Тема: Вісім способів розв’язання тригонометричного рівняння cos x – sin x = 1

Учитель математики ЗОШ 47 м.Маріуполь Писарева О.О.

     

Способи розв’язку

Зведення рівняння до однорідного; Розскладання лівої частини на множники; Введення допоміжного кута; Перетворення різниці (або суми) тригонометричних функцій у добуток; Зведення до квадратного рівняння відносно однієй з функцій; Піднесення обох частей рівняння до другого степеня; Універсальна підстановка;

Человеку, можно изучающему путем вырабатывается опыт.

/ алгебру часто полезнее решить одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три – четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами , сравнивания выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так У. У. Сойер английский математик и педагог XX века/

Перший спосіб.

однорідного; Зведення рівняння до cos x – sin x = 1 sin x= 2 cosx/2sinx /2; cos x/2= cos²x/2 - sin²x /2 ; 1= sin²x+cos² ; cos² x/2-sin² x /2 - 2 cos x/2 sin x /2= sin²x+cos² ; 2sin² x /2 + 2 sin x /2 cos x /2 = 0 ; 2sin x /2 (sin x /2 + cos x/2) = 0 ; sin x/2 = 0 або sin x/2 + cos x/2 = 0 – это однорідне рівняння першого степеня x/2 =  k, k є Z, Розділемо обидви частини рівняння на cos x/2, x = 2  k, k є Z cos x/2≠0, якщо cos x/2 = 0, то sin x/2 =0,але сінус та косінус одного аргументу не можуть одночасно рівнятися 0 через основну тригонометричну тотожность.

Отримаємо: tq x/2 = -1, x/2 =  /4 +  n , n Z ; Відповідь : x = 2  k, k є Z , x =  /2 +2  x =  /2 +2  n, n Z ; n , n є Z.

Другий спосіб.

Розкладання лівої частини на множники cos x – sin x = 1 sin x + (1 - cos x) = 0; 1 - cos x = 2 sin2 x/2; sin x= 2 sin x/2 cos x/2; 2 sin x/2 cos x/2 +2 sin2 x/2 = 0 ; sin x/2(cos x/2 + sin x/2) = 0. Далі як в першому випадку.

x/2 =  k, k єZ або sinx/2+cosx/2=0 – это однорідне рівняння першого x = 2  k, k єZ степеня.Розділемо обидви частини рівняння на cos x/2≠0, Отримаємо: tq x/2 = -1, x/2 =  /4 +  x =  /2 +2  n , n є Z ; n, n є Z .

Відповідь: x = 2  k, k єZ ; x =  /2 +2  n , n є Z.

Третій спосіб

.

Введення допоміжного кута

cos x – sin x =1 cos

 /4 = sin  /4 = 1/√2 ,

cos a cos b-sin a sin в = cos ( a-b),

cos x 1/√2 - sin x 1/√2 = 1/√2 ; cos x cos  /4 – sin x sin  /4 =1/√2 ; cos ( x +  /4 )= 1/√2 ; x + x= ±  /4 = ±arccos 1/√2 +2  /4  /4 +2  k, k Z ;  k, k Z

Увага!!! Еквівалентні чи ні наслідки, отримані в розглянутих способах розв’язку данного рівняння cos x – sin x = 1 ?

Покажемо однозначність відповідей 1 спосіб. 2 спосіб.

x = 2  k, k є Z , x= ±  /4 2  ;4 x =  ;6   ;...

/2 +2  3  /2; 7  /2; 11 n , n є Z  /2... 2  ; 3  /2; 4  /4  ; +2  7  k, k єZ , /2; 6  ; 11  /2...

Четвертий спосіб

.

Перетворення функцій у добуток

cos x – sin x =1

Запишемо рівняння у вигляді: sin  - sin  sin (  Застосуємо формулу різниці двох синусів: = 2 sin ( /2 – x) – sin x =1.

 +  )/2 cos (   )/2.

2sin π/4 cos( π/4 – x) = 1 ; 2· √2/2 cos (π/4 – x) = 1 ; cos (π/4 – x) = 1/√2 ; cos (x -π/4 ) = 1/√2 x -π/4 = ± arccos 1/√2 +2  k, k Z ; x = 2  k, k Z , x =  /2 +2  n , n Z Відповідь : x = 2  k, k Z , x =  /2 +2  n , n Z

П’ятий спосіб. Зведення до квадратного рівняння відносно однієї функції

cos x – sin x =1 ;

sin²x + cos²x = 1 ; cos x = ±√1- sin ²x ; ±√1- sin ²x – sin x = 1; ±√1- sin ²x = 1+ sin x ; Піднесемо до другого степеня : 1 – sin ²x = 1 + 2sin x + sin² x ; 2 sin ² x + 2sin x = 0 ; 2 sin x ( sin x + 1) = 0 ; sin x = 0 або sin x + 1 = 0 ; x = 2  k, k Z , x =  /2 +2  n , n Z Відповідь : x = 2  k, k Z , x =  /2 +2  n , n Z

Шостий спосіб. Піднесення обох частин рівняння до другого степеня cos x – sin x = 1 (cos x – sin x)²= 1² cos²2x – 2sin x cos x + sin² x = 1 1 -2 sin x cos x = 1 sin 2x = 0 x=  /2 +  k, k Z

Сьомий спосіб.

Універсальна підстановка Виражемо усі функції через tg x по формулам : 2 tg x/2 1 - tg²x/2 2 tg x/2 Sin x= ————— ; cos x = ——————; tg x =—————; 1 + tg²x/2 1 + tg²x/2 1 - tg²x/2

cos x – sin x=1

1 – tg ² x/2 2 tg x/2 ———— - ———— = 1 ; 1+ tg ² x/2 1 + tg x/2 Помножим обидви частини рівняння на 1 + tg2 x/2.

2 tg x/2 (1 +tg x/2) =1 ; tg x/2 = 0 або 1 + tg x/2 = 0 ; x = 2  k; k Z , x =  /2 +2  n; n Z. Відповідь: x = 2  k; k Z , x =  /2 +2  n; n Z.