Розміщення коренів квадратного тричлена

Властивості квадратного тричлена та їх геометрична графічна інтерпретація

Основна мета:  Узагальнити і систематизувати знання учнів про кількість розв’язків квадратного рівняння;  Ознайомити учнів із дослідженням кількості розв’язків квадратного рівняння залежно від значення параметра;  Показати застосування теореми Вієта в задачах з параметрами.

Учні повинні вміти:  Проводити дослідження кількості коренів квадратного рівняння залежно від параметра;  Застосовувати теорему Вієта в задачах з параметрами.

Розглянемо розміщення коренів квадратного тричлена ax 2 +bx+c в залежності від значень параметра

В залежності від параметра а:  Якщо a>0 х 1 х 2 х D<0

В залежності від параметра а:  Якщо a<0 х 1 х 2 D>0 D<0 D=0

В залежності від параметра а:  Якщо a=0, то квадратне рівняння ax 2 +bx+c =0 перетворюється на лінійне bx+c=0.

 Корінь рівняння bx+c=0, x=-c/b

Висновок  Отже, дослідження квадратного тричлена розпочинаємо з аналізу старшого коефіцієнта.

 Якщо старший коефіцієнт не дорівнює 0, то аналізуємо значення дискримінанту.

Теорема Вієта   Для співвідношення між коренями квадратного рівняння а розв’язування лише з завдань параметром аналізувати на зручно користуватися теоремою Вієта. При цьому не знаходити корені квадратного рівняння, значення дискримінанту.

ax 2 +bx+c=0, якщо D>0, то x 1 +x 2 = - b/a x 1 ·x 2 = c/a

Розв’яжіть рівняння abx 2 +(a 2 -b 2 )x+(a-b) 2 =0; Основні кроки:  а=0, b=0  а=0, b≠0  а≠0, b=0  а≠0, b≠0  a=b  a ≠b

abx 2 +(a 2 -b 2 )x+(a-b) 2 =0  а=0, b=0, x  R  а=0, b≠0, -b 2 x+b 2 =0, x=1  а≠0, b=0, a 2 x+a 2 =0, x=-1  а≠0, b≠0, D= (a-b) 4  a=b, D=0, x=0  a ≠b, x 1 =(b-a)/a, x 2 =(b-a)/b.

Завдання для самостійного розв’язування:  При яких а рівняння ax 2 +(a-2)x-2=0 корінь?

має один  При яких значеннях а сума коренів квадратного рівняння x 2 +(a 2 +2а-3)x+a=0 дорівнює 0?

 Корені x 1 , x 2 квадратного рівняння x 2 -(2a-13)x +а-5=0 задовольняють рівняння

x

1 

x

2 

a

. Знайдіть а.

При яких а рівняння ax 2 +(a-2)x-2=0 має один корінь?

Якщо а=0, то х=-1.

Якщо а≠0, то рівняння матиме один корінь при умові D=0.

D=(a+2) 2 =0; a=-2; Відповідь: при а=0, а=-2 рівняння має один корінь

При яких значеннях а сума коренів квадратного рівняння x 2 +(a 2 +2а-3)x+a=0 дорівнює 0?

За теоремою Вієта x 1 +x 2 =-(a 2 +2a-3), a 2 +2a-3=0, a 1 =-3, a 2 =1.

З врахуванням значення дискримінанта D=(a 2 +2a-3) 2 -4a ≥0 маємо значення а=-3.

Відповідь: а=-3.

Корені x 1 , x 2 квадратного рівняння x 2 -(2a-13)x+а-5=0 задовольняють рівняння

x

1 

x

2 

a

Знайдіть а. За теоремою Вієта x а 1 =21, а 2 =9

x

1 2

a

 Відповідь: а=9.



x

2 13   1 2 +x

a a

2 =2a-13, x  5 рівняння відносно параметра а.

завдання. Отже, а=9, тоді х 1 

x

1

a



x

=1, х 2 2 1  · x 2 2 =a-5

x

1 Значення а=21 не задовольняє умову =4.

2 

Домашнє завдання на вибір  При яких а обидва корені рівняння ( a-2)x 2 2аx-а+3=0 додатні?

 При яких m корені рівняння (m -2)x 2 -3(m+2)x+6m=0 мають різні знаки?