从最速降线问题谈起From the Problem of Brachistochrone

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从最速降线问题谈起
From the Problem of
Brachistochrone
方啸
物理科学学院
最速降线问题 the Problem of Brachistochrone
• 问题阐述
• 一个粒子仅在重力作用下由A点下降到B,
那么沿着什么样的轨道用时最短?
A
v1
B
提要
• 问题的阐述
• 问题的探索
• 问题的反思
• 问题的拓展
问题的探索
1638年,伽利略提到过这个问题
圆弧!
A
B
问题的探索
• 1696年,Johann Bernoulli首先正式提出了这
个问题
问题的探索
牛顿
莱布尼兹
微积分方法
罗比达
雅克比·伯努利
问题的探索
• 设曲线有y=y(x)的形式,
P在A点初速度v1。
v 2  v12  2 g ( y  y1 )
v12
v  2 g ( y   ), (  y1  )
2g
v1
dt  ds / v

2
ds

1

y
'
dx

1
t
2g

x2
x1
1  y '2
dx, ( y   )
y 
即求函数y(x)使得t[y(x)]取得最小值!
问题的解答
x2
I  I [ y( x)]   F ( x, y, y ')dx
• 一般问题
x1
• Euler-Lagrange方程:
• 证明:
x



I
• I的变分
x
2
1
F d F

0
y dx y '
x2
F ( x, y, y ')dx    F ( x, y, y ')dx
x1
x2  F

F
 
y
 y '  dx
x1
y '
 y

x2  F
 d  F  
d  F
  y 
 y 
  y  dx
x1

y
dx

y
'
dx

y
'



 

x2
x2  d F
F
F 

 y  

  ydx
x1
y '
dx

y
'

y


x1
• I取极值即I的变分为0:  I  0
F d F
• 故有:

 0 证毕。
y
dx y '
问题的解答
x2
I  I [ y( x)]   F ( x, y, y ')dx
• 一般问题
x1
• Euler-Lagrange方程:
F d F

0
y dx y '
• 如果 F  F ( y, y ')
• 则: dF  y '' F  y ' F  y '' F  y ' d F
y '
dx

• 即
y
d  F 
 y'

dx  y ' 
d 
F 
F

y
'

0
dx 
y ' 
F
C
• 故: F  y '
y '
y '
dx y '
问题的解答
• 对于此问题,
F ( y, y ') 
1
2g
1  y '2
y 
• 可以解出曲线满足下述形式:
 x  a  b(  sin  )

 y    b(1  cos  )
• a,b均为积分常数
问题的解答
• 这是一种摆线:旋轮线
问题的解答
问题的反思
• 一类新的极值问题:一个函数的函数的极
值问题
• 微积分:求y=x3-3x2的极值,求导dy/dx=0
•对函数的函数可以求导?
问题的反思
Euler
• 欧拉和拉格朗日找到了此
类问题的普遍解法,开辟
了变分法的研究。
Lagrange
问题的反思
微积分
泛函分析
函数
泛函
以数为变量
以函数为变量
y ( x)
推广
微分
dy( x)
dy
极值条件:δt=0
t[ y ( x)]
变分
 t[ y( x)]
问题的拓展
• 几何光学的基本原理:费马原理
B
 t    ndl  0
A
• 两点之间的光沿着所需时间为极值的路径
传播。
B
A
P
A’
M