Transcript Facultad de Ciencias BQ-202 –Repartido Nº 1
Facultad de Ciencias BQ-202 –Repartido Nº 1 - MEDICIONES, ERRORES Y AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
Definiciones y conceptos básicos
Magnitud física atributo cuerpo, fenómeno o sustancia susceptible de ser medido. Ejemplos de magnitudes son la longitud, la masa, la carga eléctrica, etc.
Medir: comparar objeto con otro tomado como patrón universal que se define como unidad.
Proceso medición intervienen: mesurando (magnitud objeto a medir) , método de medición ( sistema de comparación), instrumento de medición (incluye al observador) - y definir unidades de medición. En todo proceso de medición existen limitaciones dadas por los instrumentos usados, el método de medición, el observador y el entorno en que se realiza la medición. Asimismo, el mismo proceso de medición introduce errores o incertezas. No podemos obtener con certeza “el” valor del mesurando solo podemos establecer un rango posible de valores donde pueda estar razonablemente contenido el mejor valor del mesurando.
Resultado final de una medición: un número real, valor de una magnitud física, su unidad correspondiente y un intervalo de incertidumbre :
x
x
1 Héctor Korenko -2012
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x
Definiciones y conceptos básicos
x
x
N mediciones: v
alor medio o promedio
x
1
N i N
1
x i
N = 1 es el resultado de la única medida realizada
x
incertidumbre absoluta o error absoluto. ERRORES O INCERTIDUMBRES
Medición: o no conocemos valor exacto o verdadero de la magnitud o no existe dicho valor. Extraño en términos física clásica Habitual en física moderna (mecánica cuántica) magnitudes no tienen valor determinado, y lo que se mide es algo probabilístico. Resultado medición: valor mejor representa magnitud y estimación incertidumbre medida. Existen varias formas de clasificar y expresar los errores de medición. 2 Héctor Korenko -2012
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Tipos de errores –error nominal
Error de apreciación σ
falta de ella) del observador.
ap
– Asociado mínima división de escala o mínima división que podemos resolver con algún método de medición. No precisamente mínima división del instrumento, sino mínima división discernible por observador. Puede ser mayor o menor que apreciación nominal, dependiendo habilidad (o
Error de exactitud σ exac
- Error absoluto con que el instrumento ha sido calibrado. Se suministra como información del instrumento.
Error de interacción σ int
- Proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir. Ejemplo: Su determinación depende de la medición que se realiza y su valor se estima de un análisis cuidadoso del método usado.
Medición de temperatura con un termómetro de bulbo.
Error falta definición objeto sujeto a medición σ
con la falta de definición del objeto a medir (incertidumbre intrínseca).
Ejemplos: objeto dejan de estar bien definidos).
def -Incertidumbre asociada actividad material radiactivo, longitud con apreciación muy pequeña (límites del
Error nominal de una medición σ nom
- En un experimento todas estas fuentes de incertidumbres, independiente entre sí, pueden estar presentes, resulta útil definir:
nom
2
ap
2
def
2 int 2
exac
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Errores estadísticos- Error absoluto
Errores estadísticos σ est -
múltiples y fortuitas. los que se producen al azar, debidos a causas Pueden cometerse con igual probabilidad por defecto como por exceso. Midiendo varias veces y promediando el resultado, es posible reducirlos considerablemente. Teoría estadística comúnmente hace referencia de ellos como errores de medición.
Para determinar el error estadístico, procederemos de la siguiente forma.
Calculamos primeramente la
desviación estándar S x
S x
j N
1
x j N
1
x
2
j N
1
x j
2
N
1 Finalmente determinamos el
error estadístico
est
est
S x N
Error absoluto o efectivo Δx
resulta de combinar el error nominal con el estadístico de la siguiente forma:
x
2
est
2
nom
2
est
2
ap
2
def
2 int 2
exac
Si hacemos una única medida: σ est = 0 y Δx = σ nom 4 Héctor Korenko -2012
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Número óptimo de mediciones
S x
σ est (desviación estándar) (número de medidas) (error estadístico) dispersión de cada medición y
no depende de N
sino de la calidad de las mediciones, sí depende de N , y es menor cuanto más grande es N. Por ejemplo si medimos una longitud con regla graduada en mm, por más que aumentamos N (disminuyendo σ est ) nunca con esta regla podremos dar con certeza cifras del orden de los micrones, por más que realicemos muchas mediciones. Al aumentar N, σ est disminuye, pero, desde un punto de vista físico, el error en x solo puede disminuir hasta hacerse igual o del orden de σ nom . No es razonable esforzarse en disminuir σ est mucho más que σ nom . Suponiendo que S x es constante con
N
, hacemos un número pequeño de mediciones N prel , de 5 a 10 y calculamos S x :
N OPTIMO
S X nom
2 Si N OPTIMO Si N OPTIMO > N prel , se completan las mediciones hasta N OPTIMO . < N prel , no se realizan más mediciones que las preliminares y se usan todas ellas.
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Tipos de errores –error interacción
Error de interacción σ int Barra ajuste micrómetro confeccionada para ser usada a 20ºC. Apreciación instrumento: 0,01 mm (10
m
m) coefiente dilatación lineal del acero: 1,1x10 -5 /ºC) Temp. ambiente 5ºC Longitud calibre 150 mm
L = 25
m
m
L
T
L
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Tipos de errores –error definición
Error falta definición objeto sujeto a medición σ
def : Medir una longitud con una apreciación de micras Héctor Korenko -2012 8
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Cifras significativas
Regla 1:
Las cifras significativas se cuentan de izquierda a derecha, a partir del primer dígito diferente de cero y hasta el dígito dudoso.
Regla 2:
Al sumar o restar dos números decimales, el número de cifras decimales del resultado es igual al de la cantidad con el menor número de ellas.
Regla 3:
Al multiplicar o dividir dos números, el número de cifras significativas del resultado es igual al del factor con menos cifras.
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Propagación de errores
Para determinar errores de una magnitud V que se calcula a través de otras magnitudes x, y , z cuyos errores se conocen (Δx, Δy y Δz )
Segundo orden Primer orden
V
V
x
2 .
x
2
V
y
2 .
y
2
V
z
2 .
z
2 ...
V
V
x
.
x
V
y
.
y
V
z
..
z
...
Z
x
y
Z
2
x
2
y
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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS - REGRESIÓN LINEAL O LINEALIZACIÓN
Minimizo:
i
2
Y i
f
(
X i
) 2
Y i
aX i
b
2 .
a
i
2 0
y
b
i
2 0
a
n
n
.
X i Y i X i
2
X
i X i
2
Y i
Coeficiente de correlación:
b
n
.
Y i X i
2
X i X
.
i
2
X i Y i r
n
.
x i
2
n
.
x
i
.
y i x i
2 .
x i
n
.
y i
2
y
i
y i
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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS - REGRESIÓN LINEAL O LINEALIZACIÓN
Funciones no lineales que se pueden linealizar: cambio de variables
Y
aX
b
Exponencial
y
ce ax Y i
ln(
X i
x i y i
)
c
a e b y
e b e ax y
10
b x a
Potencial Racional
y
cx
y
x
C Y i
log(
y i
)
X i
log(
x i
)
c
10
b a Y i
1
X i y i
x i
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a C
b a
1
y
a x
b a
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