Kondo effect in a Quantum Dot and Fano resonance in an Aharonov

download report

Transcript Kondo effect in a Quantum Dot and Fano resonance in an Aharonov

Генерация субгармоник в квантовых джозефсоновских цепях

М.В. Денисенко, В.О. Муняев, А.М.Сатанин Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского, Лаборатория «Теория наноструктур» НИФТИ,Н.Новгород, Россия

Мотивация и актуальность

A. Wallraff,

et al

., Nature (London) 431, 162 (2004)

Схема нелинейного осциллятора

Элементы: Участок цепи: •

для сверхтонких измерений

I.Siddiqi

et al

., Phys. Rev. Lett. 93, 207002 (2004); I. Siddiqi,

et al

. Phys. Rev. B 73, 054510 (2006).

Неэквидистантный спектр!

Возможности:

• Селективное заселение фоковских состояний; • Измерение населенностей кубита •

исследование нелинейных явлений (например, деление частоты)

Исследуемая схема Резистивная модель джозефсоновского перехода

I ac

cos Рассмотрим   2    2 sin  

I ac

 2 cos

I c

Раскладываем синус  

I ac

 3

I c x

  

x

 2 

x x

x

3   cos  

p

n

где 

p

2      2

e I c n C

p n

RC

   

t n

Пример реализации: волновод с встроенным джозефсоновским контактом

, Центральная “жила” планарного волновода “разорвана” и в неё встроена слабая связь Динамика перехода описывается в рамках резистивной модели: 2

e C d

2  1

dt

2  2   1  1 2

Z l

Вблизи минимума энергии, когда  

d

 1

dt

I C

1 sin  1 

I C

2 sin(  1 

I C

1 sin  1 (0) 

I C

2 sin   1 (0) 

f f

1 )   

Z l

0 0     1  1 (0)   2

e C d

2 

dt

2  2   1  1 2

Z l

 

d

dt

 2

e C

J

2 3  1

Z l

0   

J

2  2

eI C

1

C a

I C

2

I C

1 

J

2  

J

2  1 

a

2 

f

 1/ 2

Гамильтониан джозефсоновского перехода

Квантование:    ˆ ,

p

При квантовании величин, используем коммутационное соотношение:  ˆ ˆ 

i

Плазменная частота 

p

 8

E E c J H

СV

2 2  2

e I c

sin   2

e E c

e

2 2

C E J

 2

e I c

H

 8

E p c

2 2 

E J

cos   2 С учетом слабой нелинейности 2

e H

 2  2

p

ˆ 2    4 ˆ 4   ˆ 

Главный резонанс (n = 1)

 

p

 1   2  Выделяем быстрые колебания: Квазиэнергетическая поверхность в отсутствии трения   3   cos     

q

sin 

q

cos   

p

cos 

p

sin        

I ac I c

После усреднения  В отсутствии трения:    0.1

 0.01

   

p q

  2

q

2 

p

  3 8 3 8 2 

p

2   

q

2 

p

2   

p

  2 В отсутствии трения:

H

 

q

2  32

p

2   8   3 

q

2 

p

2     2

q

Фазовый портрет (n = 1)

Точный резонанс:   0 Без трения и    1 С трением:   0.1

Устойчивый фокус 7

Динамика перехода (n = 1)

Со временем колебания выходят на:  

r

0 cos    0  Фурье спектр   0.02

  1   0.1

 

p

 3

Дробный резонанс (n = 3)

x

 2 

x x

x

3   Линейный сдвиг:

x

Квазиэнергетическая поверхность в отсутствии трения 

A

cos

A

 

n

2  2  

An

sin   

A

cos  3  0    0  

q q

sin cos    

p p

cos sin   После усреднения    

p q

  2  2

q

p

 3 3  8  8 

q

 

p

 2

A

2 2

A

2  

q

2

q

2  

p

2

p

2   2

Aqp

  

q

2 

p

2    

p

  0.15

A

  0.3

В отсутствии трения:

H

 

q

2  4

p

2    3  8  4

A

2 

q

2 

p

2  

A

 8 2  3

p

2 

Условия наблюдения дробного резонанса

   21 16

A

2   16 3  2

A

2  Один устойчивый фокус    21 16

A

2   16 3  2

A

2  Возникают три новые точки равновесия    21 16

A

2   16 3  2

A

2  Один устойчивый фокус, три седла, три устойчивых фокуса или узла

A c

  16 3 7   

c

 2 7 

Фазовый портрет (n = 3)

Точный резонанс:   0.1

Без трения и

A

  0.3

С трением:   0.01

Устойчивые точки равновесия

Динамика перехода (n = 3)

Со временем колебания выходят на:

x

A

r

 cos      Фурье спектр Дробный резонанс   0.01

  1.1

  1.4

Квантовая теория нелинейного резонанса

H

 2  2

p

ˆ 2    4 ˆ 4   ˆ  ˆ  1 2 

p

(   ), 

i

p

( 2  

H

 

p

   4 (   ) 4  ( )( ˆ   ) ) Резонансное приближение Совершим унитарный поворот и выделим вращение на частоте внешнего поля 

f t

f

0 cos( 

t

) Стационарный гамильтониан в резонансном приближении:

H eff

 

n

ˆ   4 ˆ 2 

f

0 2 (

a

ˆ 

a

ˆ  ) Разлагая волновую функцию по фоковскому базису получим уравнение для коэффициентов |   

i

C n

t

 ( 

n

  2 )

n

f

0 ( 2

nC n

 1 

n

 1

C n

 1 ) Условия захвата в нелинейный резонанс:

n

0   2   1, 

n

n f

 0   0 1/ 4 

n

0

Квазиэнергетическое представление Спектр квазиэнергий

f

0  0

f

0  0.025

f

0  0.05

E n

 

n

 

n

2

n

max  2  

Главный резонанс

Управляющее поле подается на частоте близкой к плазменной частоте, т.е.

 <  p 

f

0  0.1

n

0  66 Возбуждение из основного состояния осциллятора    0.00015

 0.02

f

0  0.2

n

0  66

f

0  0.3

n

0  66

Динамика населенностей при главном резонансе

Квазиэнергетическое состояние: Эволюция суперпозиции квазиэнергетических состояний

t

 0

t

 150

T t

 300

T t

 450

T

Дробный резонанс

Аналогично классическому случаю совершаем линейный сдвиг 

H

 

p

   4 (     

i f

0

t

0 

e i

 cos(3      После перехода во вращающуюся систему координат и усреднения по быстро осциллирующим колебаниям, получаем

H eff

    4 ˆ 2  ( ˆ 3 

a

ˆ  3 )

g

f

0 

p

8 2 Уравнение

i

 

t

|    

n

ˆ   4

n

ˆ 2  ( ˆ 3 

a

ˆ  3 так же решаем в фоковском базисе: |   

n

 

Динамика населенностей при дробном резонансе

n

18

• • • •

Диссипативная динамика осциллятора Механизмы релаксации в джозефсоновском осцилляторе:

Флуктуация заряда на джозефсоновских контактах Квазичастицы на островках сверхпроводимости (конечное сопротивление) Ядерные спины в подложке (флуктуация магнитного поля) Радиационное затухание, связь с управляющим полем   

t

Уравнение для матрицы плотности:

i

1    2 (2    

p

 1,   0.001

H

 

p

   (

a a

) 2  ( )( ˆ 

a

ˆ  ) 

f

0 cos( 

t

)

f 0

=0.3

f 0

=0.2

f 0

=0.1

Влияние релаксации

  0.002

  0.005

  0.01

t/T 

Диссипация приводит к быстрому захвату в нелинейный резонанс (выход на стационарное значение)

 0.01,   0.0015,

f

 0.1

Выводы

• • • •

Рассмотрена джозефсоновская цепь, в которой возможно деление частоты Показано, что в классическом режиме происходит захват колебаний на главный и дробные резонансы В резонансном приближении построены квазиэнергетические состояния для эффективных гамильтонианов, описывающих целый и дробный резонансы Выяснена роль диссипации в процессе захвата на резонансы