Transcript Document

Угол между образующими СА и СВ конуса
равен 600, высота конуса равна 4, а радиус основания равен 4 15 . Найдите градусную меру угла
3
между плоскостью АВС и плоскостью основания
конуса.
В10. вар. 3.
4 15
3
В10. вар. 3
Угол между образующими СА и СВ конуса равен 600,
высота конуса равна 4, а радиус основания
4 15
равен
. Найдите градусную меру угла между
3
плоскостью АВС и плоскостью основания конуса.
1).
Из
ACO
, по теореме Пифагора:
АС2=АО2+СО2
4 15
3
4 15 2
2
AC  4  (
) 
3
1615 1691615
 16


9
9
4
8 6
 24 
3
3
• Так как АС=ВС, то углы А и В равны, как углы при
основании равнобедренного треугольника. Угол
С равен 600,а так как сумма углов треугольника
равна 1800, то углы А и В тоже по 600, а значит 8 6
треугольник АВС-равносторонний. АС=ВС=АВ=
3
8 6
3
4 15
3
2).
Из CAL, L  90
0
CL
sin CAL 
|
AC
8 6
8 6 3
0
CL  AC sin CAL 
sin 60 
 4 2
3
3 2
3).
4 2
Из CLO, O  90
CO
4
1
2
sin CLO 



CL 4 2
2 2
CLO  450
Ответ:450
0
В11. вар. 3
• В правильном шестиугольнике А1А2А3А4А5А6 сторона равна 8 3.
Отрезок ВС соединяет середины сторон А3А4 и А5А6. Найти длину
отрезка, соединяющего середину стороны А1А2 с серединой
отрезка ВС.
1).Сторона правильного шестиугольника равна радиусу
описанной около него окружности. ВС - средняя
линия трапеции А3А4А5А6. А5А4 =R, А3А6=2R
A4 A5  A3 A6
BC 

2
R  2R


2
3R 3  8 3



2
2
 12 3
• Треугольник BLC-равносторонний.LH-
a 3
высота. Найдем её по формуле: h 
2
,
где а- сторона треугольника.
BL 3
LH 

2
12 3  3

 18
2
Ответ:18
Площадь полной поверхности прямоугольного
параллелепипеда можно вычислить по формуле:
S=2(ab+ac+bc)
Уравнение плоскости в отрезках:
x y z
   ,1
a
b
c
где a, b, c –абсцисса, ордината и аппликата
точек пересечения плоскости с осями
координат.
Если Ax+By+Cz+D=0 -уравнение
плоскости ά, то:
 (M ( x0 ; y0 ; z0 );  ) 
| Ax0  By 0  Cz0  D |
A  B C
2
2
2
Sпол.пов.=160; АВ>AD в 2раза, AB>CC1
B 10
в 2 раза. Найти расстояние от т.А до
плоскости (СВ1D1) .
Решение
4
1). Выберем систему координат так, чтобы т.С1
была началом координат,точки D1 , B1 ,C лежали
на осях Ох, Оу и Оz соответственно.
Sпол.пов.=2(AB·AD+AB·AA1 + AD·AA1);
4
Sпол.пов.=2(2m2+2m2+m2)=160;
10m2=160,m2=16, m=4
8
x y z
  1
2). (D1B1C): 8 4 4
, или x+2y+2z=8;
x+2y+2z-8=0, А=1, В=2; С=2, D=-8.
x0
3).
y0
z0
A(8; 4 ; 4)
1
Ответ: 5
3
;  ( A; )  | 1 8  2  4  2  4  8 |  16  5 1
2
2
2
1 2 2
3
3
1.а).
Некоторые тригонометрические
тождества:
Если

sin 2   cos 2   1
- острый угол, то
sin   1  cos  ,
2
б).
Если
cos   1  sin 
1
ctg   1 
2
sin 
2

- острый угол, то
в).

2

sin  
1
1  ctg 2
sin 2  2 sin   cos
400
2.
800
Градусная мера вписанного угла (ВАС) равна половине
градусной меры дуги (ВС), на которую он опирается.
Градусная мера центрального угла (ВОС) равна
градусной мере дуги (ВС), на которую он опирается.
3.
Площадь
треугольника ОВС
равна
половине
произведения
его
сторон на синус
угла между ними.
1
S  OB  OC sin BOC
2
Следствие из
теоремы синусов:
4.
AB
BC
AC


 2R
sin C sin A sin B
BC
 2R
sin A
BC
 2R
sin A


BC  2R sin A
BC
R
2 sin A
B 11
В ABC , ВС=12, ctgA=3. Найти S OBC
где О-центр описанной около треугольника
АВС окружности.
Решение.
1). ctg 2 A  1 

1
1
sin
A


ctg 2 A  1
sin 2 A
1
1
sin A 

2
10
3 1
2). По следствию из теоремы синусов:
BC
 2R 
sin A
BC
12
R

 6 10
2 sin A 2  1
10
6 10
12
6 10
1
,как вписанный угол.
A  BC
2
BOC  BC -как центральный, следовательно:
3).
BOC  2A
4).
cos2 A sin 2 A 1 
cos A  1sin A 
1 2
3
1(
) 
10
10
2
5).
6).
6 10
6 10
1
3
sin 2 A 2 sin Acos A 2

0,6
10 10
1
S
 OB OC sin BOC 
ABC 2
1
  6 10  6 10  0,6 108
Ответ: 108
2
3).
Объём пирамиды равен одной третьей
произведения площади основания на высоту.
1
V  S ABC  h
3
1).
Теорема
косинусов:
• a2=b2+c2-2bc cosA
b2=a2+c2-2ac cosB
c2=a2+b2-2ab cosC
2).
Теорема Пифагора:
«В прямоугольном
треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме
квадратов катетов».
c2=a2+b2
a  c b
2
2
b  c a
2
2
В10
Дано: АВ=8,АС=4, cosA=0,8,
РА=РВ=РС=4,5.Найти VРАВС
Решение.
1).
R
2).
R
R
По теореме косинусов
из ABC :
a 2 b2 c 2 2bccos A
BC 2  42  82  2 4 8 0,8 
144
12
 28,8 

BC 
5
5
РА=РВ=РС=4,5
.

O-центр описанной окружности.
OА=OВ=OС=R
3).
R
4).
R
sin   cos   1 
2
2
sin   1cos2  
2
 10,8  0,6
R
По следствию из теоремы синусов из
ABC
BC
 2R 
sin A
BC
12
125
R


2 5
2 sin A
5 20,6
5 23
:
5). Из
 РОВ, по теореме
Пифагора: РО2=РВ2-ОВ2.
2
2
PO  PB OB 
2
2
 4,5 (2 5 ) 
1
2
81 80
1 1

 

4 4
4 2
2 5
6).
1
1
S
 AB  AC sin A   480,6  9,6
ABC 2
2
7).
1
1
1
V
 S
 PO  9,6 1,6
PABC 3 ABC
3
2
Ответ: 1,6
Вписанные
углы,
опирающиеся
на одну и ту же дугу равны.
В 11
Дано: АВСD-выпуклый четырехугольник,
7
Найти длину стороны ВС. 4
АВ=12, cos BAC cos BDC 
,
cos ADB 
12
.
13
Решение.
1).
7
Так как cos BAC cos BDC 
4
BAC  BDC
, то

вершины четырехугольника
ABCD лежат на окружности.
sin ADB  1cos ADB 
12 2
169 144
 1 ( ) 


13
169 169
2
2).
25
5


169 13
3).
По следствию из теоремы
синусов из  АВD:
AB
 2R
sin ADB

AB
12
R

15,6
2 sin ADB 2 5
13
sin BAC  1cos2 BAC 
7 2
7
9 3
 1( )  1 

4
16
16 4
4).
5).
По следствию из теоремы синусов из

АВС:
BC
 2R  BC 2R sin BAC 215,6 3 23,4
sin BAC
4
Ответ: 23,4
I вариант.
В ABC , ВС=6, ctgA=3. Найти S OBC , где Оцентр описанной около треугольника АВС
окружности.
IIвариант.
Дано: ABCD-выпуклый четырехугольник, АВ=14.
7
, 4
cos BAC  cos BDC 
cos ADB

.
Найти длину стороны ВС.
12
13