Transcript Warum Risikoteilung?

Risikoteilung in der
Schadenversicherungsmathematik
Frank Anna
21.12. 2011
Themenübersicht
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Gründe zur Risikoteilung
Risikoteilung zwischen VU und VN
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proportionale Risikoteilung
nichtproportionale Risikoteilung
Risikoteilung zwischen Erst- und
Rückversicherer
Einfluss auf die Schadenvariablen
Warum Risikoteilung?
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Der Ausschluss von Kleinschäden
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Die Beeinflussung des moralischen Risikos
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Weitere Gründe
Der Ausschluss von Kleinschäden
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Im beiderseitigen Interesse
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Kleinschäden erhöhen Verwaltungskosten
und Regulierungsaufwand
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Mehrkosten hat VN über Prämie
auszugleichen
Die Beeinflussung des moralischen
Risikos
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VN hat die Möglichkeit, den Schadenverlauf
zu beeinflussen
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Motivation an Schadenverhütung durch
finanzielle Selbstbeteiligung
Weitere Gründe
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Der Versicherungsnehmer hält sich für
„überdurchschnittliches“ Risiko
Er ist an Reduktion der Kosten interessiert
Er möchte nicht ganz auf
Versicherungsschutz verzichten
Formen für Risikoteilung zwischen VN
und VU
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Proportionale Risikoteilung
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Nichtproportionale Risikoteilung
Proportionale Risikoteilung
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X = cX + (1-c)X ,
0<c<1
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X…Schadenvariable (Schadenhöhe pro
Schadenfall oder Jahresgesamtschaden)
Proportionale Risikoteilung
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Prozenttarife in der Krankenversicherung
Unterversicherung
Mitversicherung
Nichtproportionale Risikoteilung
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X = min(X, a) + max(X-a, 0) ,
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a…Teilungsgrenze
min(X, a)…Erstrisiko
max(X-a, 0)…Zweitrisiko
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a>0
Nichtproportionale Risikoteilung
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Abzugsfranchise
Erstrisikodeckung
Jahresfranchise
Jahreslimits
Formen für Risikoteilung zwischen
Erst- und Rückversicherer
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VU, das anderem VU Versicherungsschutz
gewährt, nennt man Rückversicherer
VU, das Originalpolizzen ausstellt, nennt
man Erstversicherer
Man unterscheidet wieder zwischen
proportionaler und nichtproportionaler
Rückversicherung
Formen der proportionalen RV
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Quoten-Rückversicherung
Summenexzedenten-Rückversicherung
Formen der nichtproportionalen RV
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Einzelschadenexzedenten-Rückversicherung
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Kumulschadenexzedenten-Rückversicherung
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Jahresüberschaden-Rückversicherung oder
Stop Loss
Kombination von RV-Formen
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RV-Formen werden oft kombiniert, um
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Schutz gegen Frequenzrisiko
Schutz gegen Großschadenrisiko
zu erreichen
Einfluss der Risikoteilung auf die
Schadenvariablen
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Problem bei nichtprop. Risikoteilung:
Wie wirkt sich Risikoteilung auf Prämie aus?
(nichtprop. Risikoteilung nur als Aufteilung von Schäden
definiert)
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bei proportionalen Risikoteilung hingegen
handelt es sich um Aufteilung von Prämien
und Schäden
Einfluss bei prop. Risikoteilung
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an der Schadenzahlverteilung ändert sich
nichts
Schadenhöhen werden proportional kleiner
Beziehung der Dichten von cX ( ) und X ( ):
Momente bei prop. Risikoteilung
Variationskoeffizient und Schiefe
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mit Momenten leicht berechenbar:
Variationskoeffizient:
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Schiefe:
Sie verändern sich durch proportionale
Risikoteilung nicht.
Einfluss bei nichtprop. Risikoteilung
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Einfluss auf die Schadenzahl
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Einfluss auf die Schadenhöhe
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Einfluss auf den Gesamtschaden
Einfluss auf die Schadenzahl
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Schaden X = min(X, a) + max(X-a, 0)
Erstrisiko:=
Zweitrisiko:=
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…Schadenzahl ohne Risikoteilung
…Schadenzahl des Zweitrisikos
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und
haben oft selbe Verteilungstypen
Einfluss auf die Schadenzahl
Ist negativ-binomial verteilt, ist bei
wachsender Schadengröße immer mehr
poissonverteilt.
Dies sieht man wegen:
wird bei wachsendem a kleiner
je seltener Zweitrisikoschäden, umso eher
poissonverteilt
Einfluss auf die Schadenhöhe
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Schadenhöhe des Erstrisikos
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Verteilungsfunktion des Erstrisikos
Einfluss auf die Schadenhöhe
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Momente:
Beziehung:

Variationskoeffizient:
Schiefe:
Beziehungen:
Einfluss auf Schadenhöhe
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Schadenhöhe des Zweitrisikos

Verteilungsfunktion
Einfluss auf den Gesamtschaden
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Ges.schaden = Ges.erstrisiko + Ges.zweitrisiko
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Erwartungswert und Varianz des Erstrisikos
Einfluss auf Gesamtschaden
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Erwartungswert und Varianz des Zweitrisikos
Beziehung: wegen
und
folgt:
Einfluss auf Gesamtschaden
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Beziehung der Varianzen:
Wegen
und weil
und
werden die Varianzen immer kleiner, d.h.:
und
.
,
Einfluss auf Gesamtschaden

Für die Standardabweichung gilt:
Diese Eigenschaft ist insbesondere im
Vergleich zur proportionalen Risikoteilung,
bei der
gilt, interessant.
bei nichtprop. Risikoteilung keinerlei
Zusammenhänge
Einfluss auf Gesamtschaden
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Bei nichtproportionaler Teilung:
Variationskoeffizienten des Erstrisikos
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Variationskoeffizienten des Zweitrisikos
in folgender Beziehung:
Fazit
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proportionale Risikoteilung
wenig Einfluss auf Schadenvariablen
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nichtproportionale Risikoteilung
bedeutender Einfluss auf Schadenvariablen
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verschiedene Manipulationen der
Verteilungsfunktionen
erfordert teilweise numerische Integration
VIELEN DANK FÜR IHRE
AUFMERKSAMKEIT!!!