Transcript Geometria e Trigonometria

Geometria e
Trigonometria
Geometria e Trigonometria
Elementos de um triângulo retângulo
O triângulo ABC da figura representa um triângulo retângulo em A .
A
(Â é reto)
b
c
B
hipotenusa
a
C
O lado oposto ao ângulo reto é
chamado de hipotenusa,
enquanto os outros dois são
chamados catetos.
Traçando a altura relativa à hipotenusa, temos as medidas h, m e n.
• h: medida da altura relativa à hipotenusa;
• m: medida da projeção do cateto
sobre a hipotenusa;
• n: medida da projeção do cateto
sobre a hipotenusa.
A
b
c
h
B
m
n
H
a
C
2
Geometria e Trigonometria
Teorema ou relação de Pitágoras
Vamos exemplificar a relação de Pitágoras vista no ano anterior para um
caso particular:
5
a=5
b=4
B
a
b
C
3
c
a2
=
b2
c=3
+
c2
A
4
A relação ou teorema de Pitágoras é enunciada: a2 = b2 + c2
Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa (a)
é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos (b e c).
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Demonstração do teorema de Pitágoras
Existem muitas formas de demonstrar esse teorema. Vejamos uma delas,
baseada na semelhança de triângulos.
Considere um triângulo ABC, retângulo em A, com altura AH
hipotenusa.
relativa à
A
b
c
Temos que: a = m + n
1
h
n
m
B
H
C
a
4
Geometria e Trigonometria
Vamos considerar agora os triângulos HBA e ABC.
Colocando-os na mesma posição, podemos perceber os lados
correspondentes.
h
c
b
c
h
m
a
m
b
c
c
a
O que eles têm em comum?
Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo B em comum.
Assim, os triângulos são semelhantes pelo caso de semelhança AA.
=
=
c2 = am
2
ah = bc
3
ch = bm
4
5
Geometria e Trigonometria
Vamos considerar agora os triângulos ABC e HAC.
A
A
B
b
b
c
h
C
a
H
C
n
Novamente, vamos refletir sobre o que eles têm em comum.
Os dois triângulos têm um ângulo reto e o ângulo C em comum; portanto, são
semelhantes.
b2 + c2= an + am
b2 = an 5
b2 + c2= a(n + m)
bh = nc
6
ah = bc
3
c2 = am
2
Como, a = m + n
Então,
1
b2 + c2= a2
6
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Outras relações métricas importantes no triângulo retângulo
A
A
b
c
B
m
h
h
H
H
n
C
Assim como fizemos anteriormente,
ao observar os dois triângulos
podemos verificar que eles são
semelhantes.
Logo,
=
De
.
=
=
h2 = mn
, obtemos
que
Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à
hipotenusa é igual ao produto das medidas das projeções dos catetos sobre
a hipotenusa.
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Geometria e Trigonometria
Da demonstração do teorema de Pitágoras, você pôde notar que foram
estabelecidas outras relações:
c2 = am
b2 = an
O quadrado da medida de um cateto é igual ao produto da medida da
hipotenusa pela medida da projeção desse cateto sobre a hipotenusa.
Também da demonstração, temos outra relação:
ah = bc
3
Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao
produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa.
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Resumindo, as relações métricas do triângulo retângulo são:
h2 = mn
a=m+n
ah = bc
a2 = b2 + c2
b
c
h
c2 = am
m
b2 = an
n
a
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Geometria e Trigonometria
Aplicações importantes do teorema de Pitágoras
Diagonal de um quadrado
Dado um quadrado ABCD qualquer, cujo lado mede ℓ, como encontrar a
medida (d) da diagonal desse quadrado em função de ℓ?
O triângulo ADC é retângulo em D.
A
ℓ
B
Podemos aplicar então o teorema de
Pitágoras:
d2 = ℓ2 + ℓ2
d2 = 2 ℓ2
d = ℓ2
d=ℓ
ℓ
ℓ
d
D
C
ℓ
Portanto, a medida da diagonal de um quadrado é sempre igual ao produto da
medida de um lado por
.
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Altura de um triângulo equilátero
Dado um triângulo equilátero ABC qualquer, cujo lado mede ℓ, como podemos
encontrar a medida (h) da altura desse triângulo em função de ℓ?
A
O triângulo ABH é retângulo em H.
Vamos aplicar o teorema de Pitágoras:
h2 +
ℓ
h2 = ℓ 2 _ ℓ
=ℓ2
2
ℓ2
h=
h=
ℓ
ℓ
ℓ
ou
h
ou
ℓ
ℓ
B
h2 =
ℓ2
h= ℓ.
C
H
ℓ
Portanto, a medida da altura é igual ao produto da metade da medida de um
lado por
.
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Diagonal de um bloco retangular
Consideremos um bloco retangular cujas arestas medem a, b, c, a diagonal de
uma face mede d e a diagonal do bloco mede D.
O triângulo BEH é retângulo em E e sua hipotenusa mede D, mas para
calculá-la precisamos encontrar o valor de d.
C
B
Aplicando o teorema de Pitágoras:
I
A
d2
=
a2
+
D2
b2
=
a2
+
b2
+
E
D=
D2 = d2 + c2
c
D
c2
F
d
a
H
Caso particular: diagonal do cubo
O cubo é um caso particular do bloco
retangular em que a = b = c = ℓ; assim:
b
H
B
C
I
A
ℓ
D
E
D=
ℓ2 + ℓ2
+
2ℓ
=
F
ℓ2 = ℓ
d
G
ℓ
H
ℓ
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Triângulo inscrito numa semicircunferência
Quando um dos vértices de um triângulo pertence à semicircunferência e os
outros dois vértices são extremidades de um diâmetro, dizemos que o triângulo
está inscrito numa semicircunferência.
A
A
C
C
B
O
B
O
Todo triângulo inscrito numa semicircunferência é triângulo retângulo.
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Outras situações que envolvem as relações métricas no triângulo
retângulo
Os ternos pitagóricos
Ternos de números inteiros positivos a, b e c que obedecem à relação
a2 = b2 + c2 são chamados ternos pitagóricos.
Tente pensar em um terno pitagórico!
Os mais conhecidos são:
3,4,5
5
3
5, 12, 13
4
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Classificação dos triângulos quanto aos ângulos conhecendo-se
as medidas de seus três lados.
Considere a, b e c as medidas dos três lados de um triângulo, na mesma
unidade de medida, com a sendo a medida do lado maior.
Podemos classificar o triângulo com relação a seus ângulos internos:
Já sabemos que, se a2 = b2 + c2, temos um triângulo retângulo.
Se a2 > b2 + c2, temos um triângulo
obtusângulo.
Se a2 < b2 + c2, temos
um triângulo acutângulo.
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C
Relações métricas na circunferência
Relação entre duas cordas de uma circunferência
Na circunferência ao lado,
se cruzam no ponto P.
e
A
são duas cordas que
P
Considerando os triângulos APC e DPB, temos:
B
D
ângulos inscritos de mesmo arco
ângulos opostos pelo vértice
Podemos concluir, então, que os triângulos são semelhantes. Logo,
=
=
AP . BP = CP . DP
Assim, demonstramos que:
Em toda circunferência, quando duas cordas se
cruzam, o produto das medidas das duas partes
de uma é igual ao produto das medidas
das duas partes de outra.
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Relação entre dois segmentos secantes a uma circunferência
A
B
P
D
C
Em toda circunferência, se traçamos dois segmentos secantes a partir de um
mesmo ponto, o produto da medida de um deles pela medida da sua parte
externa é igual ao produto da medida do outro pela medida da sua parte externa.
Ou seja, PA . PB = PC . PD
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Relação entre um segmento secante e um segmento tangente a uma
circunferência
Na circunferência abaixo, a partir do ponto P, temos um segmento tangente
e um segmento secante
.
A
B
C
P
Observando os triângulos PAC e PBA, temos:
ângulo comum
ângulo de segmento e ângulo
inscrito de mesmo arco
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Pelo caso AA, os triângulos PAC e PBA são semelhantes. Portanto, os lados
homólogos têm medidas proporcionais:
=
=
(PA)2 = PB . PC
Em toda circunferência, se traçamos, a partir de um mesmo ponto, um
segmento tangente e um segmento secante, o quadrado da medida do
segmento tangente é igual ao produto da medida do segmento secante
pela medida da sua parte externa.
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A ideia de tangente
altura
afastamento
tg
=
altura
= índice de subida
afastamento
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A ideia de seno
altura
sen
=
altura
percurso
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A ideia de cosseno
afastamento
cos
=
afastamento
percurso
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Definição de seno, cosseno e tangente por semelhança
CD = EF = GH =
OC
OE
OG
sen θ(0º < θ < 90º)
OD = OF = OH = cos θ(0º < θ < 90º)
OC
OE
OG
CD = EF = GH = tg θ(0º < θ < 90º)
OD
OF
OH
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Geometria e Trigonometria
Relações entre seno, cosseno e tangente
Relação fundamental
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2
sen2
+
cos2
=
+
c +b
=
2
a
2
a2
= a2 = 1
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Relações entre seno, cosseno e tangente
Outras relações
=
tg
=
:
=
.
b
= c = c1 = 1  tg
tg β
b
sen
b
= a = cos β
cos
c
= a = sen β
=
= tg 
1
= tg β
= tg
β
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Geometria e Trigonometria
Razões trigonométricas para ângulos de 30º, 45º e 60º
sen
cos
tg
1
30°2
3
2
3
3
45° 2
2
2
2
1
60°23
1
2
3
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Lei dos cossenos
a2 = h2 + (b – x)2
a2 = h2 + b2 – 2bx + x2 (I)
Substituindo h2 de (II) em (I), temos:
a2 = c2 – x2 + b2 – 2bx + x2
a2 = b2 + c2 – 2bx
2 + x2 x =hc2 .=cos
2 (II)
c2 = hComo
c2 –Â,xtemos:
a2 = b2 + c2 – 2b . cos Â
para ângulos agudos.
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Geometria e Trigonometria
Lei dos cossenos
a2 = h2 + (b + x)2
a2 = h2 + b2 + 2bx + x2 (I)
Substituindo h2 de (II) em (I), temos:
a2 = c2 – x2 + b2 + 2bx + x2
a2 = b2 + c2 + 2bx
c2 = Como
h2 + x2x = ch.2cos
= c2BÂH
– x2 e(II)
o cosseno de um
ângulo é igual ao oposto do cosseno do
seu suplemento (cos  = – cos(180º – Â)),
temos:
a2 = b2 + c2 + 2b . c . cos BÂH
ou
a2 = b2 + c2 – 2bc . cos Â
para ângulos obtusos.
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Lei dos senos
h ou h = c . sen Â
Se traçarmos a alturasen
relativa
 = ao
c
ângulo , obteremos:
sen
.
=h
a ou h = a sen
Portanto:
Então,
c . sen  = a . sen
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Lei dos senos
h ângulo
.
Considerando a altura relativa
sen =ao
a ou h = a sen
chegamos
a: = h e como sen (180º – Â) = sen Â,
sen
(180º – Â)
c
.
então sen  = h
c ou h = c sen Â
Portanto:
Então:
a . sen
= c . sen Â
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Geometria e Trigonometria
Uso das relações trigonométricas em polígonos
regulares inscritos em uma circunferência
ℓ
A altura
Ligando
de
odos
centro
cada
cinco
um
O
a
triângulos
desses
todos72
os
triângulos
é
ângulo
central
mede
,vértices,
medida
Cada
um
desses
triângulos
isósceles
tem
˚obtidos
isósceles
obtemos
isósceles,
cinco
écom
chamada
lados
de
apótema
e ℓ.
que se obtém
fazendo
360
ângulos
de
72
,triângulos.
54˚ emedindo
54
. ˚ : 5.r, r do
˚
˚
polígono regular. O apótema é também
mediana e bissetriz, pois os triângulos são
isósceles.
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Geometria e Trigonometria
Generalizações: hexágono, quadrado e triângulo regulares
Quadrado
Triângulo
ℓ6 = r, poisequilátero
o triângulo é equilátero.
3 = a6
3
r
2
cos
30
=
=
43
˚ 2
r
r 2
r
a43 =a62= =r 32
2
2a6 = r 3
32