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UNIDAD 2
ELEMENTOS
DE
PROBABILIDAD
COMPARACIÓN
ENTRE
PROBABILIDAD
Y ESTADÍSTICA
La probabilidad y la estadística son dos campos ajenos
pero relacionados de las matemáticas.- Se ha dicho que
“la probabilidad es el vehículo de la estadística”.- Es
decir, que si no fuera por las leyes de la probabilidad, la
teoría de la estadística inferencial no sería posible.-
A continuación se ilustrará la relación y la diferencia entre
esta rama de las matemáticas (probabilidad) y estadística,
mediante la observación de dos cajas.-
Probabilidad
5A 5R 5B
Estadística
????
Se sabe que la caja de Probabilidad, contiene fichas de
póquer: cinco azules, cinco rojas y cinco blancas.- La
probabilidad intenta responder preguntas como “si se
extrae una ficha de la caja, ¿Cuál es la probabilidad de
que sea azul?.- En la caja de Estadística se ignora cual
es la combinación de fichas.- Se extrae una muestra y
con base en los resultados obtenidos en esta, se
hacen conjeturas sobre lo que se cree que hay en la
caja.- Observe la diferencia: la probabilidad,
pregunta sobre la posibilidad de que ocurra algo
específico (seleccionar una ficha azul) cuando se
conocen las posibilidades, es decir se conoce la
población.- Por otro lado, la estadística pide extraer
una muestra, describirla y luego hacer inferencia sobre
la población con base en la información que se obtuvo
de la muestra.-
La probabilidad constituye
la base para el estudio de
los métodos de la
ESTADISTICA
INFERENCIAL.-
PRIMEROS TEÓRICOS SOBRE PROBABILIDAD.-
Jacobo Bernoulli (1654-1705), Abrahan
De Moivre (1667-1754), el reverendo
Thomas Bayes (1702-1761), Joseph
Lagrange (1736-1813), desarrollaron
fórmulas y técnicas para el cálculo de
las probabilidades
En el siglo XIX,
Pierre Simón, marques de Laplace
(1749- 1827) unificó todas estas
primeras ideas y compiló la primera
teoría general de las probabilidades.-
Sin tener en cuenta la profesión que se haya
elegido, algo si es seguro; en algún momento se
han de tomar decisiones.- Con mucha frecuencia
esto tendrá que hacerse sin conocer todas las
consecuencias de tales decisiones.- Por ejemplo,
los inversionistas deben decidir sobre la
conveniencia de invertir en una acción en
particular, con base en sus expectativas sobre
rendimientos futuros.- Los empresarios, al decidir
comercializar
un
producto
enfrentan
la
incertidumbre sobre la posibilidad de éxito.- En
cada caso, como sucede con la mayoría de los
asuntos comerciales, se han de tomar decisiones
sin toda la información correspondiente.-
Todo esfuerzo por reducir el nivel de
incertidumbre en el proceso de toma de
decisiones incrementará enormemente la
probabilidad de que se tome decisiones más
inteligentes y bien informadas.- Al mejorar la
habilidad para juzgar la ocurrencia de eventos
futuros, se puede minimizar el riego y la
especulación arriesgada relacionadas con el
proceso de toma de decisiones.-
Las decisiones en los negocios, en la industria y
empresas en general se basan en el análisis de
incertidumbres en muchas de las situaciones que se le
presentan.-
Por ejemplo:
a)¿Cuál es la probabilidad de que cambien las ventas si se
incrementan los precios?.b) ¿Cuál es la probabilidad de que un proyecto se termine a
tiempo?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que una nueva inversión sea
rentable?.d) ¿Cuál es la probabilidad de que el nuevo método de trabajo
aumente la productividad?.e) Etc.-
El estudio y
cálculo de las probabilidades
se facilita mucho
si conocemos algo antes
de TEORÍA DE CONJUNTOS.-
VEAMOS ENTONCES LO
ELEMENTAL DE ESTE TEMA.-
TEORIA DE
LOS
CONJUNTOS
Algunas consideraciones de teoría de
conjuntos.
Fue Georg Cantor (1845-1918) quién en la
segunda mitad del siglo XIX empezó a desarrollar
la teoría de conjunto y esta no solo es importante
en el campo de las probabilidades y de la
estadística sino que es fundamental en el
desarrollo de toda la matemática moderna.
Veremos de conjunto solo lo elemental que
necesitamos para entender probabilidades ya
que su teoría es muy amplia.
CONJUNTO
Es una colección bien
definida de objetos.
ELEMENTOS
Son los objetos o cosas
de que esta formado
el conjunto
Por ejemplo, el curso de Estadística es un
conjunto donde los elementos son las
personas que lo componen; María, Sara,
Luís, Vanesa, Roberto, etc................................
Simbolizamos a los conjuntos con letras
mayúsculas, A; B; C;...........y con letras
minúsculas a los elementos de esos
conjuntos, a, b, c,........etc..
Un conjunto se puede describir
de dos manera diferente, por:
METODO DE
LISTA
METODO DE
LA REGLA
Supongamos que nos estamos refiriendo a los alumnos
de este curso, que son Susana, Luís, Carla, María, Beatriz
y Pedro.
Por el método de lista, a este conjunto que llamó A
podremos describirlo como;
A =  Susana, Luís, Carla, María, Beatriz, Pedro 
Por el método de la regla será;
A =  x / x es un alumnos del curso de Estadística 
Esto lo leemos como; A es el conjunto de todas las x tales
que x es un alumno de este curso de Estadística.- La línea
vertical / se lee tal que o tales que, según corresponda.
Conjunto Universal:
es el conjunto más
extenso por el cual hay interés en un análisis
dado. Se simboliza al conjunto universal con U.
Observamos aquí que hay una total coincidencia
entre lo que es una “población estadística” y el
conjunto universal.
Subconjunto: decimos que A es un subconjunto
de B si cada elemento de A es también un
elemento de B. Observamos aquí que “muestra”
es un subconjunto del conjunto “población”. Por
ejemplo si retomamos el ejemplo anterior, si:
B =  Susana, Luís 
decimos que B es un subconjunto de A que esta formado
por;
A =  Susana, Luís, María, Beatriz, Pedro 
CONJUNTO IGUALES Y DISTINTOS
Dos conjuntos A y B son iguales si ambos contienen
exactamente los mismos elementos. Por ejemplo:
Si A = 1,2,3,4
B = 1,2,3,4
decimos que
Si tenemos:
A = B
A = 1,2,3,4
decimos que
B = 1,2,3,4,5,6
A  B
Conjunto vacío:
El conjunto que no contiene ningún elemento se
llama conjunto vacío y se lo simboliza con .
Por ejemplo el conjunto A esta formado por todos
los
argentinos que viajaron a la Luna,
evidentemente el conjunto A será:
A = 
Operaciones con
conjuntos.
Veremos como pueden formarse nuevos
conjuntos realizando operaciones con ellos.
Los resultados de estas operaciones los
explicaremos por medio de los diagramas de
Venn, nombre que proviene del lógico ingles
John Venn (1834-1923), que fue quien creo esta
forma de representar conjuntos.
Por ejemplo:
U = 1,2,3,4,5
donde
en un diagrama de Venn, será:
U
1
A
5
2
3
4
A
A =  1,2,3
Llamamos “complemento”
De un subconjunto A del conjunto universal U, al
conjunto que consta de todos los elementos de U que no
son elementos del conjunto
A. Simbolizamos
al
complemento con una línea sobre la notación del
conjunto, por ejemplo A o también con A’.Del ejemplo anterior:
A
= 4,5
Intersección de dos conjuntos
La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto que
contiene todos los elementos de A y de B, es decir que son
los elementos comunes. Simbolizamos a la intersección
con  .- Ejemplo:
El conjunto A consta de todos los alumnos de 5º año que
toma Ingles y el conjunto B consta de todos los alumnos
que toman geografía del 5º año. El conjunto que consta de
todos los alumnos que toman Ingles y Geografía es la
intersección de A y B.
U
A
B
A ∩ B
Se dice que dos conjuntos A y B son mutuamente
excluyentes cuando no tienen elementos en común.
U
B
A
Por ejemplo:
A = 1,2,3
B = 4,5,6
A y B son mutuamente excluyentes puesto
que no tienen elementos en común.
A  B =   
UNION DE DOS CONJUNTOS
La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto que
consta de todos los elementos que son elementos de A o
de B o de ambos. Se simboliza la unión con 
Por ejemplo:
A = {1,2,3,4 }
B = {3,4,5,6 }
U
A
B
A  B = {1,2,3,4,5,6}
RELACIONES IMPORTANTES ENTRE LOS
CONJUNTOS:
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA
A (B U C) = ( A ∩ B) U
A U (B C) = (A U B) ∩
(A ∩ C)
(A U C)
LEYES DE MORGAN
A U B =
A∩ B
A ∩ B = A U
B
VEAMOS UN EJEMPLO COMPLETO:
Dado el conjunto Universal
U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
y damos
A = {1,2,3,4}
B = {3,4,5,6}
Calcular:
a) hacer el diagrama de Venn.
b) A  B
c) A  B
d)
A
e) Complemento de A  B.
U
7
9
8
A
1 2
B
3
5
10
4
6
Solución
b)
A  B = {1,2,3,4,5,6}
c)
A  B = {3,4}
d)
A = {5,6,7,8,9,10}
e)
A  B = {1,2,5,6,7,8,9,10}
EJERCICIOS PARA HACER EN CLASE
1.- Veinte motores se sacan de una línea de ensamble y se examinan
para ver si tienen defectos.- Once de los motores no tienen
defectos, ocho tienen defectos en el acabo exterior y 3 tienen
defectos en su armado y no funcionarán.- Sea A el conjunto de
motores que tienen defectos de armado y F el conjunto que tiene
defectos en su acabado exterior.- Con A y F, escribir una
notación simbólica para:
a)
b)
c)
d)
e)
Elaborar un diagrama de Venn para A y F.El conjunto de motores que tienen los dos tipos de defecto.El conjunto de motores que tiene por lo menos un tipo de defecto.El conjunto de motores que no tiene defectos.El conjunto de motores que tienen exactamente un tipo de
defecto.-
Mencionar a continuación el número de motores en cada
conjunto.-
1.- Veinte facturas de ventas se sacan en una Auditoria de cierto
comercio grande y se examinan para ver si tienen errores.- Once de
las facturas no tienen errores, ocho tienen errores en su
confección y 3 tienen errores en su monto.- Sea A el conjunto de
facturas que tienen errores en su monto y B el conjunto que tiene
errores en su confección.- Con A y B, escribir una notación
simbólica para:
a)
b)
c)
d)
e)
Elaborar un diagrama de Venn para A y B.El conjunto de facturas que tienen los dos tipos de errores.El conjunto de facturas que tiene por lo menos un tipo de error.El conjunto de facturas que no tiene errores.El conjunto de facturas que tienen exactamente un tipo de error.-
Mencionar a continuación el número de facturas en cada
conjunto.-
1.- De un lote de cerámico para piso exterior se sacan al azar veinte de
ellos para examinarlos si tienen fallas.- Once de los cerámicos no
tienen fallas, ocho tienen fallas en el brillo, y 3 tienen fallas en las
terminación.- Sea A el conjunto de cerámicas que tienen fallas en el
brillo y B el conjunto de cerámicas que tienen fallas en la
terminación.- Con A y B, escribir una notación simbólica
para:
a)
b)
c)
d)
e)
Elaborar un diagrama de Venn para A y B.El conjunto de cerámicas que tienen los dos tipos de fallas.El conjunto de cerámicas que tiene por lo menos un tipo de falla.El conjunto de cerámica que no tiene fallas.El conjunto de cerámicas que tienen exactamente un tipo de falla.-
Mencionar a continuación el número de cerámicas en
cada conjunto.o
1.- En un barrio se seleccionan veinte viviendas al azar para estudiar
la cantidad de hijos en edad escolar que hay.- Once de las
viviendas no tienen hijos en edad escolar, ocho tienen hijos en
edad escolar primaria y 3 tienen hijos en edad escolar secundaria.Sea A el conjunto de viviendas con hijos en escolaridad primaria y
B el conjunto de viviendas que tienen hijos en escolaridad
secundaria.- Con A y B, escribir una notación simbólica
para:
a) Elaborar un diagrama de Venn para A y B.b) El conjunto de viviendas que tienen hijos en los dos tipos de
escolaridad.c) El conjunto de viviendas que tiene hijos por lo menos en un tipo
de escolaridad.d) El conjunto de viviendas que no tiene hijos en ninguna
escolaridad.e) El conjunto de viviendas que tienen hijos exactamente en un tipo
de escolaridad.-
Mencionar a continuación el número de viviendas en cada
conjunto.-
1.- De un contingente de turistas que vinieron este invierno a La Rioja
se seleccionan veinte al azar para estudiar que recorrieron de la
provincia.- Once de los turistas no fueron a ningún lado, ocho
fueron a Talampaya y 3 fueron a Chilecito.- Sea A el conjunto de
turistas que fueron a Talampaya y B el conjunto de turistas que
fueron a Chilecito.- Con A y B, escribir una notación
simbólica para:
a) Elaborar un diagrama de Venn para A y B.b) El conjunto de turistas que fueron a los dos lados.c) El conjunto de turistas que fueron por lo menos a uno de los dos
lugares.d) El conjunto de turistas que no fueron a ninguno de los dos
lugares.e) El conjunto de turistas que fueron exactamente a uno de los dos
lugares.-
Mencionar a continuación el número de turistas en cada
conjunto.-
1.- En una cárcel se decide seleccionar al azar veinte presos para
estudiar si tienen enfermedades venéreas de alto riesgo.- Se
encontró que once de ellos no tienen ninguna de estas
enfermedades.- Ocho de los presos tienen Sida y tres tienen sífilis.Sea A el conjunto de presos que tienen sida y B el conjunto de
presos que tienen sífilis.- Con A y B, escribir una notación
simbólica para:
a) Elaborar un diagrama de Venn para A y B.b) El conjunto de presos que tienen las dos enfermedades.c) El conjunto de presos que tiene por lo menos una de las dos
enfermedades.d) El conjunto de presos que no tienen ninguna de las dos
enfermedades.e) El conjunto de presos que tienen exactamente una de las dos
enfermedades.-
Mencionar a continuación el número de presos en cada
conjunto.-
2.- De 25 microcomputadoras disponibles en un almacén,
10 de ellas tienen tarjetas adaptadoras para una
impresora, 5 tienen tarjetas adaptadoras
para un
módem y 13 no tienen ninguna de éstas.- Utilizar A para
representar a aquellas que tengan tarjetas de
impresoras, M para las que tienen tarjeta de módem y,
luego, representar simbólicamente los siguientes
conjuntos, así como mencionar el número de
microcomputadoras que hay en cada uno.a) Las que tienen ambas tarjetas.b) Las que no tengan tarjeta alguna.c) Las que solo tengan tarjetas para impresora.d) Las que tengan exactamente una de las tarjetas.Solución
3.- Una empresa adquiere una nueva maquina que debe instalarse y
probarse antes de que este lista para su uso.- La empresa esta
segura de que no tardara mas de 7 días en instalarla y probarla.Sea A el evento “ se necesitaran mas de 4 días para que la maquina
este lista” y B el evento “se necesitaran menos de 6 días para que
la maquina este lista”.a) Describa el evento que es complementario del evento A.b) Describa el evento que es la intersección de los eventos A y B.c) Describa el evento que es la unión de los eventos A y B.d) ¿son los eventos A y B mutuamente excluyentes?.e) ¿son los eventos A y B colectivamente exhaustivos?.f) Demuestre que (A ∩ B) U ( A ∩ B) = B
g) Demuestre que A U ( A ∩ B) = A U B
Solución
VISTO LO BASICO DE
TEORIA DE LOS CONJUNTOS
PODEMOS AHORA
INTRODUCIRNOS EN
LO ELEMENTAL DEL
MUNDO DE LAS
PROBABILIDADES
El término Probabilidad se refiere al estudio de la
aleatoriedad y la incertidumbre.-
Probabilidad, es la posibilidad o la oportunidad de que
ocurra un evento o suceso específico.La probabilidad es una proporción o fracción
cuyo valor se encuentra entre 0 y 1
inclusive.-
La probabilidad
es 0 cuando el
evento nunca va
a ocurrir.-
La probabilidad es 1 cuando
el evento ocurrirá con
seguridad.Se la explica siempre en %.-
En el estudio de las probabilidades
definimos:
• Experimento: un proceso que genera
resultados bien definidos.Ejemplos:
a) Tirar un dado al aire.b) Los sueldos de los empleados de una empresa.c) Las ventas de un comercio en cierto período.d) Observar las piezas producidas por una máquina.-
e) Tomar un test de CI a un grupo de alumnos.f) El estudio de metros cuadrados construidos en la
ciudad.g) Etc.-
Es aquel que proporciona
diferentes resultados aún
cuando se repita siempre de
la misma manera.Ejemplo: tirada al aire de un
dado
Experimento
Aleatorio
Es el conjunto de todos los
resultados de un experimento
aleatorio
ESPACIO
MUESTRAL
Lo simbolizamos
con S
Ejemplos:
Experimento aleatorio: tirar un dado al aire.
S = {1,2,3,4,5,6}
Experimento aleatorio: tirar una moneda al
aire
S= {cara, cruz}
LOS QUE TIENEN UN VALOR DE PROBABILIDAD SON LOS
EVENTOS:
EVENTO : SON
CADA UNO DE LOS
RESULTADOS DEL
EXPERIMENTO
ALEATORIO
Ejemplo
Experimento aleatorio: tirar un dado al aire
S = {1,2,3,4,5,6}
Pr (Salga un 4) es un evento simple
Pr (Salga un número par) es un evento
compuesto
Pueden ser:
Simples o
Compuestos
TECNICAS DE
CONTEO
UTILES EN
PROBABILIDADES
En muchas de las decisiones empresariales,
comerciales o de otra índole, requieren que se cuente el
número de subconjuntos que se pueden obtener de un
conjunto.- Cuando calculamos probabilidades, nos
encontramos que necesitamos poder calcular el número
de resultados posibles y favorables a un evento, donde
es imposible contarlos simplemente como en el caso de
la tirada de un dado al aire.- Para estos casos debemos
recurrir a las llamadas técnicas de conteo.Por ejemplo, una línea de ventas que consta de 10
productos, ¿Cuántos subconjuntos de 3 productos se
pueden ofrecer a los clientes?.- Así como este
podríamos dar muchos ejemplos.Vamos analizar cuatro técnicas de conteo que
consideramos que son las que más se suelen presentar,
son:
regla
multiplicación,
permutaciones,
permutaciones con repetición y combinaciones.-
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN.“Si hay que hacer m operaciones y si las primeras se pueden hacer
de n1 formas y sin importarme como se hicieron las primeras la
segundas se pueden hacer de n2 formas y así sucesivamente para
las m operaciones, entonces la cantidad de operaciones que
podemos hacer será:
n1 * n2
* n3 * ……….. * nm
Veamos un ejemplo:- Supongamos que estamos seleccionando en
forma aleatoria a tres artículos de un proceso de producción.- Se
examina a cada uno de ellos y se le califica en defectuosos (D) y
no defectuosos (N).Entonces:
2 *
2 * 2
= 8 formas
Cuando son pocas las formas que pueden darse, se suele calcular
los eventos del espacio muestral por medio de un DIAGRAMA
DE ARBOL.-
1º ART.
2º ART
3º ART
EVENTOS
D
DDD
N
DDN
D
DND
N
DNN
D
NDD
N
NDN
D
NND
N
NNN
D
D
N
D
N
N
NUMERO DE ORDENACIONES.Supongamos que tenemos un número x de objetos que
hay que ordenar.- Cada uno solo puede utilizarse una
vez.- ¿Cuántas series diferentes son posibles?.Podemos imaginar que en este problema se nos pide
que coloquemos cada uno de los objetos en cada una de
las cajas colocadas en fila.x
X-1
X-2
……….
2
1
El número total de formas posibles de ordenar x objetos
viene dado por:
x ( x-1) (x-2)……….(2) (1) = x !
Donde x ! Es = x factorial.-
PERMUTACIONES Y COMBINACIONES.
Al seleccionar los elementos en los subconjuntos, la distinción
entre permutaciones y combinaciones depende si el orden de las
selecciones hace diferencia.- Si un orden es suficiente para
constituir otro subconjunto entonces se trata de permutaciones.Si dos subconjuntos se consideran iguales debido a que
simplemente se han reordenado los mismos elementos, entonces
se involucran combinaciones.-
Dado un conjunto de n elementos, el número de permutaciones,
cada uno de tamaño r, se determina como, el número de
permutaciones de n elementos tomados r a la vez:
n!
nPr
=
( n - r) !
El número de combinaciones de n elementos tomados r a la vez es:
n !
n
Cr
=
r ! (n - r) !
Ejemplos:
1.- Supongamos que hay que seleccionar dos letras de A,
B,
C,
D,
E y colocarlas en orden:¿Cuántas
permutaciones son posibles?.-
5P2
=
5!
3!
= 20
Los 20 casos son:
AB A C A D AE
BC
BA
CA
CB BD
CE
DE
DB
BE
CD
DA
EB
EA
DC
EC
ED
Un jefe de personal tiene 8 candidatos para cubrir cuatro
puestos parecidos.- Cinco son hombres y tres son
mujeres.- Si todas las combinaciones de candidatos
tienen las mismas posibilidades de ser elegidas.- ¿Cuál
es el número de combinaciones posibles de 4
candidatos elegidos de 8?.- Ahora bien, para que no
se contrate a ninguna mujer, los
4 candidatos
seleccionados deben provenir de los hombres,
entonces, ¿Cuál es el número de combinaciones para
esta selección?.-
2.- Si recordamos el caso en donde teníamos 10 productos y
deseamos empacar de a tres para ofertas al cliente.- Si se considera
que el orden en el cual se ofrecen los 3 productos no influirá en los
clientes , es decir, que el orden no hará diferencia alguna , se debe
hallar el número de combinaciones de 10 elementos tomados de a
3.-
10 !
10C3
= --------------------- = 120 formas
3 ! (10 – 3) !
Si la investigación sugirió que el orden en el cual se empacaran los
3 productos afectarían las ventas, se debería determinar el número
de permutaciones de los 10 productos tomados 3 a la vez,
10 !
10P3
= --------------------- = 720 formas
(10 - 3) !
3.-Se tienen cinco aspirantes Ingenieros recién recibidos,
(Juan, Darío, María, Susana y Natalia) para dos trabajos
idénticos.- Un supervisor selecciona dos aspirantes
para ocupar esos puestos.a) Hacer una lista de los modos posibles en que se
pueden ocupar los puestos.- Es decir, hacer una lista de
todas las selecciones posibles de dos de los cinco
aspirantes.b) Sea A el conjunto de selecciones que contienen por lo
menos un hombre.- ¿Cuántos elementos tiene A ?.c) Sea B el conjunto de selecciones que contienen
exactamente un hombre.- ¿Cuántos elementos tiene
B?.d) Escribir el conjunto que contiene dos mujeres, en
términos de A y B.e) Hacer una lista de los elementos en A, A  B, A  B, y
A∩ B
Se estudian diferentes enfoques para
determinar la probabilidad de ocurrencia
de ciertos fenómenos aleatorios
Probabilidad
clásica o a
priori o de
Laplace
Probabilidad
subjetiva
Probabilidad
empírica o
probabilidad
frecuencial
El matemático ruso Kolgomoroff en 1933
Estableció tres axiomas para tener en cuenta en
la asignación de probabilidad de un evento,
Qué son:
1) Dado un evento A
0 ≤ P (A) ≤ 1
2) Si S es el espacio muestral del
experimento
P (S) = 1
3)
Si A y B son eventos
mutuamente excluyentes
P (A U B) = P (A) + P (B)
Estos axiomas
se deben cumplir
al asignar
probabilidad a
un evento por
cualquier
enfoque
PROBABILIDAD CLASICA O A
PRIORI O DE LAPLACE
Es apropiado para asignar probabilidad
cuando los resultados del experimento son
igualmente probables.- Surgió con los
juegos de azar.Por ejemplo,
Si son posibles n resultados
experimentales, una probabilidad de 1/n es
la que corresponde a cada evento.-
Calculo de una probabilidad
será:
Nº de formas en que puede ocurrir
evento A
el
P (A) = ----------------------------------------------------------
Número total de posibles resultados
EJEMPLO DE PROBABILIDAD CLÁSICA
Se lanza un dado al aire.- ¿Cuál es la probabilidad de que se de
un 5?
1
P (5) = ---------- = 0,167  17 %
6
Se tiene un mazo de 52 cartas.- Se decide sacar una carta al
azar.-¿Cuál es la probabilidad de que se de un as?.4
P (as) = ------- = 0,077  8 %
52
PROBABILIDAD EMPÍRICA O
FRECUENCIAL.Es apropiado para asignar probabilidad cuando
se cuenta con datos para estimar la proporción
del tiempo en que ocurrirá el resultado
experimental si el experimento se repite un
número grande de veces.Evidentemente podemos usar este enfoque
siempre que tengamos frecuencias.-
Calculo de una probabilidad
será:
Número de veces que ha ocurrido el evento A
en el pasado
P (A) = -----------------------------------------------------------------------------Número total de observaciones
EJEMPLO DE PROBABILIDAD
FRECUENCIAL
Nºde hijos de obreros de la
empresa
xi
Obreros
Se decide seleccionar una
familia al azar.- ¿Cuál es la
probabilidad de que esta
tenga 3 hijos?.-
0
20
1
45
2
57
3
39
P (3) = --------- = 0,1840
4
28
212
5
14
6
9
39
 18 %
PROBABILIDAD SUBJETIVA
Es apropiado para asignar probabilidad
cuando se da un experimento en donde
no se puede aplicar ninguno de los dos
enfoques vistos, y asignamos
probabilidad en base al conocimiento del
hecho que tenemos.Por ejemplo: la probabilidad de que
mañana llueva es del 70%.-
ALGUNAS
RELACIONES
BASICAS DE
PROBABILIDAD
COMPLEMENTO DE UN EVENTO
Dado un evento A, el complemento de A que simbolizamos con A’,
es el que esta formado por todos los elementos que no están en A.En un diagrama de Venn, será:
Ejemplo
S
A’
Un gerente de ventas después de revisar
los datos dice que la probabilidad de
hacer una venta es de 0,80.- La
probabilidad de no hacer una venta será:
A
P (A’) = 1 - P (A) = 1 - 0,80 = 0,20
El evento A y A’ son mutuamente excluyentes, entonces:
P (A) + P (A’) = P (S) pero
despejando nos queda;
P (A) + P (A’) = 1
P (A’) = 1 - P (A)
LEY ADITIVA O TEOREMA DE
LA SUMA
Es útil cuando se tiene dos eventos y se desea
conocer la probabilidad de que ocurra al menos
uno de ellos.Dado los eventos A y B nos interesa conocer la
probabilidad de que suceda A o el evento B o
ambos.- Se expresa como,
P (A U B)
Para poder aplicar la ley aditiva debemos conocer como
son los eventos A y B
a) Si los eventos A y B son mutuamente excluyentes, es
decir no tienen entre ellos elementos en común.-
Entonces
S
P (A U B) = P (A) + P (B)
A
B
b) Si los eventos A y B no son
mutuamente excluyentes, es entonces
porque tienen elementos que son
comunes a ambos.- En ese caso:
S
A
B
Podemos decir
P (A U B) = P (A) + P (B) - P ( A ∩ B)
EJERCICIO PROPUESTO:
1.- El gerente de compras desea hacer pedidos de PAPEL
a tres proveedores posibles, a los que enumera 1, 2 y 3.Todos los vendedores son iguales en lo que respecta a
la calidad y precio, por lo tanto, el gerente escribe cada
número en un trozo de papel; mezcla los papeles y a
ciegas selecciona uno de ellos.- Se coloca el pedido
con el vendedor cuyo número salió seleccionado.- Sea
E, el evento en el que se ha seleccionado al proveedor i
( i = 1, 2, 3), B el evento en el que se selecciona al
proveedor 1 o 3; y C el evento en el que el proveedor 1
no se selecciona.-
Calcular las probabilidades de los eventos E, B y C.-
PROBABILIDADES
MARGINALES Y
CONJUNTAS
Si tenemos información como
para elaborar una tabla de
contingencia, observamos como
ya hemos visto, que tenemos
frecuencias absolutas marginales
y frecuencias absolutas
conjuntas.- De aquí que podemos
entonces calcular Probabilidades
Marginales y Conjuntas aplicando
el enfoque frecuencial.-
VEAMOS UN EJEMPLO:
Supongamos que una gran Empresa tiene 1200 empleados de los
cuales 960 son hombres y 240 mujeres.- En los últimos dos años
fueron Jerarquizados solamente 324 empleados de los cuales 288
son hombres.- Con esta información elaboramos la siguiente tabla:
HOMBRES
(H)
MUJERES
(M)
TOTAL
(A)
JERARQUIZADOS
288
36
324
(B)
NO
JERARQUIZADOS
672
204
876
TOTAL
960
240
1200
LAS PROBABILIDADES MARGINALES SE CALCULAN CON
LOS VALORES QUE SE UBICAN EN LOS MARGENES; Y
COMO LOS VALORES DEL CUERPO DE LA TABLA SON
VALORES CONJUNTOS, PODEMOS CALCULAR CON ELLOS
PROBABILIDADES CONJUNTAS, CADA VALOR ME INDICA
UNA INTERSECCION DE AMBOS.-
Veamos un ejemplo, con nuestra tabla.- Supongamos
seleccionar un empleado al azar.- ¿Cuál es la probabilidad de
que:
a) Sea una Mujer.b) Sea uno No Jerarquizado.c) Sea un Hombre y Jerarquizado.-
d) Sea una Mujer y No Jerarquizado.-
SOLUCION
a) P (M) = 240/1200 = 0,20 ⇒ 20%
b) P (B) = 876/1200 = 0,73
⇒ 73%
c) P (A ⋂ H) = 288 / 1200 = 0,24 ⇒ 24 %
d) P ( M ∩ B) = 204 / 1200 = 0,17 ⇒ 17 %
Si de la tabla queremos aplicar la regla adictiva será:
Se selecciona un empleado al azar;
a) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un Hombre o Un Jerarquizado?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que sea un Hombre o una Mujer?
Solución
a) P (H U A) = P (H) + P (A) - P (H ∩ A) =
= 960/1200 + 324/1200
= 996/1200 = 0,83
b) P (H U M) = 960/1200 +
- 288/1200 =
⇒ 83 %
240/1200 = 1200/1200 = 1,00
PROBABILIDAD
CONDICIONAL
Con frecuencia, la probabilidad de un evento se ve
influida por la ocurrencia de otro evento relacionado.Suponga que tenemos un evento A con P (A).Si obtenemos nueva información y vemos que ha
ocurrido un evento relacionado, representado por B;
quisiéramos aprovechar esta información para calcular
una nueva probabilidad del evento A.-
Esta nueva probabilidad del evento A, se
llama Probabilidad Condicional y se escribe
P (A / B) y se lee “ Probabilidad de A dado
B” o también “Probabilidad de que
habiéndose dado B se de A”
LA PROBABILIDAD CONDICIONAL P (A / B) SE PUEDE
CALCULAR COMO
La relación entre la probabilidad conjunta de A y B y la
probabilidad marginal del evento que se dio, es decir
P (A ∩ B)
P ( A / B) =
P (B)
Siempre que P (B) > 0.-
LEY DE MULTIPLICACION
Se usa para determinar la probabilidad de
una intersección de dos eventos.Esta ley se basa en la definición de la
probabilidad condicional.-
De la fórmula de probabilidad condicional podemos
despejar P (A ∩ B) y entonces tendremos:
P (A ∩ B) = P (B) P ( A / B) o también
P (A ∩ B) = P (A) P ( B / A)
EVENTOS INDEPENDIENTES
Un concepto básico de la teoría de la probabilidad de particular
importancia por sus aplicaciones a la estadística es el
de
INDEPENDENCIA.-
Si tenemos dos eventos A y B, la idea de independencia estadística
es que la ocurrencia del evento A no cambia la probabilidad de que
el evento B suceda, entonces, será:
P (A ∩ B) = P (A) * P (B)
De no darse esto, A y B no son independientes y decimos que los
eventos son dependientes.-
Dado dos eventos A y B independientes, recordemos
que en el caso de probabilidades condicionadas
P (A/B) = P (A) y también P (B/A) = P (B)
Porque:
P (A ∩ B)
P (A) * P (B)
P ( A / B) = ---------------- = ------------------------- = P (A)
P (B)
P (B)
P (A ∩ B)
P (A) * P (B)
P ( B / A) = ---------------- = ------------------------- = P (B)
P (A)
P (A)
EJEMPLO PARA EVENTOS INDEPENDIENTES
El Gerente de una Estación de Servicio, sabe por su
experiencia que el 70% de los clientes usan Tarjeta de
Crédito para cargar combustible.- ¿Cuál es la
probabilidad de que los dos clientes siguientes que
compren combustible usen tarjetas de créditos?.Solución
Si llamamos con A que el Primer cliente use Tarjeta de Crédito.Si llamamos con B que el Segundo cliente use Tarjeta de Crédito.-
P (A ∩ B) = P (A) * P (B) = 0,70 * 0,70 = 0,49
 49 %.-
De la tabla de contingencia también podemos
calcular probabilidades condicionales
Veamos esto en nuestro ejemplo de los 1200 empleados:
a) Por definición, será:
P (B ∩ H)
P (B / H) =
672 / 1200
672
------------------ = ------------------ = -------- = 0,70 ⇒ 70 %
P (H)
960 / 1200
960
También podemos calcular una Probabilidad
Condicional en función del espacio muestral del
evento que ya se dio de antemano.-
Veamos esto en nuestro ejemplo de los 1200 empleados:
b)Con espacio muestral reducido será:
672
= 0,70 ⇒ 70 %
P (B / H) =
960
PARA RECORDAR:
NO
SE DEBEN CONFUNDIR ENTRE SI EL
CONCEPTO
DE
EVENTOS
MUTUAMENTE
EXCLUYENTES
CON
EL
DE
EVENTOS
INDEPENDIENTES.DOS EVENTOS CUYAS PROBABILIDADES SON
DISTINTAS DE CERO NO PUEDEN SER DE
MANERA
SIMULTANEA
MUTUAMENTE
EXCLUYENTES E INDEPENDIENTES ENTRE SI.SI OCURRE UNO DE LOS EVENTOS MUTUAMENTE
EXCLUYENTES, EL OTRO NO SUCEDE, ASI QUE LA
PROBABILIDAD DE QUE OCURRA EL OTRO
EVENTO
SE
REDUCE
A
CERO.EN
CONSECUENCIA SON DEPENDIENTES.-
VEAMOS UN
EJEMPLO COMPLETO
DE APLICACIÓN.-
El Colegio de Ingenieros de cierta provincia
chica tiene los siguientes datos sobre la edad y
el estado civil de sus 140 socios.ESTADO CIVIL
EDAD
A.- menos
de
30 años
B.- 30 años
o más
TOTAL
S.- soltero
C.- casado
TOTAL
77
14
91
28
21
49
105
35
140
Se decide seleccionar un socio al azar:
a) Aplique las probabilidades marginales para comentar
sobre la edad de los socios del Colegio.b) Aplique las probabilidades marginales para comentar
sobre el estado civil de los socios del Colegio.c) ¿Cuál es la probabilidad de que sea soltero y tenga
menos de 30 años?.d) Si un socio tiene menos de 30 años.- ¿Cuál es la
probabilidad de que sea soltero?.-
e) El estado civil de los socios, ¿es independiente de su
edad?.- Explique aplicando probabilidad.Solución
a)P (A) = 91/140 = 0,65
P (B) =
49/140 = 0,35
 65 %
 35 %
Mayor probabilidad de que sea menor de 30 años
el elegido al azar por edad.b) P (S) = 105/140 = 0,75
 75%
P (C) = 35 / 140 = 0,25
 25%
Mayor probabilidad de que sea soltero el elegido
al azar por estado civil.-
c) P (S ∩ A) = calculado por probabilidad conjunta
será:
P (S ∩ A) = 77 / 140 = 0,55
 55 %.-
Calculado por regla de la multiplicación será:
P (S ⋂ A) = P (A) P( S/A) = 91/140 * 77/91 =
= 77/140 = 0,55
 55 %.-
o también
P (S ⋂ A) = P (S) P (A/S) = 105/140 * 77/ 105 =
= 77/140 = 0,55
 55 %
d) P (S / A) por definición será:
P (S ∩ A)
77/140
77
P (S/A) = --------------- = ----------- = --- = 0,8462 ⇒ 85 %
P (A)
91/140
91
Por espacio muestral reducido, el calculo sería:
77
P (S/A) = --------- = 0,8462 ⇒ 85 %.91
e) Para demostrar que Estado Civil y Edad son
eventos independientes se tiene que cumplir la
igualdad,
P ( S ∩ A) = P (S) * P (A)
Luego:
P (S ∩ A) = 77 / 140 = 0,55 ⇒ 55 %
P (S) * P (A) = 105/140 * 91/ 140 = 9555/19600 =
= 0, 4875 ⇒ 49 %.Luego
P ( S ∩ A)
≠
P (A) * P (B)
Entonces S y A no son independientes.-
VEAMOS UN
EJEMPLO COMPLETO
DE APLICACIÓN.Cuando nos dan la tabla de
probabilidad.-
TEOREMA DE
PROBABILIDAD TOTAL
Muchas veces interesa la probabilidad de
ocurrencia de un evento, pero solo se conoce la
probabilidad de ocurrencia del mismo asociado
a factores relacionados (o sea las probabilidades
condicionadas a los distintos factores) y las
probabilidades de ocurrencia de dichos factores.Veamos el caso para dos eventos, pero se puede generalizar para n
eventos.-
S
Supongamos poder dividir el
espacio muestral en dos
eventos que llamamos E1 y E2
A
Se da un cierto evento A y
observamos que:
E1
E2
A = (E1 ∩ A) U (E2 ∩ A)
Como cada una de estas situaciones planteadas son mutuamente
excluyentes, por el 3º axioma de probabilidad, será:
P (A) = P (E1 ∩ A) + P (E2 ∩ A)
Pero por regla de la multiplicación sabemos que lo expresado es
P (A) = P (E1) P (A/E1) + P (E2) P (A/E2)
Veamos un ejemplo.-
En base a un estudio anterior, se sabe que las viviendas
de cierto barrio adjudicado el 60% son gente de Bajos
Recursos y el 40% de Clase Media.- Entre la gente de
Bajos Recursos el 30% no las modificaron, entre los de
Clase Media el 10% no las modificaron.- ¿Cuál es la
probabilidad de que una vivienda elegida al azar de las
del barrio no sea una modificada?.Solución
Veamos que datos disponemos según el enunciado:
A = Bajos Recursos  P (A) = 0,60
B = Clase Media
Llamo con
 P (B) = 0,40
C = no la modificaron
P ( C/A) = 0,30
P (C/B) = 0,10
P (C ) = P (A) P (C/A) + P (B) P (C/B)
= 0,60 * 0,30
=
0,18
+
+
0,40 * 0,10
0,04 = 0,22  22%
TEOREMA DE BAYES.Del teorema de probabilidad total podemos hacer una ampliación.Supongamos que ahora se elige una vivienda al azar y se encuentra
que no fue modificada.- ¿Cuál es la probabilidad de que se haya
adjudicado a gente de Bajos Recursos?.-
Observamos que esta pregunta no es más que una probabilidad
condicional,
P (A ∩ C)
P (A/C) = -------------------P (C)
Sabemos que el numerador no es más que una intersección que
como conocemos de antemano ciertas probabilidades, aplicamos el
Teorema de la multiplicación y el denominador no es más que la
probabilidad total que calculamos antes.Por lo tanto nos queda,
P (A ∩ C)
P (A) P (C/A)
0,60 * 0,30
P (A/C) = ----------------- = --------------------- = ----------------- =
P (C)
P( C)
0,22
0,18
= ------------ = 0,8182  82 %
0,22
Esto es lo que conocemos como TEOREMA DE BAYES.-
Este teorema se lo debemos al Clérigo
Thomas Bayes (1702 – 1761), que estaba
muy interesados en las matemáticas.-
Haciendo una generalización sería : Si B1,
B2……..Bj, forman una partición de S y A es
cualquier evento en S, entonces:
P (Bj) * P (A / Bj)
P ( Bj / A) =
∑ P(Bj) P (A/Bj)
Donde
j = 1,2,3………..k.-
VEAMOS UN
EJEMPLO
DE
APLICACION:
Una Cía. Compra neumáticos de dos proveedores
I y II.- El proveedor I tiene un antecedente de
suministrar con 10 % de defectos, en tanto que el
proveedor II, tiene una tasa de solo el 5% de
defectos.- Supóngase que el 40% de las
existencias actuales vinieron del proveedor I. Si
se toma una llanta al azar de esa existencia: a)
¿Cual es la probabilidad de que sea una
defectuosa?.b) ¿Si se dio una defectuosa, calcular la
probabilidad de que la haya suministrado el
proveedor I?
Solución
Sea A = el evento de que el neumático sea defectuoso.
Sea Bi el evento en el que un neumático lo haya vendido el
proveedor i = I, II y nótese que B1 y B2 forman una partición del
experimento que consiste en seleccionar un neumático.- Entonces
tenemos como dato:
P(B1) = 0.40
P(A/B1) = 0.10
P(B2) = 0.60
P(A/B2) = 0.05
a) P (A ) = P(B1) * P(A/B1) +
P(B2) * P(A/B2)
=
0,40 * 0,10
+
0,60 *
=
0,04
+
0,03
=
0,07  7%
0,05 =
b)
P (B1)
* P (A/B1)
P( B1 / A) =
=
P (B1) * P (A/B1)
0,40 *
+
P (B2) * P (A/B2)
0,10
= 0,5714  69 %
=
0,40 * 0,10 + 0,60 * 0,05
El Proveedor I tiene mayor probabilidad de
haber surtido el neumático defectuoso que el
Proveedor II.
Ejemplo 2 de Bayes.El Departamento de Personal de una empresa muy grande ha
descubierto que solo el 60 % de los candidatos entrevistados están
realmente calificados (Q) para asumir un cargo en la compañía.- Una
revisión de los registros de la firma muestra que quienes estaban
calificados, el 67% tuvo un entrenamiento previo en estadística (T),
mientras que el 20% de quienes no estaban calificados habían
recibido instrucción estadística mucho antes.- Es decir:
P (Q) = 0,60
P ( T/Q) = 0,67
P (T/Q) = 0,20
El director de personal puede ver claramente que dado que usted
esta calificado, es más probable que usted tenga algo de
capacitación en estadística que si no está calificado 0,67 > 0,20.Se perdió mucho tiempo entrevistando a los candidatos que
resultaron no calificados; sin embargo, el director está considerando
conceder entrevistas solo a aquellos candidatos que tengan
capacitación en estadística.-
El espera incrementar la probabilidad de encontrar candidatos
calificados para ocupar el cargo.- La pregunta sería entonces, ¿ es
más probable que usted esté calificado dado que ha tenido
capacitación, P (Q/T)?.Si es así, el departamento de in podría evitar demoras y costo
innecesario restringiendo las entrevistas solo a aquellos candidatos
que tengan capacitación en análisis estadístico.SOLUCION
Utilizando la regla de probabilidad condicional,
P (Q ∩ T)
P (Q/T) =
P (Q) * P ( T/Q)
=
P (T)
0,60 * 0,67
=
P (T)
P (T)
Debido a que los registros de la empresa no proporcionan P (T), se
debe utilizar el teorema de Bayes para hallar el denominador.- Existen
dos formas en las que un candidato puede tener entrenamiento
previo: 1) el candidato puede estar calificado y tener capacitación P
(Q ∩ T) y 2) el candidato puede no estar calificado y tener
entrenamiento P (Q ∩ T).- Por tanto,
P (T) = P (Q ∩ T) + P (Q ∩ T) = 0,60 * 0,67 + 0,40 * 0,20 =
=
Entonces:
0,482
0,60 * 0,67
P (Q/T) =
= 0,834
0,482
Conclusión: Para aumentar la probabilidad de entrevistar solo
candidatos calificados, el departamento de personal debería
entrevistar solamente a los candidatos que tienen capacitación en
análisis estadístico.-
EJERCICIOS PROPUESTOS
1.- En cierta planta de montaje, tres máquinas B1. B2, B3,
montan 30,0%, 45,0% y 25% de los productos
respectivamente.- Se sabe por experiencia pasada que
2%, 3% y 2% de los productos ensamblados por cada
máquina, respectivamente tienen defectos.Ahora suponga que se selecciona de forma aleatoria un
producto terminado:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que éste defectuoso?.-
b) ¿Cuál es la probabilidad de que si es defectuoso, este
ensamblado por la máquina B3?.Solución
Respuestas: a) 0,0245
b) 0,2041
2.- Una planta de ensamble recibe sus reguladores de
voltaje de tres proveedores diferentes, 60% del
proveedor B1, 30% del proveedor B2 y 10% del
proveedor B3.Si el 95% de los reguladores de voltaje que provienen de
B1, 80% de los reguladores del proveedor B2 y el 65%
de los reguladores del proveedor B3, tienen un
rendimiento de acuerdo a las especificaciones, nos
gustaría saber la probabilidad de:
Que cualquier regulador de voltaje recibido por la planta
dé un rendimiento según las especificaciones.- Llame A
evento de que un regulador recibido por la planta tiene
rendimiento conforme a las especificaciones.Que un regulador de voltaje específico, cuyo rendimiento
corresponde a las especificaciones, provenga del
proveedor B3.-
3.- A medida que ciertos artículos llegan al
final de una línea de producción, un
inspector elige aquellos que serán
sometidos a una inspección completa.Diez por ciento de todos los artículos
producidos son defectuosos.- Sesenta por
ciento de todos los artículos defectuosos
y veinte por ciento de todos los artículos
buenos son sometidos a una inspección
completa.Dado que un artículo es
sometido a una completa, a) ¿Cual es la
probabilidad de que sea defectuoso?.-
4.- Los clientes se encargan de evaluar los
diseños preliminares de varios productos.- En el
pasado, el 95% de los productos que con mayor
éxito en el mercado recibieron buena
evaluación, el 60% de los productos con éxito
moderado recibieron buenas evaluaciones, y el
10% de productos de escaso éxito recibieron
buenas evaluaciones.- Además, el 40% de los
productos ha tenido mucho éxito, el 35% un
éxito moderado, y el 25% una baja aceptación.a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto
obtenga una buena evaluación?.Si un nuevo diseño obtiene una buena evaluación,
b) ¿ cual es la probabilidad de que se convierta
en un producto de gran éxito?.-
5.- Los motores eléctricos que salen de dos líneas
de ensamble se almacenan en una bodega
común, dicha bodega contiene un número igual
de motores de cada línea.Los motores se muestran periódicamente en esa
bodega y se prueban.- Se sabe que el 10% de
los motores de la línea 1 son defectuosos y el
15% de la línea 2 son defectuosos.- Si se
selecciona un motor al azar en la bodega y se
encuentra que tiene defectos.Calcular la probabilidad de que provenga de la
línea 1.-
6.- Si se dispone de dos métodos, el A y el B
para enseñar determinada destreza en
manufactura.- El índice de reprobados es
de 20% para el método A y 10% para el
método B.- Sin embargo, el método B es
más caro y por lo tanto, solo se usa el
30% del tiempo y el método A el otro
70%.A un trabajador se lo adiestra con uno de
los dos métodos, pero no puede aprender
en forma correcta.¿Cuál es la probabilidad de que se haya
adiestrado con el método A?.-
7.- Un armador de ventiladores eléctricos
usa motores de dos proveedores A y B.La Compañía A suministra el 90% y la
Compañía B el otro 10% de los motores.Supóngase que se sabe que el 5% de los
motores
que
suministra
A
son
defectuosos y que el 3% de los que
suministra B son defectuosos.- Se
encuentra que un ventilador ya armado
tiene un motor defectuoso.¿Cuáles la probabilidad de que ese motor
haya sido suministrado por la Compañía
B?.-
8.- Un depósito tiene lámparas de tres tipos,
el 45% son de tipo A, el 35% son de tipo B
y el 20% son de tipo C.- Se sabe además
que los porcentajes de defectuosas son
en
cada
tipo,
2%,
3%
y
5%,
respectivamente.Se toma del depósito una lámpara al azar;
¿Cual es la probabilidad de que sea
defectuosa (D)?.-
VARIADOS
2.- Una compañía tiene dos expendios al menudeo.- Se
sabe que el 30% de los clientes potenciales compran
productos solo en la tienda I, el 50% compra en la
tienda II, el 10% compra en la tienda I y II, y el 10% de
los consumidores no compra en ninguna de las dos
tiendas.Sea A el evento en el que un
cliente potencial,
seleccionado al azar, compra en la tienda I, y B el
evento en el que compra en la tienda II.Calcular las siguientes probabilidades:
a) P (A)
b) P (A U B)
c) P (B)
d) P( A ∩ B)
f) P( A ∩ B)
e) P (A U B)
g) P (A U B)
Solución
3.- Para encontrar defectos se inspeccionan las partes
hidráulicas del tren de aterrizaje que provienen de una
instalación de reparación de aviones.Los
antecedentes muestran que 8% tienen defectos solo en
los ejes, 6% tienen defectos solo en los bujes y que el
2% tienen defectos tanto en los ejes como en los bujes.Si se seleccionan al azar las partes hidráulicas que se
usarán en una aeronave, determinar la probabilidad de
que se tengan:
a)
b)
c)
d)
Un defecto en los bujes.Un defecto en un eje o en un buje.Solo uno de los tipos de defectos.Ningún defecto en los ejes o en los bujes.-
Solución
4.- La probabilidad de que una Industria
americana se localice en La Rioja es de
0,70, de que se localice en San Juan es de
0,40 y de que se localice en La Rioja o en
San Juan o en ambas es de 0,80.Cual es la probabilidad de que la industria
se localice en:
a)Ambas ciudades.b) En ninguna de ellas.Solución
EJERCICIOS PROPUESTOS:
1.- De
100 estudiantes que terminaron un
postgrado de Estadística, 20 eran ejecutivos.Diez obtuvieron A en el curso y tres de estos eran
ejecutivos.- Supongamos que B representa a los
ejecutivos.Suponga que el estudiante seleccionado al azar
es ejecutivo.a)
Muestre estos hechos en un diagrama de
Venn.-
b) Se desea conocer la probabilidad de que el
estudiante obtuviera una A.Solución
2.- Suponga que un supervisor debe seleccionar
un trabajador para un puesto especial.- Lleva a
cabo la selección mezclando los cuatro
nombres y tomando uno al azar.- Sea A el
evento de que se selecciona el trabajador 1 o 2.B el evento de que se selecciona el trabajador
1 o 3.- C el evento de que se selecciona el
trabajador 1.a) ¿Son independientes A y B?.-
b) ¿Son independientes A y C?.Solución
3.- Los registros indican que las partes que salen
de un taller de reparación
de componentes
hidráulicos en una instalación de reparación de
aviones, el 20% tendrá un defecto en el eje, el 10%
tendrá defectos en un buje y el 75% no tendrá
defectos.-
Para un articulo seleccionado al azar de esta
producción, calcular las probabilidades de que:
A: el articulo tenga por lo menos un tipo de
defecto.B: el articulo solo tenga defectos en el eje.Solución
4.- Una sección de un circuito eléctrico tiene dos
relevadores en paralelo como mostramos en la siguiente
figura.1
S
T
2
Los relevadores trabajan en forma independientes, y
cuando se conecta
un interruptor, ambos cierran en
forma correcta con una probabilidad de tan solo 0,80.- Si
ambos relevadores están abiertos, calcular la probabilidad
de que la corriente pase de S a T cuando se conecta un
interruptor.Sea O un relevador abierto y C un relevador cerrado.Además A representa el evento de que la corriente pasa
de S a T.-
5.- Suponga que un Arquitecto en el trayecto, de su casa al
estudio hay tres semáforos.- Cuando el Arquitecto llega
a un semáforo, puede este estar en rojo (R) o en verde
(V).a) Enumere el espacio muestral, indicando todas las
secuencias posibles de luces rojas y verdes que pueden
ocurrir en un viaje desde su casa al estudio.-- En el supuesto que cada elemento del espacio muestral
tiene la misma probabilidad de ocurrir:
b) ¿Cual es la probabilidad de que en el siguiente recorrido
al estudio, usted deba detenerse durante una sola luz
roja?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que la persona deba
detenerse durante por lo menos una luz roja?.Solución
6.- Un estudio de Arquitectura compra papelería a uno de
los tres vendedores que llamo V1 , V2 , V3 .- Se ordena un
pedido por día, tal que (V2 V3) significa que el vendedor
V2 recibe el pedido el primer día y el vendedor V3 lo
recibe el segundo día.a) Determine el espacio muestral de este experimento de
solicitar papelería en dos días sucesivos.b) Suponga que se seleccionaron los vendedores al azar
cada día y asigne probabilidad a cada evento del
espacio muestra.-
c) Sea A el evento de que el mismo vendedor recibe los
dos pedidos.Sea B el evento de que V2 consigue por lo menos un
pedido.Calcule las siguientes probabilidades:
P (A)
P (B)
P (A U B) P ( A ∩ B)
7.- Un estudio de mejoramiento de la producción
de
un
fabricante
de
semiconductores
proporciono datos de defectos para una
muestra de 450 placas de silicio.- Los siguientes
datos presenta un resumen de las respuestas a
dos preguntas, ¿se encontraron partículas en el
troquel que produjo la placa de silicio? Y ¿las
placas eran buenas o malas?.Calidad de la
Condición del troquel
placa
Sin partículas Partículas
Total
Buenas
320
14
334
Malas
Total
80
400
36
50
116
450
a)Suponga que se sabe que una placa de
silicio es mala, ¿Cuál es la probabilidad de
que fuera producida con un troquel que
tenía partículas?.b) Suponga que se sabe que una placa de
silicio es buena, ¿Cuál es la probabilidad
de que fuera producida con un troquel que
tenía partículas?.c) ¿son estos dos eventos, una placa
buena y un troquel sin partículas
estadísticamente
independientes?.Explique su respuesta.-
8.- La probabilidad de que un hombre
casado vea un cierto programa de TV de
Arquitectura es de 0,40 y la de que una
mujer casada lo haga es de 0,50.- La
probabilidad de que un hombre vea el
programa dado que su esposa lo hace es
de 0,70.- Encuentre las probabilidades de
que:
a) Una pareja de casados vea el programa.b) Una esposa vea el programa dado que su
esposo lo hace.c) Al menos una persona de un matrimonio
vea el programa.-
9.- Se sabe que el 42% de los Arquitectos
son mujeres.- Se sabe además que el 24%
de las mujeres y el 16% de los hombres
Arquitectos son desocupados.a)Hallar la probabilidad de que un
Arquitecto
elegido
al
azar
este
desocupado.b) ¿Cual es la probabilidad de que tenga
trabajo?.c) ¿Cuál es la probabilidad de que si se dio
un Arquitecto desocupado , este sea un
hombre?.-