Transcript Matematica finanziaria

ITG A. POZZO
NOZIONI DI MATEMATICA FINANZIARIA
Prof. Romano Oss
Reddito e prezzo d’uso
I beni economici, quando sono capitali a logorio parziale, durevoli, e
destinati alla produzione, forniscono reddito.
I giudizi di stima, relativi a beni capaci di fornire reddito devono essere
formulati tenendo conto che deve esistere una relazione tra valore dei
beni e valore dei redditi che tali beni sono capaci di fornire.
Per numerose valutazioni è necessario conoscere il capitale attuale
equivalente ai redditi futuri che un capitale è capace di fornire: valore di
capitalizzazione.
Ciò serve per valutare il diritto di usufruire di una serie di redditi futuri, il
danno conseguente alla distruzione di una piantagione arborea,
l’indennizzo per l’occupazione temporanea per ragioni di pubblica utilità o
per stabilire quanto depositare per godere in futuro di una serie di redditi
(vitalizio)
I redditi di capitale sono quelli che si percepiscono per l’uso di capitali
siano essi indifferenziati o tecnicamente differenziati.
Se si considerano i soli compensi si ha il reddito lordo; se a questo
togliamo tutte le spese che sono occorse per sostenerlo abbiamo il
reddito netto.
Il Prezzo d’uso è un caso particolare di reddito lordo, si riscontra ogni
volta che l’attività dell’imprenditore consiste nel fornire a terzi l’uso di
un determinato bene.
Il compenso lordo per l’uso dei beni immobili si chiama locazione o
affitto a seconda dei casi.
Poiché i beni immobili hanno una durata praticamente illimitata anche i
redditi che forniscono hanno durata illimitata.
L’interesse come compenso del capitale per
investimento finanziario o tecnico
(analogia con noleggio e affitto)
In economia si definisce capitale qualsiasi bene prodotto e reimpiegato
nella produzione o nell’uso, può presentarsi sotto forma indifferenziata
(moneta) o differenziata (mezzo tecnico).
I proprietari dei capitali quando li mettono a disposizione di qualcuno
hanno diritto a ricevere un compenso o remunerazione, il prezzo d’uso,
che a seconda dei casi assume denominazioni diverse, anche se il
concetto non cambia.
Dal punto di vista finanziario un capitale è una quantità di ricchezza,
misurabile in moneta corrente, che viene concessa in uso per un certo
tempo, dietro un compenso che si chiama interesse.
La forma più comune dell’interesse è quella bancaria: si depositano i
soldi in banca, questa li usa e paga un interesse per il suo uso.
L’uso del denaro in modo produttivo si chiama investimento
E si distinguono:
Investimenti finanziari, fornire denaro in uso a terze persone anche
mediante l’acquisto di obbligazioni o titoli
Chi compera un’azione presta il denaro a un’azienda e ne riceve in cambio un
interesse chiamato dividendo.
Investimenti tecnici,assumono l’aspetto di investimenti di impresa come
l’acquisto di capitali tecnici o la partecipazione alla gestione. Questi
investimenti producono i redditi.
Sono commerciali, industriali, edili, fondiari…
Chi cede in locazione un appartamento riceve in cambio un canone che
altro non è che un interesse.
Il proprietario terriero che affitta il terreno a un agricoltore riceve in cambio
un affitto che rappresenta l’interesse sul terreno.
L’agricoltore che compera un trattore per la sua campagna deve
considerare l’interesse che gli spetta come capitalista.
Ne deriva che l’uso del danaro, in qualsiasi forma, deve essere
compensato e questo compenso si chiama interesse.
Elementi dell’interesse:
capitale, tempo, saggio, domanda/offerta, sicurezza, continuità
Il capitale, quale che sia la sua forma, si esprime sempre in moneta
corrente; il suo simbolo è “C”; C0 se all’inizio, Cn se alla fine di un
periodo;
il tempo di utilizzo si esprime in giorni, mesi, anni, con riferimento
all’anno solare di 365 giorni; in alcuni casi per semplicità di calcolo si
può esprimere secondo un anno convenzionale detto “commerciale”
in cui i mesi sono tutti di 30 giorni e l’anno dura 360 giorni, in questo
caso l’anno rispetto ai mesi può essere suddiviso in 12mi ;Il suo
simbolo è “n”
Il saggio, tasso o ragione, il suo simbolo è “r”; è la misura dell’interesse
e rappresenta l’interesse prodotto dall’unità di capitale 1€ nell’unità di
tempo 1 anno.
Nel linguaggio corrente il saggio si esprime in percentuale, mentre nei
calcoli si esprime sempre come una frazione o un numero decimale:
Ad esempio un saggio dell’1,75% viene scritto 1,75/100 o 0,0175
questo significa che 100 € producono in un anno 1€ e 75 centesimi o
anche che 1€ produce in un anno 1 centesimo e 75 millesimi.
Il saggio è una variabile che dipende da moltissimi fattori:
•Domanda e offerta di capitali
•Sicurezza e rischio
•Continuità dell’investimento
Domanda e offerta di capitali
Questa è molto legata all’economia reale, in un periodo di sviluppo,
quando le aziende ricorrono al credito per nuovi investimenti i saggi
tendono a crescere, mentre in periodi di recessione i saggi diminuiscono.
Sicurezza e rischio
Gli investimenti a basso rischio comportano saggi generalmente bassi
come quelli dei depositi bancari, dei titoli di stato o legati a terreni e beni
immobili, mentre in operazioni che comportano un certo rischio i tassi
tendono ad aumentare.
Continuità e durata
La durata dell’investimento e il tempo di immobilizzo del capitale sono
collegati alla sicurezza dell’investimento e l’interesse a sua volta è più
basso quanto più lungo è l’investimento.
Tassi approssimati del mercato per l’anno 2011
Operazioni bancarie
Tasso medio per depositi
Tasso medio per prestiti
1,5%
3,8%
Tasso di riferimento 1%
BCE ( ex uff. di sconto)
Tasso legale
1,5%
Tassi di riferimento
EURIBOR
1,5%
EURIRS
3,8%
Mutui casa (variabile circa 3,8%; fisso circa 5,8%)
Tasso variabile:
Tasso fisso:
EURIBOR + 2% definito spread varia dall’1 al 2% contrattare
EURIRS + 2%
EURIBOR Euro Interbank Offered Rate
EURIRS Euro Interest Rate Swap
Tasso di capitalizzazione 0,01 – 0,04 in relazione a diverse condizioni e netto o lordo
Matematica finanziaria
è uno strumento di calcolo basato sulla teoria dell’interesse,
necessario per le valutazioni di fatti economici, come ad esempio la
scelta degli investimenti, il riferimento di valori nel tempo, il valore
attuale dei beni immobili.
Il principio fondamentale consiste nel fatto che per potere sommare,
sottrarre o comunque confrontare valori disponibili in epoche diverse
occorre prima trasferirli allo stesso momento (epoca di riferimento)
e ciò può essere ottenuto solamente con le formule finanziarie basate
sui principi dell’interesse.
Elementi dell’Interesse e simboli
I = interesse espresso in €
C = capitale espresso in €
r = saggio, tasso o ragione espresso in % o in formula es:
1%; 0,01; 0,12 …
PRINCIPALI FORME DI INTERESSE
Semplice: viene utilizzato per periodi di tempo inferiori all’anno, anche in associazione
con l’interesse composto.
Principali applicazioni pratiche
Anticipazione e posticipazione
Sconto bancario di cambiali
calcolo del Reddito Netto di fabbricati
Composto: suddiviso in
Discontinuo annuo
Convertibile
Applicazioni diverse
INTERESSE SEMPLICE
I = C0 r n
Si indica C0 per intendere che il capitale si trova all’inizio di un certo
periodo
Poiché “n” è espresso in anni per periodi inferiori di tempo si
utilizzeranno le frazioni x/365 o x/360 relativamente all’anno solare o
all’anno commerciale per i giorni e x/12 per i mesi.
Esempio:
dal 25 aprile al 7 maggio
12/365;
generico per 20 giorni
20/360
generico per 5 mesi
5/12
APPLICAZIONI
Calcolo dell’interesse
Calcolo del montante o valore futuro di un capitale
Calcolo del valore attuale di un capitale futuro
Calcolo dello sconto
Calcolo del Reddito netto di immobili locati o affittati
Interesse
I = C0 r n
I
r=
C0 n
I
n=
C0 r
I
C0 =
rn
MONTANTE
Per montante si intende la somma di capitale e interesse alla fine del periodo considerato.
M = C0 + I
Il simbolo M viene sostituito dal simbolo Cn
Cn = C0 + I
ovvero valore di un capitale al tempo n
sostituendo a I il suo valore C0 r n
Cn = C0 (1+ r n)
formula di posticipazione dei capitali a interesse semplice
VALORE ATTUALE
Il valore attuale rappresenta il valore del capitale iniziale che impiegato per un certo tempo
ha prodotto un determinato capitale.
1
C0 = Cn
1+ r n
formula di anticipazione dei capitali a interesse semplice
SCONTO
Si può intendere lo sconto come l’inverso dell’interesse e cioè il compenso spettante a chi
anticipa un pagamento prima della scadenza. L’interesse si aggiunge al capitale mentre lo
sconto si toglie al capitale. Il creditore che viene a disporre in anticipo della somma dovuta
dal debitore concede a quest’ultimo una riduzione: lo sconto.
Ci sono due tipi di sconto:
SCONTO RAZIONALE O MATEMATICO: coincide con la anticipazione dei capitali
SCONTO BANCARIO: applicato dalle banche per lo sconto delle cambiali
1
Somma scontata con lo sconto razionale:C0 = Cn
1+ r n
Somma scontata con sconto bancario C0 = Cn (1 - r n)
Esercizi da svolgere per familiarizzare con l’uso delle formule
Sul conto del sig. Rossi vengono versati i seguenti importi:
€ 4000 il 13 gennaio; € 3700 il 25 marzo; € 3900 il 20 luglio; € 5500 il 26
ottobre
vengono prelevati i seguenti importi:
€ 700 a il 23 marzo; € 1400 il 23 aprile; € 2600 il 10 dicembre
A quanto ammonta, a fine anno, il saldo sul suo conto considerando che la
banca ha fornito un saggio del 1,2 % per i versamenti e uno al 3,5% per i
prelievi?
Uso dell’anno commerciale
Un capitale di € 700, depositato il 13 gennaio 2007 a un certo saggio, ha
fornito il 15 ottobre 2007 un certo interesse, che, investito lo stesso giorno
in un’altra banca al 9% ha prodotto fino al 15 aprile 2008 un montante di
€26,166.
Calcolare il saggio del primo investimento.
Un capitale di € 6500 è stato depositato in banca per 8 mesi, dopo di che il
montante ottenuto è stato depositato al saggio del 9 % per 10 mesi. Se il
capitale finale che si ottiene è pari a € 7546,5, a quale saggio è stato
depositato il primo capitale?
Anno commerciale
Alla data odierna, 25 ottobre, si dispone delle seguenti somme:
Interesse di un investimento di € 5000 fatto il 6 marzo al saggio del 5%
Montante di un investimento fatto il 14 gennaio dell’importo di € 1300 al
saggio del 6%
Debito di € 950 presso un amico che scade 10 ottobre al saggio del 7%
Montante di un investimento di € 6000 fatto il 3 maggio al saggio del 6%
Le somme vengono ritirate e investite fino al 21 dicembre al 6 %. Di quale
capitale si dispone a quella data?
Il 15 di giugno il signor Paolo per acquistare un’automobile del valore di € 22.000 dispone
delle seguenti cambiali di un suo cliente da scontarsi in banca al saggio del 9%:
€ 7000 con scadenza 20 settembre
€ 9000 con scadenza 11 ottobre
Inoltre paga subito € 3000
Concorda di pagare la somma mancante al saggio del 5% alla fine dell’anno.
Quanto dovrà pagare?
Alla data odierna, 3 ottobre, si dispone delle seguenti somme:
Cambiali da scontare in banca
Importo scadenza
saggio
€ 1000 11 novembre.
7,5%
€ 300
15 dicembre
8,5%
Montante di un investimento fatto il 20 gennaio dell’importo di € 1000 al saggio del 6%
Interesse di un investimento di € 4000 fatto il 5 marzo al saggio del 6%
Le somme vengono ritirate e investite fino alla fine dell’anno al 7%. Di quale capitale si
dispone alla fine dell’anno?
Somme economiche annuali
Quando i versamenti o i prelievi avvengono a scadenze regolari durante
l’anno, mensili, bimestrali, trimestrali, quadrimestrali o semestrali,
utilizzando la matematica si possono trovare formule che semplifichino le
somme a fine anno.
Quando i versamenti sono costanti si possono sommare secondo una
semplice formula:
∑
∑ valori a fine anno = versamento (n° versamenti + r x
12
)
Il numero delle rate è rispettivamente:
1 Quando sono mensili
2 Quando sono bimestrali
3 Quando sono trimestrali
4 Quando sono quadrimestrali
5 Quando sono semestrali
Questi grafici servono per il calcolo della somma dei mesi
I versamenti possono essere effettuati all’inizio o alla fine di
ogni periodo e rispetto a ciò cambia il periodo di posticipazione
ovvero la somma dei mesi.
Anticipati
Posticipati
Mensili
78
Mensili
66
Bimestrali
42
Bimestrali
30
Trimestrali
30
Trimestrali
18
Quadrimestrali 24
Quadrimestrali 12
Semestrali
Semestrali
18
6
Questo tipo di calcolo si utilizza sempre quando si debbano valutare somme
annuali di redditi, debiti o versamenti vari.
Sarà necessario per valutare il reddito netto o lordo di immobili affittati e per
impostare la stima analitica.
Il Reddito lordo derivante da un appartamento affittato è dato dalla somma
a fine anno delle rate, mensili o altro, depositate su un conto corrente a un
saggio bancario di mercato.
Il canone annuo contrattuale viene diviso per il numero di rate e si imposta
la formula della somma.
Ad esempio nel caso più comune di una rateazione mensile anticipata:
Canone annuo
78
(12 + 0,01 x
)
12
12
Sul conto del sig. Rossi vengono versati i seguenti importi:
€ 4000 il 13 gennaio
€ 3700 il 25 marzo
€ 3900 il 20 luglio
€ 5500 il 26 ottobre
vengono prelevati i seguenti importi:
€ 700 a il 23 marzo
€ 1400 il 23 aprile
€ 2600 il 10 dicembre
A quanto ammonta, a fine anno, il saldo sul suo conto considerando che
la banca ha fornito un saggio del 2% per i versamenti e uno al 3,5% per i
prelievi?
A quanto ammonta la rata mensile posticipata che potrebbe sostituire
versamenti e prelievi fornendo lo stesso saldo finale al saggio del 3%?
CALCOLO DEL REDDITO NETTO DI IMMOBILI locati o affittati
Il Reddito Netto rappresenta il compenso netto per il proprietario di un immobile a fine anno ed è dato
dalla differenza tra il reddito lordo costituito dalle rate di affitto più gli interessi meno tutte le spese
necessarie alla conservazione del capitale.
RN = Rpl - Spese
Reddito padronale lordo: si calcola portando le rate a fine anno al saggio di interesse commerciale.
Le rate possono essere:
mensili, bimestrali, trimestrali, quadrimestrali, semestrali anticipate o posticipate
somma mesi
il calcolo si ottiene con la formula: Rpl = rata (n° rate + r
12
)
la rata si ottiene dividendo il canone annuo per il tipo di rateazione.
Esempi e origine della formula.
n°1
Formula semplificata: Rpl = rata (n° rate + r
2
) ( + anticipate, - posticipate)
SPESE:
Le spese che gravano sulla proprietà e le percentuali rispetto al Canone Annuo sono
relative a:
tipo di spesa
% sul canone annuo
Q (reint. Ass. man.str.)
Tributi
Amm e Svz.
Sf e In
Interessi
6 - 8%
23 - 26%
4%
2%
calcolati mediamente anticipati
sulle spese precedenti
TOTALE
35 - 40%
La formula del Reddito Netto rispetto al canone annuo può esprimersi anche come:
RN = canone/n° rate x (n° rate + r x mesi/12) - canone x 0,35 (1 + r x 6/12)
INTERESSE COMPOSTO
Discontinuo annuo: gli interessi maturano una volta all’anno e per
periodi di tempo esatti di un anno o multipli di anno
Cn = C0 (1 + r)n formula di posticipazione
C0 = Cn / (1+ r)n formula di anticipazione
Nella realtà per calcolare i depositi si incontrano periodi di tempo variabile e
quindi quando ci sono tempi misti di anni e frazioni di anno si utilizza in
contemporana sia l’interesse semplice sia l’interesse composto.
Convertibile: gli interessi maturano più volte all’anno convertendosi
in capitale fruttifero.
Si deve tenere conto del numero di convertibilità che può variare da:
12 (mensile), 4 (trimestrale), 3 (quadrimestrale), 2 (semestrale)
Le formule dell’interesse composto vengono modificate dividendo il
saggio e moltiplicando n per il numero di convertibilità.
n
Cn = C0 (1+r/c) xc
Oltre all’interesse sui conti bancari la sua principale applicazione è nei mutui
bancari.
I periodi fruttiferi sono precisi e determinati dal contratto, se il
periodo preso in considerazione è maggiore o minore di una
somma esatta di periodi si utilizza l’interesse semplice assieme
all’interesse convertibile.
Esercizio:
Nel periodo tra il 2003 e oggi su un conto corrente vengono
depositati a un saggio convertibile semestrale del 3,5% i
seguenti importi:
15.000 € il giorno 6 marzo 2003; 12.000 il 10 ottobre 2004; 8000
il 6 giugno 2005. A quanto ammonta alla data odierna il
deposito?
ANNUALITA’
Sono valori periodici che si ripetono a distanza di un anno. Possono essere:
posticipate o anticipate
limitate o illimitate
Formula principale: accumulazione finale di n annualità posticipate limitate
(1+ r)n -1
An = a x
r
Formula di capitalizzazione: accumulazione iniziale di annualità illimitate posticipate
a
A0 =
r
Altre formule delle annualità
Le richieste principali che possono interessare le annualità sono:
la accumulazione finale An
la accumulazione iniziale A0
la accumulazione intermedia Am
graficamente si rappresentano:
A0
Am
An
0
n
1
2
m

Rispetto alla scadenza possono essere:
posticipate: il loro valore si realizza alla fine dell’anno
anticipate: il loro valore si realizza all’inizio dell’anno
mediamente anticipate: il loro valore si realizza a metà anno
Variamente intermedie: il loro valore si realizza in un momento qualsiasi dell’anno
Ognuna di queste può a sua volta essere:
limitata nel tempo per un certo numero di anni
illimitata nel tempo (durata superiore agli 80 - 100 anni)
ESEMPI
posticipate limitate
A0
1
An

anticipate limitate
A0
1
n-1

posticipate illimitate
A0

1

anticipate illimitate
A0
1

An

PRINCIPALI APPLICAZIONI DELLE ANNUALITA’
Accumulazione finale, iniziale, intermedia di valori costanti.
Valore di beni che forniscono rendite illimitate (case, terreni).
Valutazione dei miglioramenti immobiliari (trattati in apposito capitolo)
Rate dei mutui, debito residuo, piano di ammortamento.
Accumulazioni: grafici e riferimenti
Valore attuale di beni per capitalizzazione del Reddito Netto
V0 = RN/ r cap. Se si considera il Reddito Netto costante e continuativo
(1+ r)n -1
V0 = RNt x
r
+ RNp/ r cap. * 1/(1+r)n
Quando ci siano dei redditi transitori
Calcolo della quota di ammortamento di un mutuo e relativo debito residuo
Il mutuo fondiario (bancario) è un prestito che viene concesso dietro garanzia su
immobile e sul quale viene accesa un’ipoteca a favore dell’ente erogante. (stima
cauzionale)
Gli elementi del mutuo sono:
Importo mutuato;
saggio di interesse;
anni di durata;
rateazione.
La rateazione può essere:
annuale; semestrale; quadrimestrale; trimestrale; bimestrale; mensile.
Per necessità di sintesi si vedranno gli esempi di rateazione annuale e mensile.
r (1+r)n
Quota di ammortamento annua =
Importo x
(1+r)n-1
Debito residuo: rappresenta l’importo che si deve pagare qualora si voglia estinguere
anticipatamente il mutuo.
(1+r)n-1
D.R. = quota di ammortamento x
r (1+r)n
Quota di ammortamento mensile:
n= anni di mutuo
Debito residuo con rata mensile:
n= anni restanti
r/c (1+ r/c)nc
Importo x
(1+ r/c)nc-1
(1+ r/c)nc-1
rata mensile x
r/c (1+ r/c)nc
Sul conto del sig. Rossi negli anni tra il 2001 e il 2007 compresi sono stati registrati i seguenti movimenti:
saldo attivo alla fine di gennaio del 2001 (anno commerciale) € 190.500
versamento di una annualità mediamente anticipata di € 1700 dal 2002 al 2004 compresi
versamento di una annualità posticipata di € 3400 dal 2005 al 2007 compresi
prelievo di una annualità pari a € 1200 annui per gli anni dal 2002 al 2007 compresi
la banca ha fornito un saggio pari al 1,5% fino al 2005 compreso, poi ha aumentato il saggio al 2%
Il signor Rossi vuole comperare un appartamento che al momento attuale, inizio del 2008 è locato a un canone di
€ 6000 annui con spese di parte padronale pari al 35% mediamente anticipate; il contratto scadrà alla fine del
2010; dopo l’appartamento potrà essere locato al canone annuo di € 9500 con spese pari al 40% del canone
annuo mediamente anticipate.
Il signor Rossi chiede al geometra di valutare l’appartamento con riferimento all’inizio del 2008 e di calcolare la
differenza con il denaro che ha in banca allo stesso momento per poter chiedere un mutuo per l’acquisto
dell’immobile.
Il saggio di capitalizzazione sia pari allo 0,009; il mutuo venga chiesto per 15 anni a estinzione mensile al saggio
del 5,8%.
Calcolare la quota di ammortamento e il debito residuo a fine giugno del 2013.
Svolgimento:
Calcolare l’ammontare dei depositi alla fine del 2007
Calcolare il valore dell’appartamento all’inizio del 2008
Trovare l’ammontare da chiedere con il mutuo
Calcolare la quota mensile di ammortamento
Calcolare il debito residuo
Calcolo del Valore del diritto di usufrutto da detrarre al valore dell’immobile.
Si tratta di un caso pratico abbastanza comune. Un immobile è gravato da usufrutto a
favore di una persona diversa dal proprietario che intende vendere l’immobile. Al valore
dell’immobile stimato si dovrà detrarre la capitalizzazione dei redditi percepibili
dall’usufruttuario per la durata probabile della sua vita.
Procedimento:
Calcolo del Reddito dell’usufruttuario “Ru” che corrisponde al reddito netto ritraibile
dalla locazione meno le spese relative a quote di manutenzione straordinaria,
assicurazione, reintegrazione, che gravano sul nudo proprietario.
Calcolo di “n” dalle tavole ISTAT di mortalità della vita probabile dell’usufruttuario
Il saggio da usare è il saggio commerciale relativo a investimenti di breve/medio periodo
Valore del diritto di Usufrutto: Ru x
qn - 1
r x qn
Per riferire l’ammontare di un asse ereditario al giorno 20 maggio 2008 (momento di
apertura della successione) il Geometra deve eseguire i seguenti calcoli:
Restituzione del prelievo di € 2750 fatto dall’erede A sul conto del defunto in data 6
febbraio 2008 al saggio del 2,5%
Calcolo del valore di un deposito vincolato al saggio del 3,5% semestrale dell’ammontare
di € 7900 effettuato in data 8 marzo 2001
Calcolo del valore scontato di un prestito del valore di € 6000 sottofirmato da cambiale
scadente il 20 novembre 2008 al saggio del 5,5%.
Calcolo del reddito lordo a fine anno di un posto macchina affittato a rate mensili anticipate
di € 70 per la durata di tutto l’anno. Il valore dovrà essere riferito al momento di stima.
r=0,025
Calcolo del debito residuo del mutuo acceso all’inizio del 1995 di durata ventennale per un
ammontare di € 78.000 al saggio del 3,75% con scadenza mensile.
Calcolo del valore del diritto di usufrutto a favore della moglie del defunto che al momento
della stima ha 65 anni. Il reddito netto dell’usufruttuaria è stimato in € 8000 annui e il
saggio commerciale è del 2,5%. Dalle tavole di mortalità si ricava che la vita probabile è
pari a 19 anni.