Transcript Niels Abel & Evariste Galois

I
II
Abel und Galois
III
IV
V
Ein Vortrag von Maria Schmid
am 09.05.2014
Abel und Galois
I
II
III
IV
V
Gliederung
I - Das Leben des N. H. Abel
II - Abels Werke
III - Das Leben des E. Galois
IV - Die Galois-Theorie
V - Quellen
Das Leben des N. H. Abel
Gliederung zu I.
I
II
III
IV
V
N. H. Abel [1]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Namensentwicklung
Herkunft
Schulbildung
Studium
Reise
Krankheit/Tod
Sonstiges
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
V
Gliederung zu I.
1.
1. Namensentwicklung
Namensentwicklung
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Herkunft
Schulbildung
Studium
Reise
Krankheit/Tod
Sonstiges
Das Leben des N. H. Abel
I
Mathias und Jacob aus Abild
1
II
Abelboe
III
IV
Abell
V
Abel
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
V
Gliederung zu I.
1.
2.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Namensentwicklung
Herkunft
Herkunft
Schulbildung
Studium
Reise
Krankheit/Tod
Sonstiges
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
V
[2]
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
V
Gliederung zu I.
1.
2.
3.
3.
4.
5.
6.
7.
Namensentwicklung
Herkunft
Schulbildung
Schulbildung
Studium
Reise
Krankheit/Tod
Sonstiges
Das Leben des N. H. Abel
I
„Mit einem ausgesprochenen Genie
vereinigt er einen unstillbaren Eifer und
ein Interesse für Mathematik, daß er der
größte Mathematiker der Welt werden
kann, wenn er lange genug lebt.“
B. Holmboe [3]
II
III
IV
V
B. M. Holmboe [1]
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
V
Gliederung zu I.
1.
2.
3.
4.
4.
5.
6.
7.
Namensentwicklung
Herkunft
Schulbildung
Studium
Studium
Reise
Krankheit/Tod
Sonstiges
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
V
Christine Kemp [1]
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
V
Gliederung zu I.
1.
2.
3.
4.
5.
5.
6.
7.
Namensentwicklung
Herkunft
Schulbildung
Studium
Reise
Reise
Krankheit/Tod
Sonstiges
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
A. L. Crelle [1]
V
[1]
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
V
Gliederung zu I.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
6.
7.
Namensentwicklung
Herkunft
Schulbildung
Studium
Reise
Krankheit/Tod
Krankheit/Tod
Sonstiges
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
V
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
V
Gliederung zu I.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
7.
Namensentwicklung
Herkunft
Schulbildung
Studium
Reise
Krankheit/Tod
Auszeichnungen
Sonstiges
Das Leben des N. H. Abel
I
II
III
IV
V
1. 1830: Großer Preis für Mathematik (zusammen mit
Jacobi)
2. 1952: Wiederentdeckung der Pariser Abhandlung
3. 2000: Einführung des Abel-Preises als Ersatz für
Mathematik-Nobelpreis
Abels Werke
I
Abelsche Gruppe
Eine Gruppe (G,*) heißt abelsch, wenn sie kommutativ ist, also
II
III
a*b=b*a
 a,b  G
• Entwicklung des Struktursatzes für endliche kommutative
Gruppen in impliziter Form
IV
• Einführung von abelsch für zugehörige Zerfällungskörper
• Übertragung auf Gruppen
V
Abels Werke
I
II
III
IV
V
Abelscher Grenzwertsatz
Die Potenzreihe x ↦
∞
𝑘=0 𝑎𝑘 (𝑥
− 𝑥0 )𝑘 in IK besitzt den
Konvergenzradius R  ]0,[ und konvergiert auch in einem Punkt
x1 auf dem Rande des Konvergenzbereichs mit Summe s. Dann
konvergiert die durch die Reihe dargestellte Funktion x ↦ f(x) bei
radialer Annäherung x an x1 gegen den Wert s.
Im Falle IK = ℝ kann also die Funktion x ↦ f(x) durch f(x1) := s
stetig fortgesetzt werden.
Abels Werke
I
Abels Begründen der Theorie der elliptische Funktionen
𝑓 𝑥 =𝑎∙
II
Sei
III
• Winkel x
• Bogenlänge f(x)
• Halbachsen a, b
IV
V
𝑥
0
1 − 𝜀 2 co𝑠²(𝑡)𝑑𝑡
• numerischer Exzentrizität 𝜀 =
𝑎2 −𝑏2
𝑎
mit
Abels Werke
I
II
Sind Gleichungen vom Grad 𝒏 ≥ 𝟓 auflösbar durch
Radikale?
• Ruffini: keine allgemeine Lösungsformel
• Gauß: Auflösung für spezielle Gleichungen, z. B.
III
IV
V
Kreisteilungsgleichungen
• Abel: eigenständiger Schluss, lückenloser Beweis
Das Leben des E. Galois
I
Gliederung zu III.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
II
III
IV
V
E. Galois [4]
Erste Lebensjahre
1827
1828-1830
1831
1832
Was bleibt
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
Gliederung zu III.
1. Erste
Erste Lebensjahre
Lebensjahre
2.
3.
4.
5.
6.
1827
1828-1830
1831
1832
Was bleibt
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
[7]
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
Gliederung zu III.
1. Erste Lebensjahre
1827
2. 1827
3. 1828-1830
4. 1831
5. 1832
6. Was bleibt
Das Leben des E. Galois
I
„Galois gab Cauchy die Schuld, das Manuskript verloren zu
II
III
IV
V
haben, aber andere Dokumente lassen vermuten, daß
Cauchy Galois dazu gedrängt habe, den Artikel zu
überarbeiten und auszuweiten. Es ist möglich, daß Galois
etwas paranoid war […]“
[4]
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
Gliederung zu III.
1. Erste Lebensjahre
2. 1827
3.
1828-1830
3. 1828-1830
4. 1831
5. 1832
6. Was bleibt
Das Leben des E. Galois
I
II
École Polytechnique - Aufnahmeprüfung
Collége Louis-le-Grand (für Bakkalaureat)
III
École Polytechnique – Aufnahmeprüfung
IV
V
École Normale
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
[10]
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
Gliederung zu III.
1. Erste Lebensjahre
2. 1827
3. 1828-1830
1831
4. 1831
5. 1832
6. Was bleibt
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
„…die Kommission [hat] a priori angenommen, daß ich diese Aufgabe
nicht gelöst haben könne; in erster Linie deshalb, weil ich Galois heiße,
und außerdem, weil ich ein Student war. Und man sagte mir, daß mein
Manuskript verlorengegangen sei “
[6]
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
„Ich möchte hier nicht sagen, wie und warum ich im Gefängnis sitze.
Vielmehr möchte ich berichten, dass meine Manuskripte derart oft in den
Kisten der Messieurs Mitglieder des Instituts verloren gegangen sind,
obwohl ich mir in Wahrheit eine solche Gedankenlosigkeit von Seiten
derjenigen, die Abels Tod auf dem Gewissen haben, nicht vorstellen
kann.“
[5]
„Ein Auszug einer […] Arbeit wurde 1831 bei der Akademie eingereicht
und Monsieur Poisson zu Begutachtung übergeben; er erklärte, daß er
nichts davon verstanden habe. Nach meiner arroganten Meinung ist dies
einfach ein Beweis dafür, daß Monsieur Poisson meine Arbeit nicht
verstehen wollte oder nicht verstehen konnte. Doch in den Augen der
Öffentlichkeit wird es gewiß als Beweis erscheinen, daß meine Arbeit
sinnlos ist.
[6]
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
Gliederung zu III.
1. Erste Lebensjahre
2. 1827
3. 1828-1830
4. 1831
1832
5. 1832
6. Was bleibt
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
[11]
Das Leben des E. Galois
I
„Ich sterbe als Opfer einer niederträchtigen Kokotte. In einer elenden
Streiterei wird mein Leben ausgelöscht.“
[5]
II
„Ich sterbe als Opfer einer infamen Verführerin und zweier von ihr
Betrogener.“
[4]
III
IV
V
Er bat, ihm „ nicht vorzuwerfen, für etwas anderes als mein Land zu
sterben“
[4]
„Weine nicht. Ich brauche meinen ganzen Mut, um mit zwanzig zu
sterben.“
[4]
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
„Der junge Évariste Galois … kämpfte mit einem seiner alten Freunde,
einem jungen Mann wie er selbst, […] und von dem ebenfalls bekannt
ist, daß er in einem politischen Prozeß vor Gericht stand. Es wird
gesagt, daß Liebe die Ursache des Kampfes war. Die Gegner hatten
die Pistole als Waffe gewählt, aber aufgrund ihrer alten Freundschaft
konnten sie es nicht ertragen, sich in die Augen zu sehen, und
überließen die Entscheidung dem Schicksal. In geringstem Abstand
erhielt jeder eine Pistole und feuerte. Nur eine war geladen.“
[4]
Das Leben des E. Galois
I
II
III
IV
V
Gliederung zu III.
1. Erste Lebensjahre
2. 1827
3. 1828-1830
4. 1831
5. 1832
6. Was
Was bleibt
bleibt
6.
Das Leben des E. Galois
I
aufbrausend, wütend, unverstanden, enttäuscht, depressiv,
erbarmungslos gegenüber allen, die weniger talentiert sind als er
II
III
IV
V
1.
2.
Politik
Mathematik
1846: Liouville, Hermite
1855: Dedekind
1870: Jordan
Galois-Theorie
I
II
III
IV
V
Gliederung zu VI.
1. Erfolge vor Galois und Abel
2. Galois Erkenntnis
3. Galois Methode
Galois-Theorie
I
II
Erfolge vor Galois und Abel
𝑎𝑋 + 𝑏 = 0
Lineare Gleichungen:
Lösung:
𝑋=−
III
IV
Quadratische Gleichungen:
Lösung:
V
𝑋1,2 =
𝑏
𝑎
𝑎𝑋 2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 = 0
−𝑏± 𝑏2 −4𝑎𝑐
2𝑎
al-Hwarizmi
Galois-Theorie
I
II
Erfolge vor Galois und Abel
𝑋 3 + 𝑎𝑋 2 + 𝑏𝑋 + 𝑐 = 0
Kubische Gleichung:
𝑎
3
Tschirnhaus-Transformation (X → 𝑥 = 𝑋 + ):
𝑥³ + 𝐴𝑥 + 𝐵 = 0
III
IV
Lösungen:
V
𝑢1 , 𝑣1 =
Cardanosche Formel:
3
𝐵
−
2
𝑥1 = 𝑢1 + 𝑣1
𝑥2 = 𝑒
2𝜋𝑖
3
𝑥3 = 𝑒
𝑢1 + 𝑒
2𝜋𝑖
3
2𝜋𝑖
3
2
𝑢1 + 𝑒
2
2𝜋𝑖
3
𝑣1
𝑣1
±
𝐵 2
2
+
𝐴 3
2
Galois-Theorie
I
Galois Erkenntnis
II
Eine Gleichung ist genau dann mit Radikalen auflösbar,
III
das heißt ihre sämtlichen Lösungen sind gleich
geschachtelten Wurzelausdrücken, deren Radikanden auf
Basis der Koeffizienten und der vier Grundrechenarten
darstellbar sind,
IV
wenn ihre Galois-Gruppe auflösbar ist.
V
[8]
Galois-Theorie
I
II
Galois Methode
GaloisKorrespondenz
III
IV
≔ 𝐺𝑎𝑙(ℚ
V
2, 3 ∕ ℚ)
[9]
I
II
III
IV
V
Bild- und Textnachweis
[1]
I
II
III
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
IV
V
[7]
[8]
[9]
[10]
[11]
Stubhaug, Arild: Ein aufleuchtender Blitz. Niels Henrik Abel und seine Zeit,
Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2003.
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Meschkowski, Herbert: Mathematiker-Lexikon, Bibliographisches Institut
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Sammlung von Biographien, Aulis Verlag Deubner & Co KG Köln, 1978.
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Quellenverzeichnis
I
II
III
IV
V
Bewersdorff, Jörg: Algebra für Einsteiger. Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie, 4. Auflage,
Vieweg + Teubner Wiesbaden, 2009.
Fischer, Gerd: Lehrbuch der Algebra. Mit lebendigen Beispielen, ausführlichen Erläuterungen und
zahlreichen Bildern, Vieweg & Sohn Verlag Wiesbaden, 2008.
Fröba, Stephanie und Alfred Wassermann: Die bedeutendsten Mathematiker, Matrix Verlag
Wiesbaden, 2007.
Grieser, Daniel: Grundideen der Galoistheorie. Eine Kurzeinführung für Interessierte (fast) ohne
Vorkenntnisse, in: http://www.staff.unioldenburg.de/daniel.grieser/wwwpapers
/Grundideen_ Galois.pdf (05.05.2014).
Hellweg, Thomas: Meister von Raum & Zahl. Mathematikerportraits aus drei Jahrtausenden, Centaurus
Verlag Freiburg, 2010.
Holz, Michael: Repetitorium der Algebra, 2. Auflage, Binomi Verlag Hannover, 2004.
Mankiewicz, Richard: Zeitreise Mathematik. Vom Ursprung der Zahlen bis zur Chaostheorie, vgs Köln,
2000.
Meschkowski, Herbert: Mathematiker-Lexikon, Bibliographisches Institut Mannheim, 1973.
Pesic, Peter: Abels Beweis, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2007.
Richter, Birigt: Gleichungen 5. Grades, in: http://www.math.uni-hamburg.de/home/richter/
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Scholz, Erhard: Geschichte der Algebra. Eine Einführung, Bibliographisches Institut Mannheim, 1990.
Strick, Heinz Klaus: Niels Henrik Abel, in: http://www.spektrum.de/sixcms/media.php/924/
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Stubhaug, Arild: Ein aufleuchtender Blitz. Niels Henrik Abel und seine Zeit, Springer-Verlag Berlin
Heidelberg, 2003.
Wußing, Hans u. a.: Biographien bedeutender Mathematiker. Eine Sammlung von
Biographien, Aulis Verlag Deubner & Co KG Köln, 1978.
Hinweis: Bildquellen siehe Bildnachweis, zusätzliche Verwendung der
Vorlesungsmitschriften verschiedener Professoren, Fächer und Semester.