Transcript prof.ssa Sacchetti

DAL CASO AL CAOS
UN P0’ DI STORIA
Laplace (1749-1827): “Lo stato attuale del
sistema della natura consegue
evidentemente da quello che era all’istante
precedente…”
Laplace sapeva che la conoscenza delle varie entità (variabili di stato),
essendo frutto di processi di misura, non può essere ottenuta con infinita
precisione.
Considerava ovvio che una piccola incertezza nei valori delle
condizioni iniziali avesse altrettanto piccole conseguenze nell’evoluzione del
sistema, cioè che
condizioni “quasi-identiche” portassero a evoluzioni
del sistema “quasi-identiche”
UN P0’ DI STORIA
La possibilità di simulare con un modello
matematico deterministico l’evoluzione di un
sistema reale
era considerata equivalente a dire che
la sua evoluzione fosse necessariamente
prevedibile e priva di incertezza
UN P0’ DI STORIA
• Ma nello studio dei sistemi reali
(ad esempio nella dinamica dei
fluidi) si possono osservare
andamenti sia regolari che
complessi: il flusso dell’acqua può
essere semplice o disordinato, pur
essendo le leggi del moto sempre
le stesse (equazioni di NavierStokes)
• La previsione di Laplace è corretta
per i sistemi lineari, per quelli non
lineari vale solo se si è lontani dai
regimi di comportamento caotico.
UN P0’ DI STORIA
• Henri Poincaré(1854-1912)
“Una causa piccolissima che sfugga alla nostra attenzione
determina un effetto considerevole che non possiamo
mancare di vedere, e allora diciamo che ciò è dovuto al caso.
[…] può accadere che delle piccole differenze nelle condizioni
iniziali ne producano di grandissime nei fenomeni finali. Un
piccolo errore nelle prime produce un errore enorme nei
secondi. La previsione diventa impossibile…”(1903)
Ma i risultati di Poincaré non suscitarono molto interesse
UN P0’ DI STORIA
La teoria qualitativa dei sistemi dinamici fu
studiata in seguito da:
• Birkhoff(1884-1944) negli USA
• Lyapunov(1857-1918), Kolmogorov(1903-1987),
Andronov(1901-1952) in Russia
• Pontriaguine(1908-1988)
UN P0’ DI STORIA
Ma l’argomento divenne popolare con l’articolo di Edward
Lorentz, matematico e meteorologo del MIT (scomparso nel
2008 a 90 anni).
Mentre stava sviluppando modelli matematici per descrivere i
movimenti delle masse d’aria nell’atmosfera, nel 1961 scoprì
accidentalmente il comportamento caotico delle soluzioni delle
equazioni che stava studiando.
In un articolo del 1963 descrisse il fenomeno del
CAOS DETERMINISTICO
usando come esempio un sistema di tre equazioni differenziali,
calcolato numericamente.
UN P0’ DI STORIA
La figura rappresenta (in nero) l’andamento della soluzione a partire dalle condizioni
iniziali x0=10, y0=10, z0=10
La figura rappresenta (in rosso) l’andamento della soluzione a partire dalle
condizioni iniziali x0=10, y0=10, z0=9.99999
Butterfly effect
Da un articolo di Lorentz del 1972:
“Does the flap of a butterfly’s wings in Brazil
set off a tornado in Texas?
L’attrattore strano di Lorentz
UN P0’ DI STORIA
• L’attuale popolarità dell’argomento è sicuramente
legata al fatto che il fenomeno sia stato osservato
nel contesto delle previsioni meteorologiche, ma
esso appare anche nei più svariati contesti:
• Fisica
• Biologia
• Sociologia
• Economia
• Finanza
• …
CAOS
DETERMINISTICO
CAOS DETERMINISTICO
•CAOTICO
…..senza regole
……imprevedibile
…….
• DETERMINISTICO
…..fenomeno regolare
….prevedibile
…che si ripete nel tempo
CAOS DETERMINISTICO
Talvolta, modelli matematici deterministici
generano andamenti così complessi da risultare
quasi indistinguibili da eventi generati da
processi aleatori.
Iterare funzioni
X
f(X)
f
Preso un numero x da un certo dominio, l’applicazione di una
funzione produce come risultato l’immagine di x mediante f,
che si scrive f(x)
Iterare funzioni
x0
x1
f
X2
f
…….
Xn-1
f
Xn
Se al risultato così ottenuto (se sta nel dominio) si applica di nuovo la stessa
funzione f si ottiene un terzo numero (funzione composta). Se il risultato sta
ancora nel dominio si può ancora applicare f e così via.
Si ottiene così in modo deterministico una successione di valori.
……
Matematica nel tempo
Lo studio dei possibili comportamenti delle successioni
generate mediante l’applicazione ripetuta di una funzione può
essere utile nella descrizione matematica di
FENOMENI REALI CHE EVOLVONO NEL TEMPO.
Infatti basta pensare xn come misura dello stato di un sistema
al tempo n, allora la funzione f assumerà il significato di
operatore di avanzamento nel tempo (legge di evoluzione)
Lo schema xn
=f(x n-1) diventa un MODELLO DINAMICO
Matematica nel tempo
ovvero:
Teoria qualitativa dei sistemi dinamici
Esempio 1(modello lineare affine)
In un piccolo paese del Varesotto, di 1000 abitanti,
il tasso di mortalità annuo è del 20%;
fortunatamente ogni anno nascono 100 bambini.
Qual è nel tempo l’evoluzione della popolazione? Si
estingue, aumenta a dismisura, si stabilizza?
soluzione
Matematica nel tempo
ovvero:
Teoria qualitativa dei sistemi dinamici
• Esempio 2
Un pigro quarantenne di
nome Oblomov decide di
vivere di rendita. Dispone di
un capitale di 100.000€ che
produce ogni mese interessi
pari all’1% ; per vivere stima
di aver bisogno di 1000€ al
mese. Ce la farà?
Matematica nel tempo
ovvero:
Teoria qualitativa dei sistemi dinamici
• Esempio 3 (modello quadratico)
Supponiamo che una banca proponga un nuovo modo di
pagare gli interessi: ogni anno viene assegnato il
quadrato della cifra posseduta l’anno precedente
diminuita di una tassa fissa b.
Se un cliente versa oggi un capitale x, quanto avrà tra 10
anni?
SDD: Sistemi dinamici discreti
Bisogna individuare delle grandezze
(un sistema) che evolvono (un sistema
dinamico) a passi costanti della variabile
tempo (un sistema dinamico discreto)
SDD: Sistemi dinamici discreti
TEORIA
Un sistema dinamico discreto (SDD) è caratterizzato da una legge del tipo:
xt+1= f(t,xt)
che si dice: EQUAZIONE ALLE DIFFERENZE dove:
• t=0,1,2,…
• x è una successione definita in modo ricorsivo mediante f.
Si dice soluzione di un’equazione alle differenze una successione che soddisfa
l’equazione data per ogni t.
In generale le soluzioni sono infinite, ciascuna è caratterizzata dalle condizioni
iniziali, che di norma sono tante quante l’ordine dell’equazione.
SDD LINEARI
Sono caratterizzati da un’equazione del tipo:
xt+1= axt ,con a≠0
SDD LINEARI
In generale si ricava facilmente, dalla legge ricorsiva, la legge :
x1 = ax0
x2 = ax1 = a2x0
x3 = ax2 = a3x0
….
xt =atx0
Ad esempio, se a=2,dopo sole 10 iterazioni il numero iniziale x0 sarà moltiplicato per
210=1024.
Se fosse a=1/2, ad ogni iterazione il valore iniziale verrebbe dimezzato, come se una
fotocopiatrice ad ogni passaggio riducesse l’immagine del 50%
Si tratta di una progressione geometrica di ragione a.
SDD LINEARI
1° caso: −1 < a < 1
In questo caso at tende a 0;
più a è vicino a 0 tanto più rapidamente la successione xt  0 per qualunque
condizione iniziale
Caso 1a: 0 < a < 1
In questo caso ad ogni passo x diminuisce di una percentuale pari a 1−a.
Per esempio se a=0.8 allora ad ogni passo x diminuisce del 20%.
E’ la tipica decrescita esponenziale di valore iniziale x0 e base a.
Caso 1b: −1 < a < 0
In tal caso la convergenza a 0 non è monotona, i valori di x oscillano con segni
alternati (infatti at >0 se t è pari, at <0 se t è dipari)
SDD LINEARI
Caso a>1.
Xt è una successione esponenziale crescente :
ad ogni passo aumenta di una percentuale pari
ad a-1.
Grafico di xt+1 =1.1xt
con x0=1000
Caso a<1
Xt è una successione irregolare, a segni alterni,
che diverge in modulo
con x0=1000
Grafico di xt+1 =-1.1xt
x0=1000
con
I casi a=1 e a=-1 sono poco interessanti.
SDD LINEARI
Se si applica la legge ricorsiva xt+1 =axt alle dinamiche delle
popolazioni (uomini, animali, vegetali, batteri…) si ottiene il
cosiddetto
Modello di Malthus:
Una popolazione inizialmente di entità x0 è soggetta a:
-un tasso di natalità n (es. Percentuale di nati ogni anno sul totale della popolazione) e ad
-un tasso di mortalità m (es. Percentuale di morti ogni anno sul totale della popolazione).
Se non ci sono nè immigrazioni nè emigrazioni l’evoluzione nel tempo del numero di
individui sarà del tipo: xt+1 =xt +nxt -mxt
Cioè
xt+1 =axt
SDD LINEARI
xt+1 =axt
Secondo questo modello:
Se 0<a<1, cioè se n<m, allora la popolazione è destinata ad estinguersi
esponenzialmente
Se a>1 allora la popolazione aumenta esponenzialmente
Il modello di Malthus è ragionevole nella misura in cui
la popolazione non è soggetta a limitazioni esterne.
SDD lineari affini
Le cose vanno diversamente se l’equazione
contiene un termine noto:
xt+1 =axt +b
SDD lineari affini
SDD lineari affini
Esplorando la successione
Xt+1= 0.8 Xt+100 , con X0=1000
(ad esempio con excel)si osserva che il
sistema converge a 500:
la popolazione di quel paese
tenderà nel tempo a stabilizzarsi a
500 abitanti.
0
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1000
900
820
756
704,8
663,84
631,07
604,86
583,89
567,11
553,69
542,95
534,36
527,49
521,99
517,59
514,07
Cosa ci si può aspettare se si parte da 2000 abitanti
invece di 1000?
Sarà valido il modello proporzionale?
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
542,22
533,78
527,02
521,62
517,29
513,84
511,07
508,85
507,08
505,67
504,53
503,63
502,9
502,32
501,86
501,49
501,19
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
501,19
500,95
500,76
500,61
500,49
500,39
500,31
500,25
500,2
500,16
500,13
500,1
500,08
500,07
500,05
500,04
500,03
SDD lineari affini
Basta esplorare la nuova successione:
Il risultato è il seguente:
E se ci fossero solo 200 abitanti?
Xt+1= 0.8 Xt+100 , con X0=2000
0
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
2000
1700
1460
1268
1114,4
991,52
893,22
814,57
751,66
701,33
661,06
628,85
603,08
582,46
565,97
552,78
542,22
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
542,22
533,78
527,02
521,62
517,29
513,84
511,07
508,85
507,08
505,67
504,53
503,63
502,9
502,32
501,86
501,49
501,19
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
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45
46
47
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49
50
501,19
500,95
500,76
500,61
500,49
500,39
500,31
500,25
500,2
500,16
500,13
500,1
500,08
500,07
500,05
500,04
500,03
SDD lineari affini
Basta esplorare la nuova successione
Il risultato è il seguente:
Xt+1= 0.8 Xt+100 , con X0=200
1
200
17
491,56
34
499,76
2
260
18
493,24
35
499,81
3
308
19
494,6
36
499,85
4
346,4
20
495,68
37
499,88
5
377,12
21
496,54
38
499,9
6
401,7
22
497,23
39
499,92
7
421,36
23
497,79
40
499,94
8
437,09
24
498,23
41
499,95
9
449,67
25
498,58
42
499,96
10
459,73
26
498,87
43
499,97
11
467,79
27
499,09
44
499,97
12
474,23
28
499,27
45
499,98
13
479,38
29
499,42
46
499,98
14
483,51
30
499,54
47
499,99
15
486,81
31
499,63
48
499,99
16
489,44
32
499,7
49
499,99
17
491,56
33
499,76
50
499,99
SDD lineari affini
Sorprendentemente nel lungo periodo non cambia nulla:
La successione converge a 500 (per eccesso se x0>500, per
difetto se x0<500, non si muove da 500 se x0=500)
La successione costante di valore 500 sembra attrarre tutte le
altre.
SDD lineari affini
Abbiamo esplorato il problema con diversi valori
iniziali. Tutte le successioni convergono a 500.
Vogliamo capire perché.
A quanto pare 500 dipende solo dai valori 0.8 e
100 dei parametri e non dal valore iniziale.
SDD lineari affini
Vogliamo trovare una funzione che,presi in ingresso i valori
0.8 e 100, dia in uscita il 500
500
SDD lineari affini
Ci chiediamo:
Esiste un valore iniziale x0 per il quale la
popolazione rimane costante nel tempo?
SDD lineari affini.
L’equilibrio di un SDD
Deve risultare, per ogni t:
xt =xt+1
Cioè xt =0.8xt +100
Questo accade solo se esiste un numero x per il quale risulti:
x=0.8x+100
Da cui
0.2x=100
Da cui
x=500
SDD lineari affini.
L’equilibrio di un SDD
Il valore 500 viene chiamato :
punto di equilibrio del sistema
Se il sistema parte da 500 rimane inchiodato a quel valore per sempre.
•In generale (se a ≠1) l’equazione xt =xt+1 diventa
x=ax+b
la cui soluzione è:
(Nel nostro caso era: a=0.8 e b=100)
•Se invece a=1 allora il sistema diventa xt+1 =xt +b.
In questo caso non ci sono equilibri: il sistema evolve linearmente verso +∞ se
b>0, verso - ∞ se b<0.
•Il caso a=1e b=0 è ovviamente privo di interesse.
SDD lineari affini
La stabilità dell’equilibrio
Per il SDD che abbiamo studiato la successione
converge sempre all’equilibrio, anche partendo
da valori diversi dall’equilibrio.
Sarà vero per ogni valore iniziale?
Sarà una caratteristica di tutti gli equilibri in
qualunque SDD?
SDD lineari affini: la stabilità di un
equilibrio
I risultati sono i seguenti:
• Se x0=E allora la soluzione è la successione costante di valore E
• Se a è compreso tra -1 e 1 allora at tende a 0 quindi il sistema
converge ad E per ogni valore iniziale x0. In tal caso E si dice
equilibrio stabile o attrattore
• Se a>1 allora il sistema diverge esponenzialmente (equilibrio
instabile); se si parte da E il sistema rimane fermo, ma la più piccola
perturbazione sulla condizione iniziale produce una catastrofe:il
sistema si allontana definitivamente dall’equilibrio
SDD lineari affini: la stabilità di un equilibrio
PROBLEMA
Un pigro quarantenne di
nome Oblomov decide di vivere
di rendita. Dispone di un
capitale di 100.000€ che
produce ogni mese interessi
pari all’1% ; per vivere stima di
aver bisogno di 1000€ al mese.
Ce la farà?
SDD lineari affini: la stabilità di un
equilibrio
Indicando con xt il deposito bancario di Oblomov al tempo T
(misurato in mesi), il modello del problema sarà:
Xt+1 = xt +0.01xt-1000
Cioè
Xt+1 = 1.01xt-1000
Con la condizione iniziale x0=1000.
E’ sempre un SDD della forma
Xt+1 = axt+b, questa volta con a>1.
SDD lineari affini: la stabilità di un
equilibrio
L’equilibrio del sistema è
Cioè esattamente la condizione iniziale!
Infatti l’interesse mensile dell’1% su 100.000 €
è uguale alla quota mensile di 1000€
necessaria per vivere .
SDD lineari affini: la stabilità di un
equilibrio
In queste condizioni il nostro quarantenne può
VIVERE PER L’ETERNITÀ.
Ma…si tratta di un equilibrio
molto precario!
SDD lineari affini: la stabilità di un
equilibrio
Ma cosa succede se il capitale iniziale è (seppur di poco)
diverso da 100.000 €?
Se x0<100.000, anche solo di un centesimo, il caro Oblomov
è destinato (prima o poi) alla rovina.
Il grafico rappresenta l’andamento del deposito per x0=90.000
Dopo circa 20 anni (240 mesi) il capitale si estingue
SDD lineari affini: la stabilità di un
equilibrio
Se invece x0>100.000, anche solo di un centesimo, allora il
capitale aumenta indefinitamente.
Il grafico rappresenta l’andamento del deposito per x0=110.000
Dopo circa 20 anni (240 mesi) il capitale raddoppia
SDD lineari affini: la stabilità di un
equilibrio
Si tratta di un equilibrio instabile
Nella figura sono rappresentate varie soluzioni con
diverse condizioni iniziali.
Dal grafico è chiaro perché un equilibrio di questo tipo
viene chiamato REPULSORE
SDD lineari affini: la stabilità di un
equilibrio
Riassumendo:
Per un SDD lineare affine xt+1 =axt +b si ha:
se |a|>1 l’equilibrio è instabile: qualunque
valore iniziale diverso da b/(1-a) genera una
successione divergente.
SDD: modello quadratico
• Supponiamo che una banca proponga un
nuovo modo di pagare gli interessi:
• Ogni anno viene assegnato il quadrato della
cifra posseduta l’anno precedente diminuita di
una tassa fissa b.
SDD: modello quadratico
Se un cliente chiedesse:
se oggi verso un capitale x, quanto avrò tra 10 anni?
Bisognerebbe calcolare x10 a partire da x0.
x10 è un polinomio completo di grado 1024!
Il calcolo sarebbe sì deterministico, ma sarebbe difficile
sapere come va a finire.
SDD: modello quadratico
Facciamo delle prove, partendo da casi semplici.
1.
Supponiamo che sia b=0
Se 0<x0<1 l’iterazione converge a 0
Se x0>1, l’iterazione cresce rapidamente divergendo
all’infinito
Ci sono i due punti fissi:
X=0 attrattivo
X=1 repulsivo
SDD: modello quadratico
1. Supponiamo che sia b=1
Per trovare i punti fissi basta risolvere l’equazione xn=xn-1
cioè risolvendo l’equazione x=f(x).
Si ottengono i due punti fissi:
che sono entrambi equilibri repulsivi.
SDD: modello quadratico
A seconda delle condizioni iniziali scelte, le successioni
divergono oppure continuano a oscillare, avvicinandosi
a un andamento periodico.
In figura la sequenza che si ottiene a partire da x=1,5
Il caos deterministico
Se b=2, con la condizione iniziale
x0=0.5, si ottiene un moto
oscillatorio ma non periodico.
L’andamento risulta piuttosto
irregolare.
La figura in basso rappresentata la
traiettoria ottenuta con la condizione
iniziale x0=0.499, (pari a solo 0.2% in
meno).
Dopo le prime 10 iterazioni i valori
ottenuti sono così lontani da perdere
ogni correlazione con la successione
precedente
Iterare funzioni e scoprire biforcazioni
(metodo grafico)
Sia y=f(x) una funzione. Sovrapponiamo
al suo grafico quello di y=x.
Prendiamo la condizione iniziale x0
sull’asse x.
Per calcolare x1 basterà calcolare f(x0)
tracciando la retta verticale x=x0 e
riportando sull’asse y il punto trovato
sulla curva.
Iterare funzioni e scoprire biforcazioni
(metodo grafico)
Per procedere nell’iterazione occorrerà riportare x1 sull’asse x per poter poi calcolare
f(x1).
Per questo si può usare la bisettrice y=x.
Basta portare x1 dall’asse y orizzontalmente fino alla bisettrice, poi scendere
verticalmente fino all’asse x.
A questo punto si potrà ripetere il procedimento considerando come nuovo punto
iniziale x1.
Si può notare che si
può passare da x1 a x2
anche senza passare
per l’asse x, riportando
direttamente il punto
P sulla funzione.
DIAGRAMMA A SCALA
I punti toccati sulla bisettrice sono i punti della successione generata.
Tutto ciò si può fare graficamente, senza far calcoli .
DIAGRAMMA A RAGNATELA
• Quando il procedimento riguarda una
funzione decrescente la costruzione risulta un
po’ diversa:
FUNZIONE QUADRATICA
Caso in cui la funzione è una parabola di equazione
Caso b=0:
f(x)=x2
Partendo da x0=0.7, la
traiettoria converge al
punto di equilibrio
attrattivo p*=0
f(x)=x2-b
FUNZIONE QUADRATICA
Caso in cui la funzione è una parabola di equazione
Caso b=0:
f(x)=x2
Caso b=0
Partendo da x0=-1.1, la
traiettoria “scavalca” il
punto di equilibrio
repulsivo q*=1 e poi
diverge a +∞
f(x)=x2-b
FUNZIONE QUADRATICA
La differenza di comportamento tra i due
diversi punti p* (equilibrio attrattivo) e q*
(equilibrio repulsivo) si può capire osservando
la pendenza della curva :
•Oltre q* la pendenza della curva supera
quella della bisettrice quindi in un intorno di
q* si comporta come la progressione
geometrica di ragione maggiore di 1
(espansiva).
•In p* la pendenza è 0 (“superstabilità”) e, se
approssimiamo la funzione con una funzione
lineare, avrà coefficiente angolare minore di 1
(progressione geometrica contrattiva)
FUNZIONE QUADRATICA
Caso b=0 (parabola y=x2)
Dopo un po’ di prove si può vedere che:
•Se si parte da una condizione iniziale vicina a p*=0
(punto di equilibrio attrattivo) la traiettoria generata gli
si avvicina asintoticamente
•Se si parte da una condizione iniziale vicina a q*=1
(punto di equilibrio repulsivo) la traiettoria si allontana
da esso.
FUNZIONE QUADRATICA
f(x)=x2-b
Es: b=0,5
In questo caso, la pendenza
della tangente nel punto
p*=
è negativa . Il diagramma è a
ragnatela convergente.
L’equilibrio è stabile solo
localmente, cioè partendo
da condizioni iniziali prese
abbastanza vicino
all’equilibrio (bacino di
attrazione)
(caso b>0)
FUNZIONE QUADRATICA
I valori di equilibrio dipendono dal
valore di b.
All’aumentare del valore di b, il
grafico della parabola è sempre
più ripido in corrispondenza del
punto p*.
In particolare, per b=3/4, la
tangente risulta perpendicolare
alla bisettrice (m=-1)
(caso b>0)
FUNZIONE QUADRATICA
Il valore ¾ per b (VALORE DI BIFORCAZIONE)
rappresenta un cambiamento nelle proprietà
qualitative del sistema dinamico.
Quando b supera il valore ¾ il punto di equilibrio p*
da attrattivo diventa repulsivo .
FUNZIONE QUADRATICA
(caso b>0)
Non solo, ma per valori di b poco maggiori di ¾ con
condizione iniziale vicina a p*, la traiettoria si allontana
da p* oscillando, da un certo punto in poi tra due punti
periodici.
In figura il caso b=1 con valore iniziale 1.3
La traiettoria continua a saltellare tra i due
punti 0 e -1.
FUNZIONE QUADRATICA
(caso b>0)
Il valore 5/4 per b fa diventare repulsivo il ciclo precedente, che passa da
periodo 2 a periodo 4.
Continuando ad aumentare b, si arriverà a traiettorie non periodiche, cioè
formate da valori che non si ripetono mai , ma riempiono densamente uno o
più intervalli (REGIME CAOTICO): le iterazioni sembrano non assestarsi mai
su un ciclo periodico e il diagramma a ragnatela continua a ricoprire in modo
apparentemente casuale il piano.
approfondimenti
ALTRI MODELLI
Le leggi ricorsive possono essere più complesse
rispetto al modello lineare.
• Il triangolo di Sierpinski
• Gioco di Collatz
• Modello preda-predatore o modello di LotkaVolterra (1920 circa).
• Algoritmo di Newton
Altri tipi di SDD
I SDD lineari affini hanno al più un punto di
equilibrio, cioè un solo punto fa da attrattore
per il sistema.
Ma esistono SDD con attrattori più complessi
come ad esempio:
IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI
IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI
Sia dato un triangolo qualsiasi, per esempio il
triangolo di vertici (0,0), (8,0), (4,7).
Partiamo da un punto qualsiasi P0
Ora lanciamo un dado a tre facce.
• Se esce 1 allora Pn+1 è il punto medio tra Pn e A
• Se esce 2 allora Pn+1 è il punto medio tra Pn e B
• Se esce 3 allora Pn+1 è il punto medio tra Pn e C
IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI
• Ecco cosa si ottiene simulando con Excel 200
lanci:
IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI
Ecco cosa si ottiene simulando con Excel 800 lanci:
IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI
Ecco cosa si ottiene simulando con Excel 5000 lanci:
IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI
L’attrattore di questo SDD è il cosiddetto
Triangolo di Sierpinski (Waclaw Sierpinski, 1882, 1969):
Dato un triangolo qualsiasi T0, si consideri la figura T1 che si
ottiene togliendo il triangolo centrale, cioè il triangolo con vertici
i punti medi;
da T1 si tolga il triangolo centrale a ciascuno dei triangoli
ottenuti;
da T2 si tolga il triangolo centrale a ciascuno dei 32 triangoli
ottenuti;….
da Tn tolga il triangolo centrale a ciascuno dei 3n triangoli
ottenuti;e così via.
Il limite all’infinito è il triangolo di Sierpinski.
IL TRIANGOLO DI SIERPINSKI
Qualunque sia il punto di partenza, la successione
tende a “riempire” il triangolo di Sierpinski
Gioco di Collatz
• E’ un gioco con i numeri naturali così definito:
• Per tutti i numeri x0<1012 è stato verificato con i
calcolatori che la successione prima o poi arriva a
1 (attrattore locale).
• Non è stato ancora provato se è vero o falso che
per ogni x0 la successione di Collatz assume prima
o poi il valore 1.
• In ecologia e in economia è molto usato il
modello quadratico detto preda-predatore o
modello di Lotka-Volterra, che lo proposero
intorno al 1920.
Modello di Lotka-Volterra
Il suo SDD (quadratico) è:
Il suo equilibrio non banale è (c/d, a/b), che in
generale è instabile.
Algoritmo di Newton
• Serve a trovare soluzioni approssimate di
un’equazione f(x)=0, dove f(x) è una funzione
derivabile.
• La sua legge ricorsiva è la seguente:
Che ammette come equilibrio proprio un punto in cui f interseca
l’asse x.
Algoritmo di Newton
Cosa succede se la f(x) è tale che l’equazione
f(x)=0 ammette più di una soluzione?
Supponiamo che f sia una parabola che interseca l’asse x in due
punti α1 e α2 (con α1< α2 e Δ>0).
Si ottiene che:
Se si parte da un punto a sinistra del vertice, la successione di
Newton converge ad α1 altrimenti ad α2
Algoritmo di Newton
• Cosa succede se la f(x) è tale che l’equazione
f(x)=0 ammette più di una soluzione?
Se si parte dalla semplice equazione di terzo grado
x3-x=0
(che ammette le tre soluzioni -1, 0, 1) si ottiene:
Se x0 >
la succ. converge a 1
Se x0 <la succ. converge a -1
Ma se - <x<
si possono trovare punti arbitrariamente
vicini tali che la successione converge a valori differenti.
Algoritmo di Newton
Si può verificare ad esempio che
• Se x0 =0.4472 la successione converge a 0
• Se x0 =0.44725 la successione converge a 1!
Algoritmo di Newton
In questo caso si parla di CAOS
Le prime iterazioni mostrano valori pressoché uguali, ma alla quinta
iterazione la prima successione vale circa -0.36, la seconda -0.97, la terza
addirittura 15.6!
CASO E CAOS
Si tratta del famoso “effetto farfalla”:
Il battito d’ali in Florida provoca un tornado alle
Hawai
Il caos
si è impadronito
del problema…..
CASO E CAOS
I SDD hanno il pregio di mostrare, anche con oggetti
geometrici e immagini bellissime, la stretta
relazione tra caso e caos.
Se scelgo a caso il punto di partenza, anche in un
bacino strettissimo, posso avere evoluzioni del tutto
differenti.
matematica in cui spesso si
Hanno il pregio di mostrare una
deve rispondere
“non lo so”
o addirittura
“non lo posso sapere”.
Possiamo prevedere il futuro?
Gran parte dei sistemi deterministici è così
complicato da apparire completamente
caotico, quindi
da sottrarsi alla nostra capacità di previsione.
Gli uragani, i crolli in borsa, gli attacchi cardiaci, i
terremoti sono eventi al di fuori del nostro
controllo
Possiamo prevedere il futuro?
D’altro lato lo studio del caos ci può dire per
quali valori dei parametri possiamo ottenere
un tipo di comportamento o il suo opposto.
Poiché noi possiamo agire sui parametri esterni
di un sistema, è importante sapere come
dobbiamo regolarli per
evitare l’insorgere del caos
Possiamo prevedere il futuro?
Se da una parte lo studio del caos deterministico
pare imponga limitazioni al potere predittivo
della scienza, dall’altro rappresenta
un’area di frontiera
verso nuove possibilità di conoscenza e una
sempre più chiara concezione di scienza ,
intesa come continuo confronto con la realtà.
Fine