}.
Diagram Venn:
U
A
1
3
B
2
5
7
8
6
4
18
Pemetaan (mapping)
Definisi : Pemetaan (mapping) dari S ke T ialah
suatu aturan yang pada setiap anggota dari S
menentukan dengan tunggal satu anggota dari T.
Contoh : Lima dadu dilempar dan ternyata nomornomor yang timbul yaitu 1,2, 3, 3, 4,.
Disajikan dengan pengertian himpunan, maka dapat
ditulis sebagai berikut:
S = {D1, D2, D3, D4, D5 } Di = dadu ke i, i = 1, 2,..., 5.
T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Dan pemetaan dari S ke T disajikan sebagai gambar (g) berikut :
S
T
D1
D2
D3
D4
D5
1
2
3
4
5
6
Jadi setiap anggota S mempunyai kawan (tunggal) di dalam
T atau dengan lain kata S harus dihabiskan, sedangkan T
tidak perlu habis.
Daerah sumber (S) dinamakan domain, daerah kawan
(T) dinamakan co-domain, sedangkan daerah hasil (1,
2, 3, 4) dinamakan range.
Pemetaan dari S ke T seperti kejadian di atas dinamakan
pemetaan S into T. Apabila setiap elemen dari T
mempunyai kawan dalam S atau dengan lain kata elemenelemen T juga dihabiskan, maka pemetaan dinamakan
pemetaan dari S onto T, pemetaan onto juga disebut
pemetaan yang surjectif.
Apabila setiap elemen di dalam T hanya mempunyai satu
kawan di dalam S atau dengan lain kata terdapat
korespondensi satu-satu antara S dan t, maka pemetaan
dari S ke T dinamakan pemetaan yang injectif.
Jelas bahwa pemetaan injectif adalah surjectif dan
pemetaan onto adalah into, tapi tidaklah berlaku
sebaliknya.
Sistem Bilangan Real
Bilangan asli : 1,2,3....
Bilangan bulat : ....,-3,-2,-1,0, 1,2,3,....
Bilangan Real : semua bilangan rasional dan tak
rasional.
Bilangan rasional : bilangan yang dapat ditulis dalam
m/n. contoh : 1/2, ¾,...
Bilangan tak rasional : √2, √3, ....
Cont...
Jadi himpunan bilangan dapat digambarkan :
R = Bil. riil
Q = Bil.
rasional
Z = Bil. bulat
N = Bil. asli
Sifat-Sifat Dari Operasi Aritmatika
Hukum komutatif : x + y = y + x dan xy = yx
Hukum asosiatif : x + (y + z) = (x+y) + z dan
x(yz) = (xy)z
Hukum distribusi : x(y+z) = xy + xz
Contoh :
4 – 2 (8-11)+6 = 4 – (2.8 – 2.11) + 6
= 4 – (16 - 22) + 6
= 4 – 16 + 22 + 6
= 16
Tugas
(3x – 4)(x + 1)
2. (2x – 3)2
1.
3.
5
5
x 1 x 3
4. Misalkan U = {1, 2, …, 7, 8}, A = {1, 2, 4, 5,6} dan B = {3, 5, 7,
8}. Buatlah diagram venn-nya!
5. Diketahui A={1,2,3,4,5} dan B={0,3,6}. Tentukan:
AB
AB