Transcript Kinematika

Stupně volnosti, kinematický řetězec
 Pohyb a transformace (translace, rotace,
sférický pohyb)
 Přímá a inverzní úloha kinematiky


Varování: vektoryT
Kinematika
Pohyb jednotlivých částí robota bez ohledu
na síly, které jimi pohybují
 Reprezentace polohy a orientace subjektu v
prostoru
 Forward x Inverse kinematics

Stupně volnosti (degrees of freedom, DOF)
Základní směry posunu a rotace
 2D

 3 stupně volnosti 𝑥, 𝑦, 𝛼

3D
 6 stupňů volnosti 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝛼, 𝛽, 𝛾
○ Alternativně se používá i notace „poloha 𝑥, 𝑦, 𝑧 + natočení
k rovinám 𝑥𝑦, 𝑥𝑧 a k ose nástroje“

Pravidlo pravé ruky
Manipulátory

Polohování předmětu v prostoru
 pro 3D je potřeba aspoň 6 stupňů volnosti
Ramena, zápěstí, chapadla
 Kloubová proměnná (joint variable) 𝑞𝑖

 údaj o nastavení kloubu
 též zobecněná souřadnice

Poloha 𝑞 = 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞𝑛
 DOF = 𝑛
Pracovní prostor
 Lokální × globální souřadný systém (LCS, GCS)

Přímá úloha kinematiky (3D)
𝑃 = 𝑓(𝑞)
 𝑞 = 𝑞1 , 𝑞2 , … , 𝑞6
 𝑃 = 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝛼, 𝛽, 𝛾

Rotace


𝑃′ = 𝑅 ∙ 𝑃
Rotace kolem osy 𝑥 o úhel 𝜙:
𝑅𝑥,𝜙

1
0
= 0 𝑐𝑜𝑠𝜙
0 𝑠𝑖𝑛𝜙
0
−𝑠𝑖𝑛𝜙
𝑐𝑜𝑠𝜙
Rotace postupně kolem os 𝑥, y, 𝑧 o úhly 𝜙, 𝜓, 𝜉:
𝑅𝜙,𝜓,𝜉 =
cos 𝜓 cos 𝜉
− cos 𝜓 sin 𝜉
sin 𝜓
sin 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜉
+ cos 𝜙 sin 𝜉
− sin 𝜙 sin 𝜓 sin 𝜉
+ cos 𝜙 cos 𝜉
− sin 𝜙 cos 𝜓
− cos 𝜙 sin 𝜓 cos 𝜉
+ sin 𝜙 sin 𝜉
cos 𝜙 sin 𝜓 sin 𝜉
+ sin 𝜙 cos 𝜉
cos 𝜙 cos 𝜓
Rotace + translace
𝑃′ = 𝑅 ∙ 𝑃 + 𝑇
′
𝑅
𝑇
𝑃

=
∙𝑃
0⋯0 1
1


𝑥′
𝑦′
′ =
𝑧
1
∎ ∎ ∎
∎ ∎ ∎
∎ ∎ ∎
0 0 0
𝑡𝑥
𝑥
𝑡𝑦
𝑦
∙
𝑧
𝑡𝑧
1
1
Spojování systémů

Libovolné
 nemusí být snadné sestavit transformační matici

Denavit-Hartenberg
 Metodika spojování
 Fiktivní pohyby sjednocující dva systémy:
natočit, posunout, posunout, natočit
 Lze zobecnit na libovolnou sekvenci
Denavit-Hartenberg





Očíslování článků 1..n
Očíslování pohyblivých jednotek; 𝑢𝑖 spojuje kloub 𝑖 − 1 a 𝑖
Ortonormální souřadný systém
Osa 𝑧𝑖−1 je osou pohybu kloubu 𝑖
kladný směr směřuje do kladného kvadrantu základního systému
Osa 𝑥𝑖 nechť je kolmá na 𝑧𝑖−1 a 𝑧𝑖 :
 𝑧𝑖−1 a 𝑧𝑖 totožné – koncový bod 0. kloubu rovnoběžně s 𝑥𝑏
 mimoběžné – 𝑥𝑖 ve společné normále 𝑧𝑖−1 a 𝑧𝑖 ,
kladný směr od 𝑧𝑖−1 k 𝑧𝑖 .
 různoběžné – 𝑥𝑖 kolmá na 𝑧𝑖−1 a 𝑧𝑖 , v průsečíku,
kladný směr tak, aby při rotaci kolem 𝑥𝑖 přešla 𝑧𝑖−1 na 𝑧𝑖 kladně
𝑧𝑛 z koncového bodu posledního článku buď rovnoběžně s 𝑧𝑛−1 anebo
význačným směrem (např. přívod)
 𝑥𝑛 z koncového bodu posledního článku tak, aby protnula 𝑧𝑛−1 , kladný
směr do pracovního prostoru.

DH transformace

Vztah mezi 𝐿𝐶𝑆𝑖−1 a 𝐿𝐶𝑆𝑖 je složená
transformace:
1. Natočení osy 𝑥𝑖−1 kolem osy 𝑧𝑖−1 o úhel 𝜗𝑖
2. Posunutí osy 𝑥𝑖−1 ve směru osy 𝑧𝑖−1 o
vzdálenost 𝑑𝑖
3. Posunutí počátku 𝐿𝐶𝑆𝑖−1 podél osy 𝑥𝑖 o
vzdálenost 𝑎𝑖
4. Natočení osy 𝑧𝑖−1 kolem osy 𝑧𝑖 o úhel 𝛼𝑖

DH parametry: 𝜗𝑖 , 𝑑𝑖 , 𝑎𝑖 , 𝛼𝑖
𝐴𝑧𝑖−1,𝜗𝑖
𝐴𝑧𝑖−1 ,𝑑𝑖
𝐴𝑥,𝑎𝑖
𝐴𝑥,𝛼𝑖
DH transformace



𝐴𝑖𝑖−1 = 𝐴𝑧𝑖−1,𝜗𝑖 ∙ 𝐴𝑧𝑖−1,𝑑𝑖 ∙ 𝐴𝑥,𝑎𝑖 ∙ 𝐴𝑥,𝛼𝑖
𝐴𝑖𝑖−1
cos 𝜗𝑖
sin 𝜗𝑖
=
0
0
− sin 𝜗𝑖 cos 𝛼𝑖
cos 𝜗𝑖 cos 𝛼𝑖
sin 𝛼𝑖
0
DH parametry: 𝜗𝑖 , 𝑑𝑖 , 𝑎𝑖 , 𝛼𝑖
 𝜗𝑖 úhel mezi osami 𝑥 kolem 𝑧𝑖−1
 𝑑𝑖 vzdálenost mezi osami 𝑥
 𝑎𝑖 vzdálenost mezi osami 𝑧
 𝛼𝑖 úhel mezi osami 𝑧 kolem 𝑥𝑖
sin 𝜗𝑖 sin 𝛼𝑖
− cos 𝜗𝑖 sin 𝛼𝑖
cos 𝛼𝑖
0
𝑎𝑖 cos 𝜗𝑖
𝑎𝑖 sin 𝜗𝑖
𝑑𝑖
1
Použití
𝑖
𝐴𝑖−1
Univerzální transformace mezi dvěma
sousedními LCS
 Nezávisle na typu kloubu má vždy stejný tvar

 Rotační – proměnná 𝜗𝑖 , ostatní konstanta
 Translační – proměnná 𝑑𝑖 , ostatní konstanta

Přímá kinematická úloha pak je snadná:
V cyklu dosazujeme vždy 1 proměnnou a 3
konstanty
Example I
Z3
Z1
Z0
Y0
O3
Y1
Link 1
Joint 1
Joint 3
O0 X0
Joint 2
Link 2
X3
d2
O1 X1 O2 X2
Y2
a0
a1
(courtesy EMU, Mustafa K. Uyguroğlu)
Example II: PUMA 260
1
2
Z1
3
O1
Y1
Z0
1.
Number the joints
2.
Establish base frame
3.
Establish joint axis Zi
4.
Locate origin, (intersect.
of Zi & Zi-1) OR (intersect
of common normal & Zi )
X1
Z 2 Z6
5.
O2
Y3
Z4
Z
X 2 5 6 Y6
O3
Y2

5
O6
Y5
X 3 Y4
t
O5 O X 5 X 6
4
Z3
X4
Establish Xi,Yi
X i  (Zi 1  Zi ) / Zi 1  Zi
Yi  (Zi  X i ) / Zi  X i
4
PUMA 260
(courtesy EMU, Mustafa K. Uyguroğlu)
Link Parameters
1
J
2
1
Z1
2
3
O1
3
X1
Z 2 Z6
Y1
O2
Y3
Z4
Z
X 2 5 6 Y6
O3
Y2

5
O6
Z0
Y5
X 3 Y4
O5 O X 5 X 6
4
Z3
X4
Joint distance
4
4
5
6
i:
i
1
2
3
4
5
6
i
a i di
-90 0
13
0
8
0
90
0
-90 0
-l
8
90
0
0
0
0
t
angle from Xi-1 to Xi
about Zi-1
i : angle from Zi-1 to Zi
about Xi
a i : distance from intersection
of Zi-1 & Xi to Oi along Xi
di : distance from Oi-1 to intersection of Zi-1 & Xi along Zi-1
(courtesy EMU, Mustafa K. Uyguroğlu)
Example III
(courtesy VŠB, Skařupa&Mostýn)
Example IV
(courtesy VŠB, Skařupa&Mostýn)
Inverzní kinematika
Zadána poloha cílového manipulátoru.
Chceme zjistit, jak nastavit klouby.
 Příklad (2D):

Přímá kinematika:
Dáno 𝜃1 , 𝜃2 , 𝜃3
Hledáme 𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 , 𝜙𝑒
(courtesy MIT, H.H.Asada)
Inverzní kinematika
Zadána poloha cílového manipulátoru.
Chceme zjistit, jak nastavit klouby.
 Příklad (2D):

Inverzní kinematika:
Dáno 𝑥𝑒 , 𝑦𝑒 , 𝜙𝑒
Hledáme 𝜃1 , 𝜃2 , 𝜃3 ,
(courtesy MIT, H.H.Asada)
Obecná inverzní kinematika
Vektorová metoda
 Numerické metody

 Numerické řešení soustavy transcendentních rovnic
 Aproximační metody
 Optimalizační metody
○ Heuristiky
○ Gradientní metody

Řešení pro různé typy kinematických soustav
 Otevřená – bez problémů
 Jednoduché smyčky – často přímo nebo aspoň po úpravě
 Složitější soustavy – problém.