Transcript 双安定環状単方向結合写像格子の指数関数的過渡 - 工学部

双安定環状単方向結合写像格子の
指数関数的過渡振動と
その安定化
香川大学工学部
堀川 洋 北島博之
1. 研究の背景
･指数関数的遷移過程(超過渡状態)
初期状態 → 遷移状態(過渡状態) → 平衡状態
↑
遷移時間が系の大きさに対して指数関数的に増加
T ∝ exp(N)
→ 実質的な時間内 ↛ 平衡状態
→ 過渡状態 〜 系の機能にとって重要
1. 研究の背景
･指数関数的遷移過程の例
f
1
0.5
1. 双安定反応拡散系
0
-1.5
u/t   2 2u / x 2  f (u )
-1
-0.5
0
0.5
1
-0.5
f (u )  u (1  u 2 ) ( L / 2  x  L / 2)
界面、パルスパターン → 空間一様状態
l
-1
u
1.5
1. 研究の背景
･指数関数的遷移過程の例
2. 結合写像格子(CML)

xn (t  1)  (1  ) f ( xn (t ))  { f ( xn 1 (t ))  f ( xn 1 (t ))}
2
f ( x)  1  ax2 (1  n  N )
･3周期の窓
遷移カオス
→ 3周期軌道
1. 研究の背景
･指数関数的遷移過程の例
2
1
N
3. 環状神経回路
dxn / dt   xn  f ( xn1 )
f ( x)  tanh(gx) (1  n  N ,
進行波(振動) → 平衡状態
l
x0  xN )
1. 研究の背景
･反応拡散系の界面の移動
･環状神経回路のパルス波の伝播
･対称的な双安定性
･共通の機構
dl/dt ～ -exp(-l) l：界面間の距離
パルス幅
･本研究の目的
単方向に結合した双安定な環状の写像格子
→ 同様な指数関数的遷移過程が見られるか?
2. モデル
単方向に結合した環状写像格子
2
1
N
xn (t  1)  f ( xn (t ))  cxn 1 (t ) (c  0)
f ( x)  x(1  x 2 )
(1  n  N , x0  x N , t  0)
n：格子番号, N：格子数 (N ≥ 3)
t：離散的時間
-1
xn(t)：時刻tにおけるn番目の格子の状態
1
f (x )
0
0
-1
双安定な平衡状態：xn = ±c1/2 (1 ≤ n ≤ N)
x
1
2. モデル
ランダムな初期状態：xn(0) ~ N(0, 0.12)
→ パルス状進行波 (xn(t): c1/2 ⇄ -c1/2 )
シミュレーション
図1 環状結合写像格子の過渡振動 (c = 0.2, N = 20)
3. パルス波の伝播方程式
N：偶数のとき (N = 2M)
1/ 2
x

c
(1  n  l h  N / 2)
初期状態： n
x n  c1 / 2
(l h  n  N )
→ 対称型パルス波
lh
lh
部分空間内：xn = -xN/2+n (1≤ n ≤ N/2)で安定
3. パルス波の伝播方程式
単位格子あたりの伝播時間
Δt： xn-1(t) = 0 → xn(t + Δt) = 0
lh
3. パルス波の伝播方程式
log10(Δt (lh ) - Δt ∞)
単位格子あたりの伝播時間 vs パルス幅：lh
Δt： xn-1(t) = 0 → xn(t + Δt) = 0
0
-1
-2
-3
lh
-4
-5
-6
0
2
4
6
8
10
12
l h (= N /2)
図2 パルス波面の1格子あたりの伝播時間 (c = 0.2)
t (lh )  t  b exp(alh )
(lh  N / 2)
a  1.515, b  28.277, t  5.952
(5)
3. パルス波の伝播方程式
仮定：
パルス波面の伝播時間：Δt
→ 後方のパルス波面までの距離：lに依存
l
Δt
パルス幅：lの変化
→ 2つのパルス波面の伝播速度の差
dl / dt  1 / t (l )  1 / t ( N  l )
 β{exp(αl )  exp[α( N  l )]}
α  a  1.515, β  b / t2  0.798
(6)
4. パルス波と振動の持続時間
1.非対称パルス波の持続時間：T(l0; N)
1/ 2
(1  n  l0 )
初期状態： xn  c
(l0≠N/2)
xn  c1/ 2 (l0  n  N )
→ 初期パルス幅：l0，N - l0を持つ不安定な進行波
exp(l (t ))  exp(N / 2) tanh{ exp(N / 2)t
 arctanh[exp((l 0  N / 2))]}
(7)
l(T) = 0 →
exp(N / 2)
T (l0 ; N ) 
{arctanh[exp((l 0  N / 2))]

 arctanh[exp(N / 2)]}
(8)
4. パルス波と振動の持続時間
1. 非対称パルス波の持続時間：T(l0)
N → ∞とすると
dl / dt   exp(l )
(9)
l (t )  1 /   log[exp(l0 )  t ] (l (0)  l0  N / 2)
T (l0 )  [exp(l0 )  1] /() (l (T )  0)
T(l0)～exp(l0) ･･･ パルス幅に対して指数関数的に
増加
4. パルス波と振動の持続時間
1. 非対称パルス波の持続時間：T(l0)
T(l0) ～ exp(l0)
log10(T (l0))
7
sim ulation of Eq.(3)
6
Eq.(9)
5
l0
4
3
2
1
0
0
2
4
6
8
l0
10
図3 初期パルス幅l0の振動の持続時間 (c = 0.2, N = 21)
4. パルス波と振動の持続時間
2. ランダム初期状態(xn(0) ~ N(0, 0.12))から生じるパ
ルス波(l0 ~ U(0, N/2))の持続時間の分布：h(T)
l0

0
T
U (0, N / 2)dl0 '   h(T ' )dT '
(10)
0
h(T ) 
1
2 dl (T ; N ) 2
  0

| dT (l0 ; N ) / dl0 | N
dT
N
 4 exp(N / 2)cosech{2[exp(N / 2)T
 arctanh(exp(N / 2))]}/ N
h(T ) 

2

T  1 N
(0  T  Tc )
h(T )  4 exp(T ) /(N )
  2 exp(N / 2)
(T  Tc )
(12)
(13)
(11)
4. パルス波と振動の持続時間
2. ランダム初期状態から生じるパルス波の持続時間：
Tの分布：h(T)
カットオフ：
Tc = exp(αN/2)/(αβ)
≈ 3×106 (N = 20)
Prob{T > Tc}
≈ 4exp(-2)/(αN)
≈ 0.357/N
≈ 0.018 (N = 20)
log10 (h (T ))
h(T)〜 1/T
(T < Tc)
〜 exp(-T) (T > Tc)
0
sim ulation of Eq.(3)
Eq.(11)
Eq.(12)
Eq.(13)
-2
-4
Tc
-6
-8
-10
0
2
4
6
8
log10(T )
図4 ランダム初期状態からの振動の
持続時間の分布 (c = 0.2, N = 20)
4. パルス波と振動の持続時間
m(T )  2[exp(αN / 2)  1  αN / 2] /(α 2βN )
σ 2 (T )  [exp(αN )  4 exp(αN / 2)  3  αN ]
/(α 3β 2 N )  m(T ) 2
CV (T )  σ(T ) / m(T )  (αN )1/ 2 / 2
平均：m(T)～exp(N)
標準偏差：σ(T) ～exp(N)
変動係数：CV(T) > 1
(14)
log10(m (T )),log10(σ(T )), C V (T )
2. ランダム初期状態から生じるパルス波の持
続時間：T
7
m (T) w ith Eq.(3)
m (T) in Eq.(14)
σ(T) w ith Eq.(3)
σ(T) in Eq.(14)
C V (T) w ith Eq.(3)
C V (T) in Eq.(149
6
5
4
3
2
1
0
0
5
10
15
N
20
図5 振動の持続時間の平均、標準偏差、変動係数
5. 雑音による振動の持続
時空間的な加法的雑音の存在
xn (t  1)  f ( xn (t ))  cxn1 (t )   x wn (t ) (c  0)
f ( x)  x(1  x 2 )
(1  n  N , x0  x N )
(15)
E{wn (t )}  0, E{wn (t ) wn ' (t ' )}   n ,n 't ,t '
→ パルスの伝播方程式 + 雑音項
dl (t ) / dt  β{exp(αl (t ))  exp[α( N  l (t ))]} l w(t )
E{w(t )}  0, E{w(t )w(t ' )}  (t  t ' )
(16)
5. 雑音による振動の持続
N = 20, l0 = 4
c0 = 0.2
← 雑音無し
シミュレーション
← 雑音：小
波形に乱れ
← 雑音：大
パルスの自然発生
5. 雑音による振動の持続
振動の持続時間の平均：m(T(l0))
分散：σ2(T(l0))
m(T (l0 ))  2[  π(η)dη
N /2
η
0
(σ l2 π(ξ))1 dξ ]
σ (T (l0 ))
2
l0
N /2
0
η
 4[  π(η)dη
π( y )  exp( 
y
m(T (ξ )) /(σ l2 π(ξ)) 1 dξ ]  m(T (l0 ))2
2a(η)
dη)
σ l2
a( y )  β{exp(αl (t ))  exp[α( N  l (t ))]}
(17)
log10(m (T (l0))
4.5
l0
4.0
3.5
3.0
2.5
2.0
0.00
有限の雑音強度
→ 平均持続時間が増加
0.01
l0 = 6 (sim ulation)
l0 = 5 (sim ulation)
l0 = 4 (sim ulation)
0.02
σx
0.03
l0 = 6 (Eq.(17))
l0 = 5 (Eq.(17))
l0 = 4 (Eq.(17))
図6 雑音強度に対する振動の平均持続時間
(c = 0.2, N = 20)
6. 平衡点の分岐による振動の安定化
結合強度：c → 大 ⇨ 平衡点への漸近：単調 → 振動的
･周期倍化分岐 ⇨ 周期解 → カオス
･Neimark-Sacker分岐 ⇨ 概周期解 → カオス
平衡点(c1/2)の回りでの線形化写像
yn (t )  xn (t )  c
1/ 2
c  y1 (t ) 


0 0
0  y2 (t ) 
  



 
  


0 c 1  3c  y N (t ) 
0 0
(1  n  N )
λ  1  3c  c exp( j 2nπ / N ) ((λ  1  3c) n  c n )
c = 0.2
c = 1/3
c = 1/2
単位円
1
Im λ
0
 y1 (t  1)  1  3c

 
y
(
t

1
)
1  3c
 2
  c





 


 
 y (t  1)  
0
 N
  0
1.5
0.5
0
(17)
-1.5
-1
-0.5 0
-0.5
0.5
1
-1
-1.5
R eλ
図7 ヤコビ行列の
固有値の分布 (N = 20)
1.5
6. 平衡点の分岐による振動の安定化
平衡点 → 周期倍化分岐 → 周期解 → カオス
c = 0.5
図8 正の平衡点の分岐
シミュレーション
図9 安定化した振動(a)、カオス的な振動(b)(c)
7. まとめ
単方向に結合した環状の双安定写像格子
→ 指数関数的過渡振動の存在
･過渡振動の持続時間 ∝ exp(系の大きさ)
T ∝ exp(N)
･有限強度の時空間雑音による持続時間の増加
･平衡点の周期倍化分岐に伴う振動の安定化
今後の課題：パルス伝播方程式の解析的導出
dl / dt  1 / t (l )  1 / t ( N  l )
 β{exp(αl )  exp[α( N  l )]}